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高一数学集合知识点归纳及典型例题


集合
一、知识点: 1、元素: (1)集合中的对象称为元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的 元素,记作 b ? A ; (2)集合中对象元素的性质:确定性、互异性、无序性; (3)集合表示方法:列举法、描述法、图示法; (4)常用数集: N ; N * ; N ? ; Z ; Q; R 2、集合的关系: 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; (5) CS ( A ? B) ? (CS A) ? (CS B),CS ( A ? B) ? (CS A) ? (CS B);

二、典型例题
例 1. 已知集合 A ? {a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3} ,若 1 ? A ,求 a。
2 2

例 2. 已知集合 M= x ? R | ax ? 2 x ? 1 ? 0 中只含有一个元素,求 a 的值。
2

?

?

例 3. 已知集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | ax ? 1 ? 0}, 且 B
2

A,求 a 的值。

\

2 例 4. 已知方程 x ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实根 x1, x2. 设 C={x1, x2}, A={1, 3,

5,7,9}, B={1,4,7,10},若 A ? C ? ?, C ? B ? C ,试求 b, c 的值。

例 5. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , (1)若 A ? B ? ? , 求 m 的范围; (2)若 A ? B ? A , 求 m 的范围。

例 6. 已知 A={0, 1}, B={x|x ? A}, 用列举法表示集合 B, 并指出集合 A 与 B 的关系。

三、练习题
1. 设集合 M= {x | x ? 17}, a ? 4 2 , 则( A. a ? M B. a ? M C. a = M ② 2. 有 下 列 命 题 : ① {?} 是 空 集 ) D. a > M 集合 若 a ? N, b ? N , 则 a ? b ? 2 ③

{x | x ? 2 x ? 1 ? 0} 有两个元素 ④ 集合
2

B ? {x |

100 ? N , x ? Z} x 为无限集,其中正确命

题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中,表示同一集合的是( ) A. M={(3,2)} , N={(2,3)} B. M={3,2} , N={(2,3)} C. M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={1,2}, N={2,1}

}, N ? {a ? a ? 4,2a ? 1},若 M ? N ? {2} , 则 a 的取值集 4. 设集合 M ? {2,3, a ? 1 合是( )
2 2

1 {?3,2, } 2 A.
A. a ? 2

B. {-3} B. a ? 2

1 {?3, } 2 C.
C. a ? 1

D. {-3,2} ) D. a ? 1

5. 设集合 A = {x| 1 < x < 2}, B = {x| x < a}, 且 A ? B , 则实数 a 的范围是 (

6. 设 x, y∈R, A={ (x, y) |y=x}, B= ) ? A. A B B. B A C. A=B D. A B 7. 已知 M={x|y=x2-1} , N={y|y=x2-1}, 那么 M∩N=( ) A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A = {-2, -1, 0, 1}, B = {x|x=|y|, y∈A}, 则集合 B=_________________ 9. 若 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}, 且B ? A , 则 a 的值为_____ ? ? 10. 若{1,2,3} A {1,2,3,4,5}, 则 A=____________ 11. 已知 M={2,a,b}, N={2a,2,b2},且 M=N 表示相同的集合,求 a,b 的值
2 2

{( x, y ) |

y ? 1} x , 则集合 A, B 的关系是 (

12. 已知集合 A ? {x | x ? 4x ? p ? 0}, B ? {x | x ? x ? 2 ? 0}且A ? B, 求实数 p 的范 围。
2 2

13. 已知 A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0}, B ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,且 A,B 满足下列三
2 2 2

个条件:① A ? B

② A?B? B

③ Φ

A ? B ,求实数 a 的值。

四、练习题答案
1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. {0,1,2} 9. 2,或 3 10. {1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,3,5}或{1,2,3,4,5}

? ?a ? 2 ? ?a ? 2a ?a ? b ?a ? 0 ?a ? 0 ?b ? ? ? ? ? 2 b ? 2 a b ? b b ? 0 b ? 1 ? ? ? ? 11. 解:依题意,得: 或 ,解得: ,或 ,或 ? 1 ? ?a ? 4 ?a ? 0 ? 1 ?b ? ? 2。 结合集合元素的互异性,得 ? b ? 1 或 ?
12. 解:B={x|x<-1, 或 x>2} ① 若 A = Φ,即 ? ? 16 ? 4 p ? 0 ,满足 A ? B,此时 p ? 4

1 4 1 2

② 若A ? ? , 要使 A ? B, 须使大根 ? 2 ? 4 ? p ? ?1 或小根 ? 2 ? 4 ? p ? 2(舍) , 解得:

3? p ? 4
所以 p ? 3 13. 解:由已知条件求得 B={2,3},由 A ? B ? B ,知 A ? B。 而由 ①知 A ? B ,所以 A 又因为 Φ B。

A ? B ,故 A≠Φ,从而 A={2}或{3}。

2 2 2 当 A={2}时, 将 x=2 代入 x ? ax ? a ? 19 ? 0 , 得 4 ? 2a ? a ? 19 ? 0 ? a ? ?3或5 经检验,当 a= -3 时,A={2, - 5}; 当 a=5 时,A={2,3}。都与 A={2}矛盾。 2 2 当 A = {3}时,将 x=3 代入 x ? ax ? a ? 19 ? 0 ,得

9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 ? a ? ?2或5
经检验,当 a= -2 时,A={3, - 5}; 当 a=5 时,A={2,3}。都与 A={2}矛盾。 综上所述,不存在实数 a 使集合 A, B 满足已知条件。


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