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[套卷]广东省东莞市第七中学2015届高三第一次月考数学(理)试题


广东省东莞市第七中学 2015 届高三第一次月考数学(理) 试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它

答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 1 Sh ;柱体体积公式 V ? Sh 3 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

2i =( ) 2?i 2 4 2 4 A. ? ? i B. ? i 5 5 5 5
1.复数

C.

2 4 ? i 5 5

D. ?

2 4 ? i 5 5

2.设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( ) A.U B.{1,3,5} C.{2,4,6} D. {3,5,6} 3.在等差数列 {an } 中, a4 ? 2 2 ,则 a2 ? a6 ? ( A. 4 2 B. 5 2 C.4 D. 8 ) 2 2
正(主)视图

2 )

2

4.已知 a ? (1 , ? 2) , | b |? 2 5 ,且 a / / b ,则 b ? ( A. (2 , ? 4) B. (?2 , 4) D. (4 , ? 8)

2
侧(左)视图

C. (2 , ? 4) 或 (?2 , 4)

5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 2? ?

)
俯视图

2 3 3

C. 4? ? 2 3

D. 4? ?

2 3 3

6.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是 ( ) A.21 B.39 C.81 D.102

x2 y 2 7 .若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为 a b
( A. ? )

1 2

B. ?

2 2

C. ? 2

D. ?2

8. 对 ? a 、 b ? R ,运算“ ? ”、“ ? ”定义为: a ? b = ? 下列各式其中不恒成立的是( ⑴ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑶ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b A.⑴、⑶ C.⑴、⑵、⑶ (一)必做题(9~13 题) 9.若角 ? 的终边过点 (1, ?2) ,则 sin ? ? _______. )

? a, ( a ? b) ? a, ( a ? b) ,a ? b= ? ,则 ?b.(a ? b) ?b.(a ? b)

⑵ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑷ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b B. ⑵、⑷ D.⑴、⑵、⑶、⑷

二、填空题:本题共 7 小题,作答 6 小题,每题 5 分,满分 30 分.

10.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高一年级抽取 _ 11 ? x ? 2 ? 的展开式中 x 的系数为
6



3

.(用数字作答)

?x ? y ? 2 ? 12.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 最小值为 ?x ? 1 ?



? log2 ? 8? x ? ,x ? 0 ? 13 .定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? ? ,则 f ? 2013? 的值为 ? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? 2? , x ? 0
_____. (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分)

14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C : ?

? x ? 5cos ? ? 1 ( ? 为参数)和直线 ? y ? 5sin ? ? 2


? x ? 4t ? 6 ( t 为参数) ,则直线 l 被圆 C 所截得弦长为 l :? ? y ? ?3t ? 2

15.如图,已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B 两点,割线 PCD 经过圆心, 若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为______________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (1) 求 cos B 的值; (2) 设函数 f ( x) ? sin ? 2x ? B ? ,求 f ?

3 b,B ?C. 2

?? ? ? 的值. ?6?

17. 根据空气质量指数 AQI (为整数)的不同,可将空气质量分级如下表

AQI (数值)
空气质量级别 空气质量类别

0

50

51 100

101 150

151 200

201 300

? 300

一级 二级 三级 四级 五级 六级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 某市 2013 年 10 月 1 日—10 月 30 日,对空气质量指数 AQI 进行监测,获得数据后得到如图 (4)的条形图 (1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ? 为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求 ? 的分布列.

18.如图,四边形 ABCD 是正方形, EA ? 平面 ABCD ,

EA

PD , AD ? PD ? 2 EA , F , G , H 分别

P H F E D G A B C

为 PB , EB , PC 的中点. (1)求证: FG 平面 PED ;

(2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.

19. 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

20. 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构 2 2 a b

成的三角形的面积为 3 ,过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为

1 ,求直线 l 的方程; 2

(3) 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D .设弦 AB 的中点为 P ,试求 范围.

DP AB

的取值

21. 已知函数 f ( x) ? e ? kx, x ? R .
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

(3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) ??? F (n) ? (e

n ?1

? 2) (n ? N * ) .

n 2

东莞市第七高级中学 2014—2015 学年度第一学期第二次月考

高三年级理科数学试题答案及评分标准
一、选择题(本大题 8 小题,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求)

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 【解析】解法 1:(1) 因为 B ? C ,所以 c ? b ,……………………………………2 分

3 b, 2 a 2 ? c 2 ? b2 所以 cos B ? , ……………………………3 分 2ac 3 2 b ? 4 2 ………………………………………………4 分 3b
又a ?

?

3 4

……………………………………………5 分

所以 f ?

?? ? ?? ? ? ? sin ? ? B ? ?6? ?3 ? ? ? ? sin cos B ? cos sin B 3 3
? 3 3 1 13 ? ? ? 2 4 2 4

……………………………………………8 分 ……………………………10 分 ………………………………11 分

?

3 ? 13 . 8

………………………………………12 分

17. 【解析】 : (1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, -------------1 分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 P ?

(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,-----------------------------------------------5 分 则 P ?? ? 0 ? ?
2 C26 65 ? ,-----------------------------------------------------------7 分 2 C30 87

6 1 ? .---------------------4 分 30 5

P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ?

1 1 C4 C26 104 ,----------------------------------------------------------9 分 ? 2 C30 435 2 C4 2 -------------------------------------------------------11 分 ? 2 C30 145

所以 ? 的分布列为

?
P

0 65 87

1 104 435

2 2 145

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 18. 【解析】 (1)证明:

F , G 分别为 PB , BE 的中点,

? FG


PE .

……………………1 分 …………………3 分

FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED ,
平面 PED .

? FG
(2)解

…………………………………5 分
z

EA ? 平面 ABCD , EA

PD ,? PD ? 平面 ABCD.

P H F E D G x A B C y

AD, CD ? 平面 ABCD, ? PD ? AD , PD ? CD .
四边形 ABCD 是正方形,? AD ? CD . 以 D 为原点,分别以直线 DA, DC , DP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,设 EA ? 1. ……………………7 分

AD ? PD ? 2 EA ,

? D ? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , A ? 2,0,0? , C ? 0,2,0? , B ? 2,2,0? , E (2, 0,1) ,

PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .
F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, 1 1 1 ? F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) , GF ? (?1, 0, ) , GH ? ( ?2, 0, ). ………8 分 2 2 2
(解法一)设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ?

? ?n1 ? GF ? 0 ? ?n1 ? GH ? 0

,

1 ? ? x1 ? z1 ? 0 ? ? 2 即? ,令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1,0) . ? ?2 x ? 1 z ? 0 1 1 ? ? 2
设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ?

…………10 分

? ?n2 ? PB ? 0 ? ?n2 ? PC ? 0

,

即?

? 2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) . ? 2 y2 ? 2 z 2 ? 0

……………12 分

所以 cos n1 , n2 =

n1 ? n2 n1 ? n2

=

2 . 2

…………………………………13 分

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 (解法二)

π (或 45 ? ). ………14 分 4

DH ? BC ? (0,1,1) ? (?2,0,0) ? 0 , DH ? PC ? (0,1,1) ? (0, 2, ?2) ? 0 ,
…… ……………………10 分

? DH 是平面 PBC 一个法向量.

1 DC ? FH ? (0, 2,0) ? (?1,0,0) ? 0 , DC ? FG ? (0, 2, 0) ? (1, 0, ? ) ? 0 , 2

? DC 是平面平面 FGH 一个法向量.

…… ………………12 分

cos DH , DC ?

DH ? DC DH ? DC

?

2 2 2

?

2 , 2

……… … ……………13 分

π ? 平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 (或 45 ? ). 4
(解法三) 延长 AE 到 Q, 使得 AE ? EQ, 连 PQ, BQ.

………14 分

P Q F H D G A B
………7 分

PD ? 2EA ? AQ , EA

PD ,

? 四边形 ADPQ 是平行四边形, PQ
四边形 ABCD 是正方形,? BC

AD. AD, PQ BC. BC, FH PQ.

E

C

F , H 分别为 PB , PC 的中点,? FH

FH ? 平面 PED , PQ ? 平面 PED , ? FH

平面 PED .

FH

FG ? F , FH , FG ? 平面 ADPQ, ? 平面 FGH

平面 ADPQ. ………9 分 … …10 分

故平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角与二面角 D ? PQ ? C 相等.

PQ ? CD, PQ ? PD , PD CD ? D, PD, DC ? 平面 PDC, ? PQ ? 平面 PDC.
PC ? 平面 PDC,? PQ ? PC, ?DPC 是二面角 D ? PQ ? C 的平面角.
…12 分

AD ? PD, AD ? PD,??DPC ? 45?.
π ? 平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 (或 45 ? ). 4

… …………13 分 … …………14 分

19. 【解析】 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (2)由(1)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
2

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1

所以 Tn =

1 1 1 1 ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n + ) = ? (1)= , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)
c 1 1 ? , ? b ? 2c ? 3 a 2 2
…1 分

20. 【解析】(1)依题意,有 e ? 即 a ? 2c , b ?
2 2

3 2 2 2 ,又 a ? b ? c c
…3 分

解得 a ? 4, b ? 3, c ? 1

则椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

…4 分

(2)由(1)知 c ? 1 ,所以设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 中得, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 4 3

…5 分

? ? 144(k 2 ? 1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
则 x1,2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 8k 2 ? ? x ? x ? x ? x ? ,∴ , 1 2 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2(3 ? 4k 2 )

…6 分

1 4k 2 1 3 ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ,所以 2 2 3 ? 4k 2 2
所以,直线 l 的方程 y ? ?

…7 分

3 ( x ? 1) 2

…8 分

(3)由(2)知 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AB 的中点为 P(

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2
2 2 2 2

所以 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (k ? 1)[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]

? (k 2 ? 1)[

12(k 2 ? 1) 64k 4 4(4k 2 ? 12) ? ? ] 4k 2 ? 3 (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

……10 分

直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 k2 ? ? ( x ? ) x ? , 由 , 得 , y ? 0 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
…12 分

则 D(

3 k 2 (k 2 ? 1) k2 ,0) , 所以 DP ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) DP k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? 所以 ? 1? 2 2 2 12(k ? 1) 4 k ?1 4 k ?1 AB 2 4k ? 3
又因为 k ? 1 ? 1,所以 0 ?
2

1 1 1 1 ? 1 . 所以 0 ? 1? 2 ? . k ?1 4 k ?1 4
2

所以

DP AB

的取值范围是 ? 0, ?

? ?

1? 4?

…14 分

21.【解析】 : (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .……2 分

, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) …………4 分 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.……5 分

由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 此时 f ( x ) 在 [0, ? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…6 分

, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .……9 分 (3)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,……10 分

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 ,…11 分 ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F(2)F(n ? 1) ? e n?1 ? 2 ,… F(n)F(1) ? e n?1 ? 2 ,
由此得,

[ F (1) F (2)
故 F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n ………13 分
F (n) ? (en?1 ? 2) 2 ,n ? N? .…………14 分
n


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