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北京市东城区示范校2012届高三下学期3月综合练习文科数学


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东城区普通高中示范校高三综合练习(二) 高三数学(文)
2012.3

学校: 班级: 姓名: 成绩: 一、选择题: (本大题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知集合 A ? ?

x x ? 2 , x ? R ? , A. (1,2) B.[1,2]
B ?

?x

4x ? x

2

? 0 , x ? Z ,则 A ? B 等于

?

C.(1,2]

D.{1,2}

2. i 是虚数单位,若 z (i ? 1) ? i ,则 z 等于 A.
1 2 ? 1 2
2

i

B. ?

1 2

?

1 2

i

C.

1 2

?

1 2

i

D. ?

1 2

?

1 2

i

3.“ a ? 2 ”是“直线 ( a ? a ) x ? y ? 0 和直线 2 x ? y ? 1 ? 0 互相平行”的 A.充要条件 B. 充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 4. 设数列 { a n } 满足: 2 a n ? a n ? 1 ( n ? N ) ,

且前 n 项和为 S n ,则
15 2
15 4

S4 a2

的值为

A.

B.

C. 4

D. 2

5. 某程序框图如右图所示,现将输出 ( x , y ) 值 依次记为: ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ? , ( x n , y n ) , ? ; 若程序运行中输出的一个数组是 ( x , ? 1 0 ), 则数组中的 x 等于 A.64 B.32 C.16 6. 给出下列命题: ① 如果不同直线m、n都平行于平面 ? ,则m、n一定不相交; ② 如果不同直线m、n都垂直于平面 ? ,则m、n一定平行; ③ 如果平面 ? 、 ? 互相平行,若 直线 m ? ? ,直线 n ? ? ,则m//n. ④ 如果平面 ? 、 ? 互相垂直,且直线m、n也互相垂直,若 m ? ? 则 n ? ? . 则真命题的个数是
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D.8

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A.3 7. 已知函数 f ( x ) ? ?
?
2

B.2
2
?x

C.1
x ? 0, x ? 0,

D.0

,

? ? x ? 2 a x ? 1,

( a ? R ) 则下列结论正确的是

A. ? a ? R , f ( x ) 有最大值 f ( a ) C. ? a ? R , f ( x ) 有唯一零点
2 2

B. ? a ? R , f ( x ) 有最小值 f ( 0 ) D. ? a ? R , f ( x ) 有极大值和极小值

8. 如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 相交于 P、Q 两点,且点 P、Q 关于直
? kx ? y ? 1 ? 0 , ? 线 x ? y ? 0 对称,则 不等式组 ? kx ? my ? 0 , 表示的平面区域的面积是 ? y ? 0. ?

A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 4

二、填空题 :(每题 5 分,共 6 小题) 9. 若点 P (cos ? , sin ? ) 在直线 y ? ? 2 x 上, 则 tan( ? ?
?
4 ) = ______________ .
?

10. 已知向量 a , b 的夹角为 6 0 , a ? 2 , b ? 3 , 则 2a ? b ? .

11. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 . 12. 若双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右顶点分别是 A 1 , A 2 ,线段 A 1 A 2

被y

2

? bx 的焦点分为 3:1 两段, 则此双曲线的离心率为
2



13. 已知 a ? 0 , b ? 0 , 函数 f ( x ) ? x ? ( a b ? a ? 4 b ) x ? a b 是偶函数, 则 f ( x ) 的图象与 y 轴交点纵坐标的最小值为 14. 函数 f ( x ) 的定义域为 A,若 x1 , x 2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时总有 x 1 ? 则称 f ( x ) 为单函数.例如:函数 f ( x ) =2x+1( x ? R )是单函数. 给出下列命题: ①函数 f ( x ) ? x 2 (x ? R)是单函数; ②指数函数
f (x) ? 2
x

.
x2



(x ? R)是单函数;

③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) 三、解答题: (共 6 小题) 15. (本小题满分 13 分)
2 2 已知函数 f ( x ) ? ( s in x ? c o s x ) ? 2 3 c o s x , x ? R

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(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其单调递减区间; (Ⅱ)在锐角△ A B C 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对的边,又 a =2, f ( A ) ? 1 ? bc=
5 3
3 ,

,求△ A B C 的周长.

16. (本小题满分 13 分) 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设 A , B , C 三个工作组,其分别有组员 36,36,18 人,现在意见稿已公布,并向社会公开征求意见,为搜集所征求的意见,拟采 用分层抽样的方法从 A , B , C 三个工作小组抽取 5 名工作人员来完成. (Ⅰ)求从三个工作组分别抽取的人数; (Ⅱ)搜集意见结束后,若从抽取的 5 名工作人员中再随机抽取 2 名进行汇总整理,求这 两名工作人员没有 A 组工作人员的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图所示, 在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E , F 分别为 D D 1 , D B 的中点. (Ⅰ)求证: E F //平面 A B C 1 D 1 ; (Ⅱ)求证: E F
? B1C
? EFC

D1 A1 E B1

C1

D F A B

C

; 的体积.
a 4 3 2

(Ⅲ)求三棱锥 V B

1

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 a x ? 3 a x ? 1 , g ( x ) ? ?
3 2

x?

(a ? R ) .

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,

求函数 y ? f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ) 当 a ? 0 时,若任意给定的 x 0 ? ? 0 , 2 ? ,在 ? 0 , 2 ? 上总存在两个不同的 x i ( i ? 1, 2 ) ,使 得
f ( x i ) ? g ( x 0 ) 成立,求 a 的取值范围.[.co

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点

分别为 F 1 , F 2 , 离心率为

2 2

.以原点为圆心,椭圆的
2 ? 0 相切.

短轴长为直径的圆与直线 x ? y ?

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(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 如图,若斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于点 A , M , N ( A 点在椭 圆右顶点的右侧) ,且 ? NF 2 F 1 ? ? MF 2 A . (ⅰ)求证:直线 l 过定点(2,0); (ⅱ)求斜率 k 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 定义:若数列 ? A n ? 满足 A n ? 1 ? A n ,则称数列 ? A n ? 为“平方递推数列”.已知数列 ?a n ?
2

中, a 1 ? 2 ,点 ( a n , a n ? 1 ) 在函数 f ( x ) ? 2 x ? 2 x 的图象上,其中 n 为正整数.
2

(Ⅰ) 证明:数列 ?2 a n ? 1? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg( 2 a n ? 1 ) ? 为等比数列; (Ⅱ) 设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即
T n ? ( 2 a 1 ? 1)( 2 a 2 ? 1) ? ( 2 a n ? 1) ,求数列 ?a n ? 的通项公式及 T n 关于 n 的表达式;

(Ⅲ)记 b n ? log 最小值.

2 a n ?1

T n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项之和 S n ,并求使 S n ? 2012

成立的 n 的

东城区示范校综合练习(二) 高三数学答案 (文)
一、选择题 1.D 2.A 二、填空题 9. ?
1 3

2012 年 3 月

3.B

4.A

5.B

6.C

7.C

8. D

10. 13

11.

2 3

12. 5

13.16

14.②③④

三、解答题 15. (本小题满分 13 分)
2 解: (Ⅰ) f ( x ) ? (sin x ? cos x ) ? 2 3 cos 2

x
3 ( 1 ? cos 2 x )

? sin

2

x ? cos

2

x ? 2 sin x ? cos x ?

-------------2 分

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? 1?

3 ? (sin 2 x ?

3 cos 2 x )

?1?

3 ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

------------------------------------4 分 --------------------------------------------5 分 ,k ? Z

所以函数 f ( x ) 的周期为 ? . 由2k? ? 解得
?
2 k? ? ? 2x ?

?
3

? 2k? ? 7? 12

3? 2

?
12

? x ? k? ?


? 12 ,k? ? 7? 12 ]( k ? Z ). ----------7 分

故函数 f ( x ) 的单调减区间是 [ k ? ?

(Ⅱ)在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对的边,
f ( A) ? 1 ? 3

?1? ? 2 ,所 以 ? 3

3 ? 2 s in2 A ? ( ? 2A ? ? 3 ? 4? 3

?
3

),

则 sin( 2 A ?

?
3

) ? 0,

因为0 ? A ?

, -----------------------------10 分

所以 2 A ?

?
3

? ? .

则A ?

?
3

.

又 a =2, 由余弦定理
a
2

? b

2

? c

2

? 2

b c o s ,A c 得

4?

( b ?

2

c) ?

2 b ? c

2 b c o s A, c

因为 b c ?

5 3

,所以 b ? c ? 3 , 则 ?ABC 的周长等于 5 .

--------------------13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)三个工作组的总人数为 36+36+18=90, 样本容量与总体中个体数的比为
5 90 ? 1 18 ,

所以从 A , B , C 三个工作组分别抽取的人数为 2,2,1. ------------------5 分

(II)设 A1 , A 2 为从 A 组抽得的 2 名工作人员, B 1 , B 2 为从 B 组抽得的工作人员,C 1 为 从 C 组抽得的工作人员,若从这 5 名工作人员中随机抽取 2 名,其所以可能的结果是:
( A 1 , A 2 ), ( A 1 , B 1 ), ( A 1 , B 2 ), ( A 1 , C 1 ), ( A 2 , B 1 ), ( A 2 , B 2 ), ( A 2 , C 1 ), ( B 1 , B 2 ), ( B 1 , C 1 ),

( B 2 , C 1 ) ,共有 10 种,

--------------------------9 分

其中没有 A 组工作人员的结果是: ( B 1 , B 2 ), ( B 1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 ) 有 3 种,

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--------------------------11 分 所以从抽取的 5 名工作人员中再随机抽取 2 名进行汇总整理,此时这两名工作人员中 没有 A 组工作人员的概率 P ?
3 10



-------------------------13 分

17. (本小题满分 14 分) 证明:Ⅰ) ( 连结 B D 1 , ? DD 1 B 中, 、 分别为 D 1 D , 在 E F
D B 的中点,则
A1

D1 B1 E

C1

? ? D 1 B ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ? E F // 平 面 A B C 1 D 1 E F ? 平 面 A B C 1D1 ? ? E F // D 1 B

D F A B

C

---------------------------4 分

? ? B1C ? B C 1 ? (Ⅱ) ? ? A B , B1C ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ? A B ? B C1 ? B ?

B1C ? A B

B1C ? B D 1 ? B1C ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ?? ? ? E F ? B 1C E F // B D 1 ? B D1 ? 平 面 A B C 1 D1 ?

-------------------------------9 分 (Ⅲ)? C F ? 平 面 B D D 1 B 1
? C F ? 平 面 E F B1

-------------------------------10 分
2
3 , B1 F ?



C F?
1 2

B F ?

? EF ?

B D1 ?

BF

2

? B B1

2

?

(

2) ? 2
2

2

?

6

B1 E ?

B1 D 1 ? D 1 E
2
2

2

?

1 ? (2
2

2)

2

? 3

2 ∴ E F ? B1 F

? B1 E

2

? 即 ? E F B1 ? 9 0

-----------------------------12 分
? 1 3 ? S ?B ?CF = 1 3 ? 1 2 ? E F ? B1 F ? C F

? VB

1

? EFC

? VC ? B

1EF

1EF

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=

1 3

?

1 2

?

3?

6 ?

2 ?1

-------------------------14 分

18. (本题满分 13 分)
2 解: (I) f ? ( x ) ? 6 x ? 6 x ? 6 x ( x ? 1).

------------------------2 分 由 f ?( x ) ? 0 , 得 0 ? x ? 1 ;

由 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? 1或 x ? 0 ;

故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , 0 ) 和 (1, ?? ) ;单调递减区间是(0,1). -------------------------6 分 (II) ①当 a ? 0 时, f ( x ) ? 1 , g ( x ) ?
3 2

,显然不可能满足题意; -------------------------7 分

②当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 6 ax
x

2

? 6 ax ? 6 ax ( x ? 1 ) .

0 0 1

(0,1) + ]

1 0 极 大 值
1? a

(1,2) —

2

f ?( x )

f (x)

1 ? 4a

------------------------------9 分 又因为当 a ? 0 时 , g ( x ) ? ? 对任意 x ? [ 0 , 2 ], g ( x ) ? [ 由题意可得 ? 解得 a ? ? 1 .
a 2 ? 3 2

a 4

x ?
a 2 ?

3 2

在[0,2]上是增函数,
3 2 ],

3 2

,?

-------------------------------11 分

?1? a

综上,a 的取值范围为 ( ?? , ? 1 ) . ------------------------------13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (I)由题意知 e ?
c a ? 2 2

, 所以 e

2

?

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a

2

?

1 2

.即 a ? 2 b .
2 2

又因为 b ?

2 1?1

? 1 ,所以 a

2

? 2 ,b

2

? 1.

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

?1 .

--------------------------5 分

2

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(II)由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ( k ? 0 ) , M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ).
? y ? kx ? m , 得 ?2 k ? 2 2 x ? 2y ? 2 ?
2

? 1 ?x

2

? 4 kmx ? ?2 m

2

? 2 ? ? 0.

2 2 由 ? ? 16 k m ? 4 ?2 k ? 1 ??2 m ? 2 ? ? 0 , 得 m ? 2 k ? 1 .
2 2 2 2

则有 x 1 ? x 2 ?

? 4 km 2k
2

?1

, x1 x 2 ?

2m 2k

2 2

? 2 ?1

.
?

---------------------7 分

因为 ? NF 2 F 1 ? ? MF 2 A , 且 ? MF 2 A ? 90 , 所以 k MF ? k NF ? 0 , 又 F 2 ?1,0 ?
2 2

--------------------8 分
kx 2 ? m x2 ? 1

y1 x1 ? 1

?

y2 x2 ? 1

? 0 ,即

kx 1 ? m x1 ? 1

?

? 0.

化简得: 2 kx 1 x 2 ? ? m ? k ?? x 1 ? x 2 ? ? 2 m ? 0 .
? 4 km 2k
2

将 x1 ? x 2 ?

?1

, x1 x 2 ?

2m 2k

2 2

? 2 ?1

代入上式得 m ? ? 2 k (满足△ ? 0 ). 直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 k ,即直线过定点(2,0). ----------------------------12 分 将 m ? ? 2 k 代入 m ? 2 k ? 1 . 得 4 k ? 2 k ? 1 . 且 k ? 0
2 2 2 2

直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( ?

2 2

,0 ) ? ( 0 ,

2 2

). .

----------------------------14 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由条件 an+1=2an2+2an,得 2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2. 所以 ?2 a n ? 1? 是“平方递推数列”. 令 cn=2an+1 所以 lgcn+1=2lgcn. 因为 lg(2a1+1)=lg5≠0, lg(2an+1+1) 所以 =2. lg(2an+1)
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---------------------------2 分

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所以{lg(2an+1)}为等比数列. ----------------------------4 分 (Ⅱ)因为 lg(2a1+1)=lg5, 所以 lg(2an+1)=2n-1?lg5, 2n 1 所以 2an+1=5 , 1 2n-1 即 an=2(5 -1). 因为 lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1) lg5?(1-2n) = =(2n-1)lg5. 1-2 2n-1 所以 Tn=5 . -----------------------------8 分


(2n-1)lg5 2n-1 lgTn 1 n-1 (3)bn= = n-1 = n-1 =2-?2? , lg(2an+1) 2 lg5 2 ? ? 1 1 2 1 n-1 所以 Sn=2n-[1+2+?2? +…+?2? ] ? ? ? ? 1 n 1-?2? ? ? 1 n =2n- =2n-2[1-?2? ] 1 ? ? 1-2 1 n =2n-2+2?2? .

? ?

由 Sn>2012

1 n 得 2n-2+2?2? >2012,

? ?

1 n n+?2? >1007,

? ?

1 n 当 n≤1006 时,n+?2? <1007,

? ?

1 n 当 n≥1007 时,n+?2? >1007,

? ?

所以 n 的最小值为 1007. ----------------------------13 分

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