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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:4.5《两角和与差的正弦、余弦和正切》


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4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切
考情分析
运用两角和与差的三角公式进行化简变形、求值,二倍角公式的正用、逆用和变形使用是高 考的常考内容,面对如: a sin x ? b cos x 的化简是高考每年的必考内容。

基础 知识
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

2 tan
sinα=

?
2 ?

2 , 2

1 ? tan 2
cosα=

?
2 2
[来源:Zxxk.Com]

1 ? tan
3、形如 asinα+bcosα 的化简 asinα+bcosα= a ? b sin(α+β).其中 cosβ=
2 2

1 ? tan

2 ?

a a ?b
2 2

,sinβ=

b a ? b2
2

注意事项
α+β α-β α-β 1.(1)拆角、 拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; 2 β? ?α ? ? =?α+2?-?2+β?. ? ? ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.

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2.(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2) 变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有 “ 切化 弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目 标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解 与组合”、“配方与平方”等. 题型一 三角函数式的化简 cos85° +sin25° cos30° =( cos25° ) 2 B. 2 D. 1
[来源:学_科_网]

【例 1】 3 A. - 2 1 C. 2 答案:C 解析:

cos85° +sin25° cos30° = cos25°

cos?60° +25° ?+sin25° cos30° = cos25° cos60° cos25° -sin60° sin25° +sin25° cos30° = cos25° cos60° cos25° 1 = cos60° = cos25° 2,选 C. 【变式 1】 化简: ?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? . sin 2α

α α α?? α α α? ? ?2sin2cos2-2sin22??2sin2cos2+2sin22? ? ?? ? 解 原式= α α 4sin 2cos 2cos α α?? α α? α ? α ?cos2-sin 2??cos2+sin2?sin ? ?? ? 2 = α cos2cos α

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α? α α ? 2α ?cos 2-sin22?sin cos α sin 2 ? ? 2 α = = =tan2. α α cos2cos α cos 2cos α 题型二 三角函数式的求值

1 1 【例 2】已知 tan(α-β)=2,tanβ=3,且 α∈(0,π),则 α=________. π 答案:4 tan?α-β?+tanβ 解析:∵α =(α-β)+β,∴tanα=tan[(α-β)+β]= ,∵tan(α-β) 1-tan?α-β?tanβ 1 1 2+3 1 1 π =2,tanβ=3,tanα= = 1 ,又∵ α ∈ (0 , π) ,∴ α = 1 1 4. 1-2×3 π? 4 1 ? 【变式 2】 已知 α,β∈?0,2?,sin α=5,tan(α-β)=-3, 求 cos β 的值. ? ? π? π π ? 解 ∵α,β∈?0,2?,∴-2<α-β<2, ? ? 1 π 又∵ta n(α-β)=-3<0,∴-2<α-β<0. 1 10 ∴ 2 =1+tan2(α-β)= 9 . cos ?α-β?
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

3 10 10 cos(α-β)= 10 ,sin(α-β)=- 10 . 4 3 又∵sin α=5,∴cos α=5. ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 3 10 4 ? 10 10? ?= =5× 10 +5×?- . ? 10 ? 10 题型三 三角函数的求角问题

1 13 π 【例 3】?已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,求 β.

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π π 13 解 ∵0<β<α<2,∴0<α-β<2.又∵cos(α-β)=14, 1 π ∵cos α=7,β<α<2, 4 3 ∴sin α= 1-cos2α= 7 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π ∵0<β<2.∴β=3. ? π π? 【变式 3】 已知 α,β∈?-2,2?,且 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两 ? ? 个根,求 α+β 的值. 解 由根与系数的关系得:tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4, ∴t an α<0,tan β<0,-π<α+β<0. 又 tan(α+β)= tan α+tan β -3 3 = = 3. 1-tan αtan β 1-4

2π ∴α+β=- 3 . 题型四 三角函数的综合应用
π π

【例 4】设函数 f(x)=2cos2(4-x)+sin(2x+3)-1,x∈R.
(1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的值域. 2 1 3 π 解:(1)因为 f(x)= sin2x+ cos2x+cos( -2x) 2 2 2 3 3 π = sin2x+ cos2x= 3sin(2x+ ), 2 2 6 2π 所以函数 f(x)的最小正周期是 T= =π. 2

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π π π 7π (2)因为 x∈[0, ],所以 2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 π 3 π 3 于是 3sin(2x+ )∈[- , 3],所以当 x∈[0, ]时,函数 f(x)的值域是[- , 3]. 6 2 2 2

【变式 4】 已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ? 解:f(x)=2sin xcos x=sin 2x 2π (1)f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π (2)∵-6≤x≤2, π ∴-3≤2x≤π. 3 ∴- 2 ≤sin 2x≤1. ∴f(x)的最大值为 1,最小值为- 3 . 2
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

巩固提高
一、选择题 1.若 sinα+cosα 1 = ,则 tan2α=( sinα-cosα 2 ) 3 B. 4 4 D. 3

3 A. -4 4 C. -3 答案:B 解析:由

tanα+1 1 = ,得 tanα=-3, tanα-1 2 2tanα 3 2 = ,选 B 项. 1-tan α 4

∴tan2α=

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2. 若 3sinα+cosα= 0,则 10 A. 3 2 C. 3 答案:A

1 的值为( cos α+sin2α
2

)

5 B. 3 D. -2

sin2α+cos2α 1 解析: 由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα, 则 2 = cos α+sin2α cos2α+2sinαcosα 9sin2α+sin2α 10 = = ,故选 A. 9sin2α-6sin2α 3 π π 3.若函数 f(x)= sin2(x+4)+cos2(x-4)-1,则函数 f(x)是( A. 周期为 π 的偶函数 C. 周期为 2π 的奇函数 答案:D π π 解析:f(x)=sin2(4+x)+sin2(4+x)-1 π =2sin2(4+x)-1 π =-cos(2+2x)=sin2x ∴故 D 正确.
[来源 :学科网 ZXXK]

)

B. 周期为 2π 的偶函数 D. 周期为 π 的奇函数

4.把函数 y=sinx- 3cosx 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的 图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A. 6 2π C. 3 答案:D π B. 3 5π D. 6 )

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π 解析:y=sinx- 3cosx=2sin(x-3),图象向左平移 m(m>0)个单位长度后, π π π 5π 得 y=2sin(x+m-3),由于图象关于 y 轴对称,∴m-3=kπ+2,m=kπ+ 6 (k∈ Z), 5π ∴m 的最小正数为 6 ,故选 D. π 1 2π 5.若 sin(6-α)=3,则 cos( 3 +2α)的值为( 1 A. 3 7 C. 9 答案:D π 1 解析:因为 sin(6-α)=3, π 1 所以 cos(3+α)=3, 2π π 即 cos( 3 +2α)=2cos2(3+α)-1 1 7 =2×9 -1=-9. π 1 π 6.已知 cos(α+4)=3,α∈(0,2),则 cosα=______ __. 答案: 2+4 6 1 B. -3 7 D. -9 )

π π 1 解析:∵α∈(0,2),cos(α+4)=3>0, π π π π ∴α∈(0,4),α+4∈ (4,2), π 2 2 ∴sin(α+4)= 3 ,

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2+4 π π π π π π cosα=cos(α+4-4)=cos(α+4)cos4+sin(α+4)· sin4= 6 .


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