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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题A卷 文


河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期期中考试 高二年级 文科数学 试题
考试时间 150 分钟 试题分数 120 分 一 选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.命题“存在实数 x ,,使 x ? 1 ”的否定是( ) A.对任意实数 x , 都有 x ? 1 B.不存在实数 x

,使 x ? 1 x ? 1 C.存在实数 x ,使 D.对任意实数 x , 都有 x ? 1 2 3 4 5 2.数列 1, , , , ,?的一个通项公式 an 是( ) 3 5 7 9 A. n 2n+1 n B. 2n-1 n C. 2n-3 n D. 2n+3

3.已知△ABC 中, a ∶ b ∶ c =1∶1∶ 3,则此三 角形的最大内角的度数是( A.60° B.120° ) C. 90° D. 135°

4.在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 38 ,则

a2 ? a4 ? a6 ? a8 =(
A.20 B.38

) C. 64 D.76

5.上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”, 执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( A 0 B 2 C 4 D 14 )

2 6.设集合 A ? ?x | x ? 2 ? 0? , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则“x∈A”是“x∈B”的(

?

?



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时,销售 额约为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 8. 已 知 数 列 {an } 中 a1 ? 1 , a2 ?

1 1 1 , a3 ? , a4 ? , 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4


??? a n ?

1 ?..,则数列 {an } 的前 n 项的和 s n =( 1 ? 2 ? 3 ? .... ? n

1

A.

n ?1 n

B.

n n ?1

C.

2n n ?1


D.

2n 2n ? 1

9. 在 ? ABC 中,若 a cos B ? c ,则 ? ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形

10. 某学校有教职工 400 名,从中选出 40 名教职工组成教工代表大会,每位教职工当选的 1 概率是 ,其中正确的是( 10 ) 1 B.每位教职工当选的可能性是 10 D.以上说法都不正确

A.10 个教职工中,必有 1 人当选

C.数学教研组共有 50 人,该组当选教工代表的人数一定是 5 11. 对于向量 a 、 b 、 c 和实数 λ ,下列命题中真命题是( A.若 a · b =0,则 a = 0 或 b = 0 C.若 a = b ,则 a = b 或 a =- b
2 2

)

B.若 λ a = 0 ,则 λ =0 或 a = 0 D.若 a · b = a · c ,则 b = c

12. 若函数 y ? f ( x) 是(-2,4)上的增函数,且 f ( 2m) ? f ( 3 ? m) ,则实数 m 的取值范围 是( ) A.( 1,+∞)

B. (-∞,1)

C. (-1,1 )

D. (-2,3 )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且边 a =4,c=6,则△ABC 的面积等于 _____________ 14.若命题“ ?x ? R, x 2 ? 2x ? m ? 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 15.递减等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足:S 5 ? S 10 ,欲使 S n 最大,则 n= .

16. 100 个个体分成 10 组,编号后分别为第 1 组:00,01,02,?,09;第 2 组:10,11, 12,?, 19; ?; 第 10 组: 90, 91, 92, ?, 99. 现在从第 k 组中抽取其号码的个位数与 ? k ? m ?1? 的 个位数相同的个体,其中 m 是第 1 组随机抽取的号码的个位数,则当 m=4 时,从第 7 组 中抽取 的号码是________ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 x +2x﹣8>0; 若¬p 是¬q 的必要不充分条件, 求 a 的取值范
2 2 2 2

2

围.

π? ? 18. (本小题满分 12 分) 函数 y=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,0≤φ ≤ ?在 x∈(0,7π ) 2? ? 内只取到一个最大值和一个最小值,且当 x=π 时,ymax=3;当 x=6π 时,ymin=-3. (1)求此函数的解析式; (2)求此函数的单调递增区间.

19 (本小题满分 12 分) 设各项均为正数的等比数列{ a n }中,a1 ? a3 ? 10 ,a3 ? a5 ? 40 . 设 bn

? log 2 an

(1)求数列{ bn }的通项公式; (2)若 c1

? 1 , cn ?1 ? cn ?

bn c ? 3; an ,求证: n

20. (本小题满分 12 分)下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用 y (万 元)的几组统计数据:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

(1)请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图; (2)请根据散点图,判断 y 与 x 之间是否有较强线性相关性,若有

?x ? a ?; ? ?b 求线性回归直线方程 y
(3)估计使用年限为 10 年时,维修费用为多少? (参考数值:

? x i y i ? 112.3
i ?1

5

? x i 2 ? 80 )
i ?1

5

?? (参考公式: b

? (x i ? x)(y i ? y ) ? x i y i ? nxy
i ?1

n

n

? (x i ? x) 2
i ?1

n

?

i ?1 n

? x i 2 ? nx 2
i ?1

?x ; ? ? y?b ;a )

3

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

2x , x ? ? ?3, ?2? x ?1

(1)求证: f ( x ) 在 ??3, ?2? 上是增函数; (2)求 f ( x ) 得最大值和最小值.

频率

22. (本小题满分 12 分)某校从参加高一年级期 末考试的学生中抽出 40 名学生,将其成绩(均

组距

0.025

?50,60?? ?90,100? 为整数) 分成六段 ?40,50? ,
后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的 信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图;

0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

(2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 40~50 分及 90~100 分的学生中选两人,记他们的成绩为 x,y,求满足 “

| x ? y |? 10 ”的概率.
2015—2016 学年度上学期期中考试 高二文科数学答案

一 选择题 A卷 DBBDB ABCCB B卷 CCADD BBADB 二 填空题 13. 6 3

BC AA

14.__ m>1 _. 15. 7 或 8 . 16. 60

三解答题 2 2 17.解:x ﹣4ax+3a =0 对应的根为 a,3a;由于 a<0, 则 x ﹣4ax+3a <0 的解集为(3a,a) ,故命题 p 成立有 x∈(3a,a) ;?3 分 由 x ﹣x﹣6≤0 得 x∈[-2,3],由 x +2x﹣8>0 得 x∈(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞) ,
2 2 2 2

4

故命题 q 成立有 x∈(﹣∞,﹣4)∪[-2, +∞)??6 分 若¬p 是¬q 的必要不充分条件 所以 3a ? -2 或 a≤-4,即 a ? 1 18. 解 (1)由题意得 A=3, T=5π ,?...2 分 2 2π 1 ∴T=10π ,∴ω = = ???..4 分 T 5

2 或 a≤-4?.10 分 3

?1 ? ?π ? ∴y=3sin? x+φ ?.∵点(π ,3)在此函数图象上,∴3sin? +φ ?=3. ?5 ? ?5 ?
∴ π π π 3π +φ = +2kπ ,k∈Z.∵0≤φ ≤ ,∴φ = ????..6 分 5 2 2 10

?1 3π ? ∴y=3sin? x+ ?. 10 ? ?5
π 1 3π π (2)当- +2kπ ≤ x+ ≤ +2kπ ,即-4π +10kπ ≤x≤π +10kπ 时,???9 2 5 10 2 分

? 1 3π ? 函数 y=3sin? x+ ?单调递增, 10 ? ?5
所以此函数的单调递增区间为[-4π +10kπ ,π +10kπ ](k∈Z).????12 分

19 解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0), 由题意有 ?

? a1 ? a1q 2 ? 10 , 2 4 ? a1q ? a1q ? 40

∴ a1 ? q ? 2 ,???2 分 ∴ an ? 2n , ???3 分 ∴bn=n. ???..4 分

n (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n, ?????.5 分 2 1 2 n-1 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+?+(c2-c1)+c1=1+ + 2+?+ n-1 ,?7 分 2 2 2 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n . 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 <3,??.11 分 2 2 2 2 综上所述 cn<3???..12 分 20. 解: (1)散点图如下:

5

?.4 分. (2)从散点图可知,变量 y 与 x 之间有较强的线性相关性。 ??5 分 所以由已知数据有: x ? 4, y ? 5, 分

? x i 2 ? 90 ,又由参考数据知 ? x i y i ? 112.3 ??7
i ?1 i ?1

5

5



?? b

? x i y i ? nxy
i ?1 n

n

? xi
i ?1

?

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 90 ? 5 ? 4 2

? 1.23

2

? nx

2

? x ? 5 ? 1.23? 4 ? 0.08 ..?9 分 ? ? y ?b ∴a
? ? 1.23x ? 0.08 ∴回归直线方程为 y
??10 分 ??12 分

? ? 1.23 ? 10 ? 0.08 ? 12.38 ( 万 元 ) ( 3 ) 当 x ? 10 时 , 维 修 费 用 y
21. (1) ? f ( x) ? 2 ?

2 , x ?1 设

..................1 分

则:

???4 分 ??..6 分

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ??????..7 分
所以 f ( x ) 在 ??3, ?2? 上是增函数;??????.8 分 (2)当 x=-3 时, f ( x)min ? f (?3) ? 3, 当 x=-2 时, f ( x)max ? f (?2) ? 4. ?????10 分 ?????12 分

22. (1)由频率分布直方图可知第 1、2、3、5、6 小组的频率分别为:0.1、0.15、0.15、 0.25、0.05, 所以第 4 小组的频率为:1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3.??..2 分

6

∴在频率分布直方图中第 4 小组的对应的矩形的高为

0 .3 ? 0.03 ,对应图形如图所示: 10

频率 组距

0.03
0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

???..4 分 (2)? 考试的及格率即 60 分及以上的频率∴及格率为 0.15+0.3+0.25+0.05=0.75???6 分 又由频率分布直方图有平均分为:

0.1 ? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 71
(3)设“成绩满足 | x ? y |? 10 ”为事件 A

????.8 分

由频率分布直方图可求得成绩在 40~50 分及 90~100 分的学生人数分别为 4 人和 2 人,记 在 40~50 分数段的 4 人的成绩分别为 a, b, c, d ,90~100 分数段的 2 人的成绩分别为 e, f , 则从中选两人,其成绩组合 ( x, y ) 的所有情况有:

(a, b),(a, c),(a, d),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d),(b, e),(b, f ),(c, d),(c, e),(c, f ),(d, e),(d, f ),(e, f )
,共 15 种,且每种情况的出现均等可能。?????10 分 若这 2 人成绩要满足“ | x ? y |? 10 ”,则要求一人选自 40~50 分数段,另一个选自 90~ 100 分数段,有如下情况: (a, e),(a, f ),(b, e),(b, f ),(c, e),(c, f ),(d, e),(d, f ) ,共 8 种,所 以由古典概型概率公式有 P( A ) ?

8 ,即所取 2 人的成绩满足“ | x ? y |? 10 ”的概率是 15

8 . 15

???.12 分

7


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