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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第五次模拟考试 数学文 Word版含答案


辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第五次模拟考试数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 2} ,若 m ? ln e e ( e 为自然对数底) ,则 A. ? ? A B. m ? A

/>2

C. m ? A

D. A ? x x ? m

?

?

2.设 a, b ? R ,则“ ? a ? b ? a ? 0 ”是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非不充分不必要条件 3.若 z ? 1 ? i ,则 z ? z ? z ? 1 ? A. 2 2 ? 1 B. 2 ? 1 C. 2 ? 3 4.已知 log 2 a ? log 2 b ,则下列不等式一定成立的是 D. 2 2 ? 1

1 1 A. ? a b

B. log 2 ? a ? b ? ? 0

C. 2

a ?b

?1

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?3? ? 2?

a

b

5.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用) ,则四面 体 ABCD 的三视图是(用① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 代表图形)

A.① ② ⑥ B.① ② ③ C.④ ⑤ ⑥ D.③ ④ ⑤ 6.阅读如右图所示的程序框图,则该算法最后输出的结果为 A.15 B.31 C.63 D.127

?2 x ? y ? 4, ? 7. 设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值.

8. 从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 63 66 70 72 74 题中 y(kg) 根据上表可得回归直线方程 y ? 0.56 x ? a ,据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重为 A. 70.09kg B. 70.12kg C. 70.55kg D. 71.05kg 9.已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线 3 C 的右支相交于 P , Q 两点,且点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为
A. 4 3 B.

14 3 3

C. 5 3
第 -1- 页 共 9 页

D.

16 3 3

10.将函数 y ? sin ? 2 x ?

? 的图象向左平移 个单位,再向上平移1 个单位,所得图象的函数解析式是 6 6? ?? ? 2 2 A. y ? 2 cos x B. y ? 2sin x C. y ? 1 ? sin ? 2 x ? ? D. y ? cos 2 x 3? ? 11. 若曲线 f ( x, y ) ? 0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f ( x, y ) ? 0 的“自公切线” .
下列方程:① x 2 ? y 2 ? 1 ;② y ? x 2 ? | x | ; ③ y ? 3 sin x ? 4 cos x ;④ | x | ?1 ? A.①② A. ? B. 2? B.②③ C. 3?

? ?

??

?

4 ? y 2 对应的曲线中存在“自公切线”的有
C.①④ D. 4? D.③④

12.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1 ,则圆锥的体积为

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. 公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共汽车的概率为 ____________. 14.已知单调递增的等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? a 6 ? 16 , a3 ? a5 ? 10 ,则数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 15. 若关于 x 的函数 f ? x ? ? 则实数 t 的值为 .
2 2



tx ? 2 x ? t ? sin x ( t ? 0 )的最大值为 ? ,最小值为 ? ,且 ? ? ? ? 4 , x2 ? t x2 ? y 2 ? 1 上,点 P 满足 AP ? 3OA ,且 OA ? OP ? 6 , 2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 在椭圆

则向量 OP 在 OA 方向上的正射影数量的为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c .己知

c sin A ? 3a cos C .
(I)求角 C ; (II)若 c = 21 ,且 sin C ? sin( B ? A) ? 5sin 2 A, 求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, D? 是棱 A?C ? 的中点,且 AA? ? 2 2 . (Ⅰ)证明: BC ? // 平面 AB ?D ? ;

A?

D?
B?
C?

(Ⅱ)棱 CC ? 上是否存在一点 M ,使 A?M ? 平面 AB?D? , 若存在,求出 CM 的长;若不存在,说明理由. M A

B

C

第 -2- 页 共 9 页

19. (本小题满分 12 分) “光盘行动”已经发起两年,为了调查人们的节约意识,某班几位同学组成研究 性学习小组,从某社区 [25,55] 岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查,得到如下统计表: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) 频数 50 100 150 200 频率 0.05 0.1 0.15 0.2 关盘组占本组的比例 30% 30% 40% 50% 65% 60%

a
200

b
0.2

(1)求 a, b 的值,并估计本社区 [25,55] 岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; (2)从年龄段在 [35,45) 的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动,并从这 8 人中 选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自 [35,40) 和 [40,45) 两个年龄段的概率.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点坐标是 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) ,过点 F2 垂直于长轴的直线交椭圆与

P,Q 两点, 且 | PQ |? 3 .
(1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线与椭圆交于不同的两点 M ,N ,则 ?F1MN 的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求 出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

第 -3- 页 共 9 页

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax
x

2

(1)求函数 f ( x) 在点 P (0,1) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,若函数 f ( x) 为 R 上的单调递增函数,试求 a 的范围; (3)当 a ? 0 时,证明函数 f ( x) 不出现在直线 y ? x ? 1 的下方.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE ,CFD ,

CGE 都是⊙ O 的割线,已知 AB ? AC . ? ? ? 求证: FG / / AC ;

? ?? ? 若 CG ? 1 , CD ? 4 .求

DE 的值. GF

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为

? ?x ? ? ? 2 .圆 O 的参数方程为 ? ? sin(? ? ) ? ? 4 2 ?y ? ? ? ?
(I)求圆心的一个极坐标;

2 ? r cos ? 2 , ( ? 为参数, r ? 0 ). 2 ? r sin ? 2

(Ⅱ)当 r 为何值时,圆 O 上的点到直线 l 的最大距离为 3.

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | , a ? 0 (Ⅰ)证明 f ( x) ? f (? ) ? 2 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ?

1 x

1 的解集非空,求 a 的取值范围. 2

第 -4- 页 共 9 页

2014—2015学年度高三年级第五次模拟考试数学科(文)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.

1 4

14. 2 n ?1 ?

1 2

15.2

16. 2 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (I)根据正弦定理

a c ,可得 csin A ? asinC , ? sinA sinC

c sinA ? 3a cos C ,? a sin C ? 3a cos C ,可得 sin C ? 3 cos C ,得

tanC ?
(II)

sinC ? ? 3, C? (0,?), ?C ? cosC 3

????6 分

sin C ? sin(B? A) ? 5sin 2 A, C ?

?

3

? sin C ? sin( A ? B)

? sin(A ? B) ? sin(B? A) ? 5sin 2 A ,? 2sin B cosA ? 2 ? 5sin A cos A

A、B、C 为斜三角形,? cos A ? 0 ,? sinB ? 5sinA , 由正弦定理可知 b ? 5a ……(1) 1 由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? …..(2) 2
由(1) (2)解得 a ? 5, b ? 1 ? S
ABC

?

1 1 3 5 3 . ????12 分 ab sin C ? ?1? 5 ? ? 2 2 2 4

18.解: (Ⅰ) 连结 A?B 交 AB ? 于点 E ,连结 D ?E , ∵四边形 A?ABB ? 为矩形,∴ E 为 A?B 的中点, 又∵ D? 是棱 A?C ? 的中点 ∴ D ?E // BC ? ∵ D ?E ? 平面 AB ?D ?

BC ? ? 平面 AB ?D ?
∴ BC ? // 平面 AB ?D ? (Ⅱ) 作 A?M ? AD ? ,交 CC ? 于 M ∵ D? 是棱 A?C ? 的中点 ∴ B ?D ? ? A?C ? ∴ B ?D ? ? 平面 A?ACC ? ∴ B ?D ? ? A?M ∴ A?M ? 平面 AB?D?
第 -5- 页 共 9 页

????6 分

此时 ?A?AD ∽ ?C ?A?M



A?C ? ? A?D ? 2 ? 1 2 A?A A?C ? 3 2 ,即 C ?M ? ,∴ CM ? ? ? ? 2 A?D ? C ?M A?A 2 2 2
3 2 时, A?M ? 平面AB ?D ? . 2

即当 CM ? 19、

????12 分

????6 分

????12 分 20. 解析(1)设椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 2b 2 ?3 a

由交点的坐标得: c ? 1 , 由 | PQ |? 3 ,可得

第 -6- 页 共 9 页

故直线 l : x ? 1 , ?AMN 内切圆的面积最大值是 21. 解:(1)∵f′(x)=e -2ax,∴f′(0)=1
x

9? 16

所以 f(x)在点 P(0,1)处的切线方程为 y-f(0)=f′(0)(x-0),即 y=x+1.……4 分
第 -7- 页 共 9 页

(2)由题意 f′(x)=ex-2ax≥0 恒成立 e ?x-1? ex ex x>0 时 2a≤ x ,令 g(x)= x ,则 g′(x)= x2 , 由 g′(x)=0 得 x=1,x>1 时 g′(x)>0,x<1 时 g′(x)<0. e ∴g(x)min=g(1)=e,∴a≤2; ex ex x<0 时 2a≥ x ,∵ x <0,2a≥0 恒成立; e 综上,若函数 f(x)为 R 上的单调递增函数,则 0<a≤2 (3)记 F ( x) ? e x ? ax 2 ? x ? 1 , a ? 0 则 F ?( x) ? e x ? 2ax ? 1 …………8 分
x

F ??( x) ? e x ? 2a ? 0 ,∴ F ?( x) 单调递增,又 F ?(0) ? 0
∴ F ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0,??) 单调递增 ∴ F ( x) ? F (0) ? 0 ,即函数 f ( x) 不出现在直线 y ? x ? 1 的下方. ????12 分
2 22.解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC .
2

AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC , AC AE 所以 △ ADC ∽ △ ACE ,所以 ?ADC ? ?ACE ,

所以

又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,所以 FG // AC ------------------------------5 分 (Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,? ?CGF ? ?CDE , ?CFG ? ?CED .

? ?CGF ∽ ?CDE . DE CD . ? ? GF CG
又∵ CG ? 1, CD ? 4 ,?
DE =4 GF

---------------------------------------------10 分
2 2 ,? ) 2 2

(1)由O的参数方程得圆心O的坐标为(?
23.

第 -8- 页 共 9 页

? 2 2 2 2 2 ) ? (? ) ?1 ? ? ? (? 2 2 ? ? 2 设圆心坐标为( ? , ? ),(? ? 0,0 ? ? ? 2? );则 ? ? ? tan ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 2
? ? ?1 5? ? 所以 ? ?圆心O的极坐标为(1, ) 5? , 4 ?? ? ? 4

??????5 分

(2)由直线l的参数方程得普通方程为x ? y ? 1,圆心O为(? ? 圆O上的点到直线l的最大距离为3 ? r ?
1 1 ) = x - a + - - a ? (x x x
= x+ 1 1 = x+ x x 2

2 2 ,? ) 2 2
??10 分

2 2 ? ?1 2 2 2
a ) - (-

? 3, 即r ? 2 ?

2 2

24.(Ⅰ) f ( x) + f (-

1 - a) x

??????????????5 分

ì ? ? ? ? 2a - 3x ? ? ? ? (Ⅱ)函数 y = f (x ) + f (2x ) = x - a + 2x - a = ? í- x ? ? ? ? ? ? 3x - 2a ? ? ? ?
函数的图象为:

(x
骣 ? a< x ? ? 桫

a) a÷ ÷ 2÷

骣 a÷ ? x> ÷ ? ? 桫 2÷
y

a

a 2

o

x

a a a 1 时, y min = - ,依题意, - < ,则 a > - 1 2 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 - 1 < a < 0 ??????????????????????10 分
当x =

第 -9- 页 共 9 页


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