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上海市金山中学2014-2015学年高一上学期9月质检数学试卷


上海市金山中学 2014-2015 学年高一上学期 9 月质检数学试卷
一、填空题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},P={1,2,5},Q={2,3,4,5},则?U(P∪Q)的所 有元素的和为. 2.已知集合 A={y|y=x },B={y|y=﹣2x +3},则 A∩B=. 3.x≠1 或 y≠2 是 x

+y≠3 的条件.
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4.已知

=

,则 2A+3B=.

5.已知:直线 l: (2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0,不论 m 为何实数,直线 l 恒过一定点 M,则点 M 的坐标. 6.满足条件{1,2}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有个. 7.命题“若 x ﹣3x+2>0,则 x≠1 且 x≠2”的逆否命题是若 x=1 或 x=2 则. 8.将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为.
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9.某个命题与自然数 n 有关,如果当 n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时 该命题也成立.那么当 n= 时,该命题不成立,可推 n=5 时该命题也不成立. 10.下面有四个说法: (1)a<1 且 b<1?a+b<2 且 ab<1; (2)a<1 且 b<1?ab﹣a﹣b+1<0 且 ab<1; 2 2 (3)a>|b|?a >b ; (4)x>1? ≤1 其中正确的是. 11.一元二次方程 kx +3kx+k﹣3=0 有一个正根和一个负根,则实数 k 的取值范围为.
2

12.已知关于 x 的一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集为(﹣2,3) ,则关于 x 的不等式 cx+b +a<0 的解集为.

2

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 3 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 13.下列各式中正确的个数是() ①0∈{0};②0∈?;③??{0}④?={0}. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 14.不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,2) B.[﹣2,2] C.(﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2) 15.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是() A. C. B. a >b
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D.a|c|>b|c|

16.若数集 A={x|2a+1≤x≤3a﹣5},B={x|3≤x≤22},则能使 A?B 成立的所有 a 的集合是() A.{a|1≤a≤9} B.{a|6≤a≤9} C.{a|a≤9} D.?

三、解答题(共 5 小题,满分 52 分) 17.已知集合 M={2,3,m +4m+2},P={0,7,m +4m﹣2,2﹣m},若 M∩P={3,7},求 实数 m 的值和集合 P∪M. 18.已知命题 p:2≤x<4,命题 q:3m﹣1≤x≤﹣m,且 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值 范围.
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19.当 k 取什么值时,一元二次不等式

对一切实数 x 都成立?

20. 已知集合 A={x|﹣2<x<﹣1 或 x> ) , B={x|x +ax+b≤0) 且 A∪B={x|x+2>0}, A∩B={x| <x≤3},求 a,b 的值. 21.已知函数 f(x)=ax﹣bx (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1 求证 a≤2 . (2)当 b>1 时,求证;对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b﹣1≤a≤2
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上海市金山中学 2014-2015 学年高一上学期 9 月质检数学 试卷
一、填空题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},P={1,2,5},Q={2,3,4,5},则?U(P∪Q)的所 有元素的和为 6. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 进而结合集合交集,并集,补集的定义,可得答案. 解答: 解:∵P={1,2,5},Q={2,3,4,5}, ∴P∪Q={1,2,3,4,5}, 又∵全集 U={1,2,3,4,5,6}, ∴?U(P∪Q)={6}, 故?U(P∪Q)的所有元素的和为 6, 故答案为:6 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 2.已知集合 A={y|y=x },B={y|y=﹣2x +3},则 A∩B=[0,3]. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中 y 的范围,分别确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 2 解答: 解:由 A 中 y=x ≥0,得到 A=[0,+∞) ; 2 由 B 中 y=﹣2x +3≤3,得到 B=(﹣∞,3], 则 A∩B=[0,3]. 故答案为:[0,3] 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.x≠1 或 y≠2 是 x+y≠3 的必要非充分条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:根据逆否命题的等价性,只需要判断 x+y=3 与 x=1 且 y=2 的条件关系即可. 若 x=0,y=3 时,满足 x+y=3,但此时 x=1 且 y=2,不成立,即充分性不成立. 若 x=1,y=2 时,则 x+y=3 成立,即必要性成立. 即 x+y=3 是 x=1 且 y=2 的必要不充分条件, 即“x≠1 或 y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件, 故答案为:必要非充分 点评: 判断充要条件的方法是:
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①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系.

4.已知

=

,则 2A+3B=20.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用多项式的计算与恒等式的性质即可得出. 解答: 解:∵ = ,



=

=





,解得 A=1,B=6.

∴2A+3B=2+3×6=20. 故答案为:20. 点评: 本题考查了多项式的计算与恒等式的性质,属于基础题. 5.已知:直线 l: (2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0,不论 m 为何实数,直线 l 恒过一定点 M,则点 M 的坐标(﹣1,﹣2) . 考点: 恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: 直线的方程即(x+y+4)+m(x﹣2y﹣3)=0,不论 m 为何实数,直线 l 恒过直线 2x+y+4=0 和直线 x﹣2y﹣3=0 的交点 M,解方程组求得 M 的坐标. 解答: 解:直线 l: (2+m)x+(1﹣2m)y+4﹣3m=0,即 (2x+y+4)+m(x﹣2y﹣3)=0, 不论 m 为何实数,直线 l 恒过直线 2x+y+4=0 和直线 x﹣2y﹣3=0 的交点 M, 则由 ,求得点 M 的坐标为(﹣1,﹣2) ,

故答案为: (﹣1,﹣2) . 点评: 本题主要考查直线过定点问题,令参数 m 的系数等于零,求得 x 和 y 的值,即可 得到定点的坐标,属于基础题. 6.满足条件{1,2}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有 3 个.

考点: 子集与真子集. 专题: 计算题;集合. 分析: 利用集合间的关系可知:集合 A 中除了含有 1,2 两个元素以外,至少必须含有另 外一个元素,据此即可求出. 解答: 解:∵{1,2}?A?{1,2,3,4},∴集合 A 中除了含有 1,2 两个元素以外,至少 必须含有另外一个元素, 因此满足条件的集合 A 为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 3 个. 故答案为:3. 点评: 本题给出集合的包含关系,求满足条件集合 M 的个数.考查了集合的包含关系的 理解和子集的概念等知识,属于基础题. 7.命题“若 x ﹣3x+2>0,则 x≠1 且 x≠2”的逆否命题是若 x=1 或 x=2 则 x ﹣3x+2≤0. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,直接写出它的逆否命题即可. 解答: 解:命题“若 x ﹣3x+2>0,则 x≠1 且 x≠2”的逆否命题是 2 “若 x=1 或 x=2,则 x ﹣3x+2≤0”. 2 故答案为:x ﹣3x+2≤0. 点评: 本题考查了命题与它的逆否命题之间的关系, 解题时应明确四种命题之间的关系是 什么,是基础题目. 8.将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为(A∪C)∩(CUB) .
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考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 由韦恩图可以看出, 阴影部分中的元素满足“是 A 的元素或 C 的元素, 且不是 B 的 元素”,由韦恩图与集合之间的关系易得答案. 解答: 解:由已知中阴影部分所表示的集合元素满足, 是 A 的元素或 C 的元素,且不是 B 的元素, 即是 A 的元素或 C 的元素,且是 B 的补集的元素, 故阴影部分所表示的集合是(A∪C)∩(CUB) , 故答案为: (A∪C)∩(CUB) . 点评: 本题考查利用韦恩图求集合、考查韦恩图在解决集合间的关系时是重要的工具. 9.某个命题与自然数 n 有关,如果当 n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时 该命题也成立.那么当 n=6 时,该命题不成立,可推 n=5 时该命题也不成立. 考点: 数学归纳法.

专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 如果当 n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立,利用原 命题与其逆否命题的等价性可得答案. 解答: 解:如果当 n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立, 其逆否命题为:当 n=k+1 时该命题不成立,则当 n=k(k∈N)时该命题也不成立. 所以,当 n=6 时该命题不成立,可推 n=5 时该命题也不成立, 故答案为:6. 点评: 本题考查数学归纳法, 熟练应用原命题与其逆否命题的等价性是关键, 属于中档题. 10.下面有四个说法: (1)a<1 且 b<1?a+b<2 且 ab<1; (2)a<1 且 b<1?ab﹣a﹣b+1<0 且 ab<1; (3)a>|b|?a >b ; (4)x>1? ≤1 其中正确的是(3) (4) . 考点: 不等式的基本性质. 专题: 探究型;不等式的解法及应用. 分析: 分别利用不等式的性质进行判断,即可得出结论. 解答: 解: (1)若 a=﹣2,b=﹣2,满足 a<1 且 b<1,但 ab=4<1 不成立,所以(1)错 误. (2)因为 ab﹣a﹣b+1=(a﹣1) (b﹣1) ,所以若 a<1 且 b<1,则 a﹣1<0,b﹣1<0, 所以 ab﹣a﹣b+1>0,所以(2)错误. (3)因为 a>|b|,所以 a>0,所以 a >b ;成立. (4)由 x>1,得到 0< <1,所以 ≤1 成立. 故答案为: (3) (4) . 点评: 本题主要考查不等式性质的应用,不成立的不等式们可以考虑使用特殊值法. 11.一元二次方程 kx +3kx+k﹣3=0 有一个正根和一个负根,则实数 k 的取值范围为 0<k< 3. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意,可得
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①或

②,分别解之,取并即可.

解答: 解:令 f(x)=kx +3kx+k﹣3, 2 ∵一元二次方程 kx +3kx+k﹣3=0 有一个正根和一个负根, ∴ ①或 ②,

∵f(0)=k﹣3,

∴由①得:0<k<3;由②得:x∈?, ∴实数 k 的取值范围为:0<k<3. 故答案为:0<k<3. 点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系, 考查等价转化思想与分类讨论思 想的综合应用,属于中档题. 12.已知关于 x 的一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集为(﹣2,3) ,则关于 x 的不等式 cx+b +a<0 的解集为[0, ) .
2

考点: 一元二次不等式的应用;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集是(﹣2,3)构造解集为(﹣2,3)和 2 ax +bx+c>0 是同解不等式然后可得出 a,b,c,再代入求 cx+b +<0 的解集即可. 解答: 解:∵(x+2) (x﹣3)<0 的解集为(﹣2,3) 2 2 则﹣x +x+6>0 与 ax +bx+c>0 是同解不等式, ∴a=﹣1,b=1,c=6 则关于 x 的不等式 cx+b +a<0 的解集即为 6x+ ﹣1<0 的解集 ∴6 解得 0≤x< 故关于 x 的不等式 cx+b 故答案为:[0, ) 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法. 解题的关键是要利用解集构造出同解不等 式,属于基础题. 二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 3 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 13.下列各式中正确的个数是() ①0∈{0};②0∈?;③??{0}④?={0}. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 元素与集合关系的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 明确 0 与空集的不同、元素与集合的关系,对四个命题分别分析解答. 解答: 解:①元素 0 在集合{0}中,故正确; ②?是没有任何元素的集合,因此②错误; ③空集是任何集合的子集,所以正确; ④根据空集的定义,空集中没有任何元素,所以④错误; 故选:B. +a<0 的解集为[0, ) + ﹣1<0 即(2 +1) (3 ﹣1)<0
2

点评: 本题考查了元素与集合的关系以及空集与集合{0}的关系; 明确概念是解答的关键. 14.不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,2) B.[﹣2,2] C.(﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2) 考点: 函数恒成立问题. 分析: 这是一道类似二次不等式在 x∈R 恒成立求参数的问题, 应首先考虑 a﹣2 是否为零. 解答: 解:①当 a=2 时,不等式恒成立.故 a=2 成立 ②当 a≠2 时,要求 解得:a∈(﹣2,2) 综合①②可知:a∈(﹣2,2] 故选 C. 点评: 本题考查类似二次函数在 R 上的恒成立问题,容易忘记考虑系数为零的情况. 15.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是() A. C. B. a >b
2 2 2

D.a|c|>b|c|

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 本选择题利用取特殊值法解决,即取符合条件的特殊的 a,b 的值,可一一验证 A, B,D 不成立,而由不等式的基本性质知 C 成立,从而解决问题. 解答: 解:对于 A,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 B,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 D,取 c=0,即知不成立,故错; 2 对于 C,由于 c +1>0,由不等式基本性质即知成立,故对; 故选 C. 点评: 本小题主要考查不等关系与不等式、 不等关系与不等式的应用、 不等式的基本性质 等基础知识,属于基础题. 16.若数集 A={x|2a+1≤x≤3a﹣5},B={x|3≤x≤22},则能使 A?B 成立的所有 a 的集合是() A.{a|1≤a≤9} B.{a|6≤a≤9} C.{a|a≤9} D.? 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 探究型. 分析: 利用 A?B,建立不等关系即可求解,注意当 A=?时,也成立. 解答: 解:若 A=?,即 2a+1>3a﹣5,解得 a<6 时,满足 A?B. 若 A≠?,即 a≥6 时,要使 A?B 成立, 则 ,即 ,解得 1≤a≤9,此时 6≤a≤9.

综上 a≤9. 故选 C. 点评: 本题主要考查利用集合关系求参数取值问题,注意对集合 A 为空集时也成立,注 意端点取值等号的取舍问题. 三、解答题(共 5 小题,满分 52 分) 17.已知集合 M={2,3,m +4m+2},P={0,7,m +4m﹣2,2﹣m},若 M∩P={3,7},求 实数 m 的值和集合 P∪M. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合关系确定元素关系,即可得到结论. 解答: 解:∵M∩P={3,7}, 2 2 ∴m +4m+2=7,即 m +4m﹣5=0, 解得 m=1 或 m=﹣5, 当 m=1 时,M={2,3,7},P={0,7,3,1},满足条件 M∩P={3,7}, 当 m=﹣5 时,M={2,3,7},P={0,7,3,7},集合 B 不成立, 故 m=1. 此时 P∪M={0,1,2,3,7}. 点评: 本题主要考查集合的基本元素,根据交集确定元素,注意要进行检验. 18.已知命题 p:2≤x<4,命题 q:3m﹣1≤x≤﹣m,且 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值 范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式之间的关系,利用充分必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:设 p 对应的集合为 A=[2,4) ,q 对应的集合为 B=[3m﹣1,﹣m], 若 p 是 q 的充分条件, 则 A?B,
2 2









解得:m≤﹣4. ∴实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣4]. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式之间的关系即可得到结论.

19.当 k 取什么值时,一元二次不等式

对一切实数 x 都成立?

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先分类讨论:当 k=0,有﹣ <0 恒成立;当 k≠0,利用二次函数的性质求解,令 y= ,要 y<0 恒成立,则开口向下,抛物线与 x 轴没公共点,即 k<0,且△

<0,解不等式即可得到 k 的取值范围. 解答: 解:当 k=0,有﹣ <0 恒成立; 当 k≠0,令 y= ,

∵y<0 恒成立, ∴开口向下,抛物线与 x 轴没公共点, 2 即 k<0,且△ =k +3k<0, 解得﹣3<k<0; 综上所述,k 的取值范围为﹣3<k≤0. 点评: 本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0,a,b,c 为常数)根的判别式△ =b ﹣ 4ac.当△ >0,方程有两个不相等的实数根;当△ =0,方程有两个相等的实数根;当△ <0, 方程没有实数根. 同时考查了分类讨论思想的运用和利用二次函数图象解一元二次不等的方 法.
2 2 2

20. 已知集合 A={x|﹣2<x<﹣1 或 x> ) , B={x|x +ax+b≤0) 且 A∪B={x|x+2>0}, A∩B={x| <x≤3},求 a,b 的值. 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 的并集中不等式的解集确定出并集,由 A,B,以及 A 与 B 的并集、 交集确定出 a 与 b 的值即可. 解答: 解:∵A={x|﹣2<x<﹣1 或 x> ) ,B={x|x +ax+b≤0) ,且 A∪B={x|x+2>0}={x|x >﹣2},A∩B={x| <x≤3}, ∴B={x|﹣1<x≤3},即﹣1,3 为 x +ax+b=0 的解, ∴﹣1+3=﹣a,﹣1×3=b, 解得:a=﹣2,b=﹣3. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 21.已知函数 f(x)=ax﹣bx (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1 求证 a≤2 . (2)当 b>1 时,求证;对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b﹣1≤a≤2 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
2 2 2



专题: 计算题;简易逻辑. 分析: (1)由题意可得 bx ﹣ax+1≥0 恒成立,利用判别式即; (2)对任意 x∈[0,1],由|f(x)|≤1 推出其等价条件即可. 解答: 证明: (1)∵对任意 x∈R 都有 f(x)≤1, 2 ∴bx ﹣ax+1≥0 恒成立, 2 ∴△=a ﹣4b≤0, ∴ . 2 (2)∵|f(x)|≤1?﹣1≤ax﹣bx ≤1
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点评: 本题考查了恒成立问题的处理及充要条件的证明,恒成立问题可用判别式法处理, 充要条件注意推等价关系,属于中档题.


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