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成人高考数学第三章函数 (1)


第三章

函数

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学习目标

1.了解函数概念,会求一些常见函数的定义域。 2.了解函数的单调性、奇偶性、会判断一些常见函数 的单调性和奇偶性。 3.理解一次函数、反比函数的概念。掌握他们的图像 和性质。

学习目标
4.理解二次函数的概念,掌握它的图像和性质以及 函数y=ax2+bx+c与y=ax2的联系和区别。会求二次 函数的解析式及最大值,能运用二次函数解决相 关问题。 5.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的性质 ,掌握指数函数的概念、图像和性质。 6.理解对数函数的概念,掌握对数函数的运算性质 、图像

第三章
概念与性质
非空

函数
数集

任意

唯一确定

从集合A到集合

y ? f ( x), x ? A

第三章
对函数概念的理解

函数

(1)y=f(x)表示y是x的函数,是一个整体的符号, 不是f与x的乘积 (2)在y=f(x)中,f表示的是一种对应关系,x是自 变量

(3)定义域、值域及对应法则是函数的三要素

第三章
关于函数定义域

函数

?(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数 集R ; ?(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合; ?(3)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合; ?(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的 实数的集合.

第三章
求下列函数定义域

函数

(1 )

? x ? 1? y?
x ?1

2

? 1? x

(2 )

5? x y? | x | ?3

第三章

函数

[规范解答] (1)要使函数有意义,自变量x的取值 必须满足 ?x ? 1 ? 0 解得x≤1且x≠-1, 即函数定义域为 {x|x≤1,且x≠-1}.(6分) (2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足

? ?1 ? x ? 0

? 5? x ? 0 ? ?| x | ?3 ? 0
解得x≤5,且x≠±3, 即函数定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.(12分)

第三章 变 量 之 间 的 关 系
一次函数

函数

y=kx+b (k≠0) y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)

函 数

反比例函数

二次函数

y=ax2+bx+c (a≠0)

第三章
一次函数与正比例函数 正比例函数的性质

函数

原点(0,0)的一条直线; 1.正比例函数y=kx的图象是经过_________
一、三 象限 2. 1)当 k >0,y=kx经过______ 2)当 k <0,y=kx经过______ 二、四 象限.

第三章
一次函数与正比例函数 一次函数的性质

函数

1.在y=kx+b中: 增大 当k<0,y随x的增大而_____. 减小 当k>0,y随x的增大而_____;
2.y=kx+b(k≠0)所经过的象限: 一、三、二 k>0,b>0→___ ___ ___

二、四、一 k<0,b>0→___ ___ ___

二、四、三 一、三、四 k>0,b<0→___ ___ ___ k<0,b<0→___ ___ ___

第三章
例题

函数

函数y ? 2a ? 7a ? 9 x
2

?

?

a 2 ?9a?19

是关于x的正比例函数,

且为减函数,则a的值为( 3)

如果一次函数 y ? kx ? b 的图像经过点 A(1,7) 和 B(0,2) 则k? 5

第三章
3、反比例函数
反比例函数的图象和性质

函数

(1)k>0?图象(双曲线)的两个分支分别在一、 三象限,如图①所示.图象自左向右是下降 的?当x<0或x>0时,y随x的增大而减小(或y 随x的减小而增大).

第三章
反比例函数的图象和性质

函数

(2)k<0?图象(双曲线)的两个分支分别在二、 四象限,如图②所示.图象自左向右是上升 的?当x<0或x>0时,y随x的增大而增大(或y 随x的减小而减小).

第三章
4、二次函数

函数

定义:一般地,形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量,a为二次项系 数,ax2叫做二次项,b为一次项系数,bx叫做一次项, c为常数项。

注意:
(1)a,b,c为常数,且 a≠0 (2)等式的右边最高次数为 2 ,可以没有一次 项和常数项,但不能没有二次项。 (3)x的取值范围是任意实数。

第三章
函数

函数

y ? ax2 的图像和性质

第三章

函数

函数y ? ax2 ? bx ? c的图像和性质
c? ? 2 b y ? ax ? bx ? c ? a? x ? x ? ? a a? ?
2

配方

2 ? 2 b b2 c ? ? b ? ? a?x ? x ? ? ? ? 2 ? ? a a? ? 2a ? 4a ? ? ?

b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?
顶点式

2

第三章 二次函数:
2

函数

y ? ax ? bx ? c (a≠0)
y

a >0时, 图象开口向上.
b 当 x< ? , 2a b 当 x> ? , 2a b 当 x= ? , 2a

单调性

O

x
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ?

第三章
二次函数:
2

函数

y ? ax ? bx ? c (a≠0)
图象开口向下.
y
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ?

a <0时,

b 当 x< ? 2a b 当 x> ? 2a b 当 x= ? 2a

单调性

O

x

第三章
例题2001已知抛物线

函数
的对称轴方程为
x ?1

y ? x 2 ? ax ? 2

则这条抛物线的顶点坐标为( ) (1,?3)

抛物线 x2 ? ?2 y ? 2 图像的开口

顶点为

最值为

向下,(0,1),y最大值=1

第三章
关于平移 画出下列函数的草图

函数

y?x

2 2 2

y ? ? x ? 1? y ? x ?1
2 2

y ? ? x ? 1? y ? x ?1

左加右减 上加下减

第三章
想一想

函数

函数y ? ax2 ? bx ? c(其中a, b,c是常数), 当a, b,c满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数 ?

第三章

函数
f ( x ? 2) ? x 2 ? 4 x ? 3

2 f ( x ) ? x ?1 ,则 例题2005设函数

已知

f ?x ? 1? ? x 2 ? 2x ? 3, 则f ?x? ? x 2 ? 4 x

第三章
反函数
定义:

函数

函数y=f(x) (x∈A) 中,设它的值域为 C。我们根据 这个函数中x, y的关系,
用 y 把 x 表示出来,得到 x =ψ (y) 。 如果对于y在C中的任何一个值,通过x =ψ(y) ,x在 A中都有唯一的值和它对应,

那么, x =ψ(y)就表示y是自变量,x是自变量 y 的函 数。这样的函数 x = ψ(y) (y ∈C)叫做函数y=f(x) (x∈A) 的反函数.

第三章

函数

考虑到“用 y表示自变量 x的函数”

的习惯,将 x = f-1(y)
写成 y = f-1(x)

此时反函数中的X是原函数中的Y
反函数中的Y是原函数中的X

y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、 定义域

第三章
求反函数的步骤

函数

首先了解原函数的定义域和值域 一解:把y=f(x)看作是x的方程,解出x=f-1(y) 二换:将x, y互换 三注明:将x, y互换得y=f-1(x)

第三章
求下列函数的反函数

函数

y ? x ?1 y ? 3x ? 1 2x ? 3 y? x ?1 x?R

y ? ?x ? 1? x ?1 y? 3 x?3 y? x?2

2

x ?1 x?R

x ? R且x ? 2

第三章

函数

互为反函数的函数图象 例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数,并且画 出原来的函数和它的反函数的图象。
解: ∵y=3x-2
∴x=
x 0 y=3x-2 y

y ? 2 3
2 3
0
0

y?x

函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=

x?2 (x∈R) 3
-2 -1

1

y?

y
x y

-2
-2 0

x?2 3

-1
-2

1

x

2 3

第三章
给出定理:

函数

函数 y = f(x) 的图象与它的 反函数 y = f-1(x) 的图象关于直 线 y = x 对称。

第三章

函数

练习1: 画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象,再利用对 y?x 称性画出它的反函数的图象. y 2

y?x

x
y

0
0

1
1

2
4

3
9




y? x
x 0 1 4 9 … x

y

0

1

2

3



第三章
函数的性质—单调性

函数

设函数f(x)的定义域为 M : 如果对于属于定义域 M 内某个区间上的任意两 个自变量的值x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 如果对于属于定义域 M 内某个区间上的任意两 个自变量的值x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2), 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

第三章
函数的性质—单调性

函数

函数是增函数还是减函数.是对定义 域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增 函数,而在另一些区间上可能是减函数,
例如函数y=x2,当x∈[0,+∞)时是增函数, 当x∈(?∞,0)时是减函数.

注意:

第三章
函数的性质—单调性
单调区间

函数

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单 调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间。在单调区 间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下 降的。

第三章
函数的性质—奇偶性

函数

定义:设的定义域是A,并且当任意的x ∈A,也 有-x ∈A。 若f(-x) = f(x),那么,f(x)是偶函数; 若f(-x)= -f(x), 那么 f(x)是奇函数;

奇函数和偶函数的定义域关于原点对称

第三章
函数的性质—奇偶性

函数

(1)定义域含零的奇函数必过原点(可用于求函 数表达式中的参数); (2)判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f(x) ±f(–x)=0;

(3)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,
再判断其奇偶性;

第三章
判断函数奇偶性

函数

f ?x ? ? x

2

1 f ?x ? ? x f ?x ? ? x 3

f ?x ? ? x | x |

第三章
函数的性质—周期性

函数

定义:对于函数y=f(x),x ∈A,如果存在一个非零 常数T,使得对于任意的x ∈A,都有

f(x)= f(x+T)
那么函数y=f(x)为周期函数,常数T为这个函数的 周期。 注意:周期函数的周期不止一个,所有周期中存在 的一个最小的整数,称为函数的最小正周期。


函数f ?x ?定义域为全体实数,且 是以5为周期的奇函数, f ?? 2? ? 1, 则 f ?12?等于?1?

第三章
幂的运算法则

函数

?1?a ? a ? a ; m n m?n ?2?a ? a ? a ; a ? 0 m n mn ?3??a ? ? a ; m m m ?4??ab? ? a b ;
m n m? n

a ?a? ?5?? ? ? m ; b ? 0 b ?b?

m

m

第三章
指数函数
y

函数
的图像及性质
y=ax
(0<a<1) (0,1)

指数函数
y=ax


y=1
(0,1)

y

(a>1)


当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

x

当 x < 0 时,y > 1;

x

当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域:R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

第三章

函数

比较下列各组数值的大小(利用指数函数性质)
3 4> 1 3

0.8

?0.1



0.8
x

?0.2

3

3

1 例题2002 函数 y ? 2 ? 的定义域是 2

? x x ? ?1?

第三章
对数函数
函 数 y = loga x (a>1)

函数
y = loga x (0<a<1)

图 像
(0,+∞)
R

定义域(0,+∞) (0,+∞)
值域R R 在(0,+∞)上是减函数

性 质

在(0,+∞)上是增函数

(1,0)
0<x<1时,y<0 x>1时,y>0

恒过点(1,0) (1,0) 0<x<1时,y>0 x>1时,y<0

第三章
小 结
1. 对数函数的定义 对数函数

函数

y?a

x

y ? log a x( x ? 0) 是指数函数
( a ? 0, a ? 1)

的反函数(互为反函数)。

2. 对数函数图象及其性质(首先搞清指数函数性质)。 对数函数与指数函数的图象关于直线 y=x 对称。

第三章
指 数 函 数 、 对 数 函 数 性 质 比 较 一 览 表
名称 一般形式 a>1 图像 指数函数 y = ax

函数
对数函数 y = Log
a

x

0<a<1

定义域 值域 单调性 a>1 0<a<1

R (0,+∞) 在R上是增函数 在R上是减函数

(0,+∞) R 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

第三章

函数
c ? log2 5.6 则

例2001 设 a ? log0.5 6.7 b ? log2 4.3

a, b, c 的大小关系为(



a?b?c

例2006 函数 f ( x) ? log3 (3x ? x2 ) 的定义域是 (0,3)

第三章
例题综合

函数
?.
y ? x3 ? 2
y ? 3x

下列函数中,为奇函数的是 ?
3

y ? ?x

?1? y ? log 2 ? ? ?x?

?1? y?? ? ?2?
y ? 3x 2

x

y ? log3 x

y ?3

x

下列函数中,为奇函数的是

函数 y ? 5x ? 1 ( ?? - ? ? x ? ??) 的反函数为
y ? log5 ( x ?1), ( x ? 1)

本章结束



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