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2013.12.07三角函数练习题


三角函数练习题 2013.12.07
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. π 1.(2012· 荆州期末)已知函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线 x= 对称,则 φ 可能是( 8 π A. 2 π B.- 4 3π C. 4 π D. 4 ) )

2. 已知函数 f ( x) ? ? A. {1,?

/>
2 ? ?sin(?x ),?1 ? x ? 0 则 a 的所有可能值组成的集合为 ( ,若f (a) ? 1 , x ?1 ? e , x ? 0 ?

2 B. {1, 2 } C.{- 2 } D.{1} } 2 2 2 3.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据
如下: f (1) = -2 f (1.375) = -0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054 ) 。

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 4.函数 f(x)=b(1- ∞,0)上有( A.最大值10 ) B.最小值-5 B.1.3 C.1.4 D.1.5

2 )+asinx+3(a、b 为常数),若 f(x)在(0,+∞)上有最大值 10,则 f(x)在(- 1 ? 2x

C.最小值-4 D.最大值 4 π 5.(2012 年东北三校 4 月模拟)已知 sin θ+cos θ= (0<θ< ),则 sin θ-cos θ 的值为 ( 3 4 A. 2 3 B.- 2 3 1 C. 3 1 D.- 3 )



2 6.若 α 是三角形的内角,且 sin α+cosα= ,则三角形是( 3 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形 )

7.已知函数 f (x)=f (??x),且当 x ? (? , ) 时,f (x)=x+sinx,设 a=f (1),b=f (2),c=f (3),则( A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b

? ? 2 2

8.关于函数 f(x)=sin2x-( ① f ( x) 是奇函数 ③ f ( x) 的最大值是
3 2

2 |x| 1 ) + ,有下面四个结论,其中正确结论的个数为 ( 3 2

) .

②当 x>2003 时, f ( x) ? ④f(x)的最小值是 ?
1 2

1 恒成立 2

A.1 B.2 C.3 D.4 9. 如下图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,

点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是(

)

10.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数, ? , ? 是钝角三角形的两个锐角,则 下列不等式关系中正确的是( A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) 11.已知 ? , ? ? ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ?) ? f (cos ?)

?? ? , ? ? 且 cos? ? sin ? ? 0 ,下列各式中成立的是( ?2 ?
3? 2
C. ? ? ? ?



A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ?

3? 2

D. ? ? ? ?

3? 2

π 12.同时具有以下性质: “①最小正周期实 π;②图象关于直线 x=3对称; π π ③在[-6,3]上是增函数”的一个函数是 x π A. y=sin(2+6) π B. y=cos(2x+3) π C. y=sin(2x-6) ( π D. y=cos(2x-6) )

2π 13.曲线 y=Asinωx+a(A>0, ω>0)在区间[0, ω ]上截直线 y=3 及 y=-1 所得的弦长相等 且不为 0,则下列对 A,a 的描述正确的是 A.a=2,A>2 B.a=1,A<2 C.a=2,A≥1 ( ) D.a=1,A>2

14.对于函数 f (x)=asinx+bx+c(其中,a,b ? R,c ? Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1) 和 f(-1) , 所得出的正确结果一定不可能 是 ..... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 ( )

D.1 和 2

( x? 15 . 已 知 ? ? 0 , 函 数 f ( x) ? s i n? 1 5 2 4 1 3 2 4

?
4

) ( 在

?
2

,? ) 上 单 调 递 减 . 则 ? 的 取 值 范 围 是
( )

A. [ , ]

B. [ , ]

C. (0, ]

1 2

D. (0, 2]

二、填空题:请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,模棱两可均不得分. ....... 1.sin 390° - 2cos 765° +3cos (-660° )- 3tan (-330° )=________. 2. 1+2sin ?π-3?· cos ?π+3?化简的结果是________.
? ?-cos πx 3.已知函数 f(x)=? ?f?x+1?+1 ?

x>0, x≤0,

4? ? 4? 则 f? ?3?+f?-3?的值为________.

2π ? 4.函数 y=2sin? ? 3 -3x?的递增区间是________. π 3 5π 5.(2012 年安徽合肥一模)已知 sin( -x)= ,则 cos( -x)=________. 3 5 6 π? ?π? ?π? ?π π? 6.已知 f(x)=sin? ?ωx+3?(ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值,则 ω=________. 7.如图所示,已知一长为 3 dm,宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚 到第三面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30° 的角,问点 A 走过的路程的长及走过 的弧度所在扇形的总面积为__________.

8.已知函数 f(x)=3sin(? x-

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同。若


x ? [0,

?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. π π 2x- ?+b 的定义域是?0, ?,值域是[-5,1],求 a、b 的值. 1.已知函数 y=2acos? 3? ? ? 2?

π 5 3 0, ?的最大值是 1,试确定 a 的值. 2.设函数 f(x)=sin2x+acos x+ a- ,x∈? ? 2? 8 2

π π kx- ?和函数 g(x)=bcos?2kx- ?(a>0,b>0,k>0),若它们的最小正 3.设有函数 f(x)=asin? 3 6? ? ? ? π? ?π? π? π? 3π 周期之和为 ,且 f? =g?2?, f? =- 3g? 2 4 4?-1,求这两个函数的解析式. ? ? ? ? ? 2

1 4.已知 cosx+siny= ,求 siny-cos2x 的最值. 2

5.比较下列各组数的大小. 3 1 7 (1)sin194° 与 cos160° ;(2)cos ,sin ,-cos ; 2 10 4 3π? ? 3π? (3)sin? ?sin 8 ?与 sin?cos 8 ?.

6.对于在区间 [ m,n ] 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g ( x) ,如果对任意 x ? [ m, n ] ,均有 | f ( x) ? g ( x) | ? 1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 [ m,n ] 上是友好的,否则称 f ( x) 与 g ( x) 在 [ m,

n ]是不友好的.现有两个函数 f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2 ( x) ? log a
定区间 [ a ? 2, a ? 3 ] .

1 (a> 0 且 a ? 1 ) ,给 x?a

若 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 [ a ? 2, a ? 3 ] 上都有意义,求 a 的取值范围; 讨论 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 [ a ? 2, a ? 3 ] 上是否友好.

三角函数练习题 2013.12.07 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. π 1.(2012· 荆州期末)已知函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线 x= 对称,则 φ 可能是 8 ( ) π A. 2 π B.- 4 3π C. 4 π D. 4

π π ? 1,故π+φ=kπ+π(k∈Z),解得 φ= 解析:由题意,当 x= 时, f(x)=sin? ?2×8+φ?=± 8 4 2 π π π kπ+ (k∈Z).当 k=0 时,φ= ,故 φ 可能是 . 4 4 4 答案:D 2. 已知函数 f ( x) ? ? A. {1,?
2 ? ?sin(?x ),?1 ? x ? 0 则 a 的所有可能值组成的集合为 ( ,若f (a) ? 1 , ?e x ?1 , x ? 0 ?



2 B. {1, 2 } C.{- 2 } D.{1} A } 2 2 2 3.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据
如下: f (1) = -2 f (1.375) = -0.260
3 2

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054 ) 。 C

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 4.函数 f(x)=b(1- ∞,0)上有( A.最大值10 ) B.最小值-5 B.1.3 C.1.4 D.1.5

2 )+asinx+3(a、b 为常数),若 f(x)在(0,+∞)上有最大值 10,则 f(x)在(- 1 ? 2x

C.最小值-4 D.最大值 C 4 π 5.(2012 年东北三校 4 月模拟)已知 sin θ+cos θ= (0<θ< ),则 sin θ-cos θ 的值为 3 4 A. 2 3 B.- 2 3 1 C. 3 1 D.- 3

4 16 7 π 解析:∵sin θ+cos θ= ,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ= ,∴sin 2θ= ,又 0<θ< , 3 9 9 4 ∴sin θ<cos θ.∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cos θ?2=- 1-sin 2θ=- 答案:B 2 6.若 α 是三角形的内角,且 sin α+cosα= ,则三角形是( 3 A.钝角三角形 ) 2 . 3

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

-5 4 4 解析:(sin α+cosα)2= ,∴1+2sin αcosα= ,∴2sin αcosα= <0 9 9 9 ∵0<α<π,∴sin α>0,cosα<0,∴α 为钝角,选 A.答案:A 7.已知函数 f (x)=f (??x),且当 x ? (? , ) 时,f (x)=x+sinx,设 a=f (1),b=f (2),c=f (3),则( A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b D ) .A

? ? 2 2



8.关于函数 f(x)=sin2x-( ① f ( x) 是奇函数 ③ f ( x) 的最大值是
3 2

2 |x| 1 ) + ,有下面四个结论,其中正确结论的个数为 ( 3 2

②当 x>2003 时, f ( x) ? ④f(x)的最小值是 ?
1 2

1 恒成立 2

A.1 B.2 C.3 D.4 9. 如下图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

C. 【解析】 试题分析:取 AP 的中点为 D,设∠DOA=θ,则 d=2sinθ,l=2θR=2θ,

∴θ= 式. 故选 C.

1 1 ∴ d ? 2 sin , 根据正弦函数的图象知, C 中的图象符合解析 2 2

10.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数, ? , ? 是钝角三角形的两个锐角,则 下列不等式关系中正确的是( A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ?) ? f (cos ?)

D 【解析】 试题分析:因为 α,β 是钝角三角形的两个锐角,所以 0°<α+β<90°,即 0°<α<90°-β,所

以 0<sinα<sin(90°-β)=cosβ<1,因为定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数, 所以 f ( x) 在 ?0, ? ?? 上单调递增。所以 f (sin ? ) ? f (cos ? ) 11.已知 ? , ? ? ?

?? ? , ? ? 且 cos? ? sin ? ? 0 ,下列各式中成立的是( ?2 ?
3? 2
C. ? ? ? ?



A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ?

3? 2

D. ? ? ? ?

3? 2

D

π 12.同时具有以下性质: “①最小正周期实 π;②图象关于直线 x=3对称; π π ③在[-6,3]上是增函数”的一个函数是 ( x π A. y=sin(2+6) π B. y=cos(2x+3) ) C π D. y=cos(2x-6)

π C. y=sin(2x-6)

2π 13.曲线 y=Asinωx+a(A>0, ω>0)在区间[0, ω ]上截直线 y=3 及 y=-1 所得的弦长相等 且不为 0,则下列对 A,a 的描述正确的是( A.a=2,A>2 B.a=1,A<2 ) C.a=2,A≥1 D.a=1,A>2

2π D 提示: 作出 y=Asinωx+a 的图象, 并注意到函数 y=Asinωx+a 的最小正周期 T= ω , 便不难得到答案为 D. 14.对于函数 f (x)=asinx+bx+c(其中,a,b ? R,c ? Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1) 和 f(-1) , 所得出的正确结果一定不可能 是 ..... A.4 和 6 【答案】D B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2

( x? 15 . 已 知 ? ? 0 , 函 数 f ( x) ? s i n? 1 5 2 4 【解析】选 A 1 3 2 4

?
4

) ( 在

?
2

,? ) 上 单 调 递 减 . 则 ? 的 取 值 范 围 是
( )

A. [ , ]

B. [ , ]

C. (0, ]

1 2

D. (0, 2]

? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D)

? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C )
? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

4

4

4

?

4

4

4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填

在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... 1.sin 390° - 2cos 765° +3cos (-660° )- 3tan (-330° )=________. 解析:原式=sin (360° +30° )- 2cos (2×360° +45° )+3cos (-360° ×2+60° )- 3tan (-360° +30° ) =sin 30° - 2cos 45° +3cos 60° - 3tan 30° 1 2 1 3 = - × 2+3× - 3× 2 2 2 3 =0. 答案:0 2. 1+2sin ?π-3?· cos ?π+3?化简的结果是________. 解析: 1+2sin ?π-3?· cos ?π+3? = 1+2sin 3· ?-cos 3?= = 1-2sin 3· cos 3

?sin 3-cos 3?2=|sin 3-cos 3|.

π ∵ <3<π,∴sin 3>0,cos 3<0,∴原式=sin 3-cos 3. 2 答案:sin 3-cos 3
? ?-cos πx 3.已知函数 f(x)=? ?f?x+1?+1 ?

x>0, x≤0,

4? ? 4? 则 f? ?3?+f?-3?的值为________. 4? 4 解析:由条件可知,f? ?3?=-cos 3π π π 1 π+ ?=cos = , =-cos ? 3 ? ? 3 2 4 4 1 - ?=f?- +1?+1=f?- ?+1 f? ? 3? ? 3 ? ? 3? 1 2 - +1?+2=f? ?+2 =f? ? 3 ? ?3? π 2 π 5 π- ?+2=cos +2= . =-cos π+2=-cos? ? 3? 3 3 2 4? ? 4? 1 5 ∴f? ?3?+f?-3?=2+2=3. 答案:3 2π ? 4.函数 y=2sin? ? 3 -3x?的递增区间是________. 2π ? 解析:y=2sin? ? 3 -3x? π?? ? =2sin ? ?π-?3x+3??

π? =2sin? ?3x+3?. π π π 2kπ 5π 2kπ π 其递增区间为 2kπ- ≤3x+ ≤2kπ+ ,即 - ≤x≤ + (k∈Z). 2 3 2 3 18 3 18 2kπ 5π 2kπ π ? 答案:? ? 3 -18, 3 +18?(k∈Z) π 3 5π 5.(2012 年安徽合肥一模)已知 sin( -x)= ,则 cos( -x)=________. 3 5 6 5π π π 解析:cos( -x)=cos[ +( -x)] 6 2 3 π 3 =-sin( -x)=- . 3 5 3 答案:- 5 π? ?π? ?π? ?π π? 6.已知 f(x)=sin? ?ωx+3?(ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值,则 ω=________. [答案] 14 3

π? ?π? 1?π π? π [解析] ∵f? ?6?=f?3?,2?6+3?=4, π ∴f(x)的图象关于直线 x= 对称. 4 π π? 又∵f(x)在? ?6,3?上有最小值,无最大值, π π π 3π ∴x= 时,f(x)取最小值,∴ω·+ = , 4 4 3 2 14 ∴ω= . 3 7.如图所示,已知一长为 3 dm,宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚, 翻滚到第三面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30° 的角,问点 A 走过的路程的长及 走过的弧度所在扇形的总面积.

︵ π 解: AA1所对的圆半径是 2,圆心角为 , 2

︵ ︵ π π A1A2所所对的圆的半径是 1,圆心角是 ,A2A3所对的圆半径是 3,圆心角是 .所走过的 2 3 路程是 3 段圆弧之和, π π π 9+2 3 即 2× +1× + 3× = π(dm); 2 2 3 6 1 1 π 1 3π 7π 3 段弧所对的扇形总面积是 ×2×π+ × + × 3× = (dm2). 2 2 2 2 3 4 8.已知函数 f(x)=3sin(? x-

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同。若


x ? [0,

?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是 3 2

【答案】 [- ,3] 【解析】由题意知,? ? 2 ,因为 x ? [0,

?
2

] ,所以 2x-

?
6

? [-

? 5?
6 , 6

] ,由三角函数图象知:

f(x) 的最小值为 3sin (-

?

3 ? 3 )=- ,最大值为 3sin =3 ,所以 f(x) 的取值范围是 [- ,3] 。 6 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. π? ? π? 1.已知函数 y=2acos? ?2x-3?+b 的定义域是?0,2?,值域是[-5,1],求 a、b 的值. π π π 2π 解:∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 π? 1 ∴- ≤cos? ?2x-3?≤1. 2 当 a>0 时,函数的值域是[-a+b,2a+b],
?-a+b=-5, ?a=2, ? ? 故? 解得? ? ? ?2a+b=1, ?b=-3;

当 a<0 时,函数的值域是[2a+b,-a+b],
?-a+b=1, ?a=-2, ? ? 故? 解得? ? ? ?2a+b=-5, ?b=-1.

π 5 3 0, ?的最大值是 1,试确定 a 的值. 2.设函数 f(x)=sin2x+acos x+ a- ,x∈? ? 2? 8 2 a?2 1 2 5 3 5 3 解:f(x)=sin2x+acos x+ a- =1-cos2x+acos x+ a- =-? ?cos x-2? +8(2a +5a 8 2 8 2 -4). a a 1 (1)若 0≤ ≤1,即 0≤a≤2,当 cos x= 时,f(x)最大,此时 (2a2+5a-4)=1,解得 a 2 2 8 3 = ; 2

a?2 1 2 a (2)若 >1,即 a>2,当 x=0 时,即 cos x=1 时,f(x)最大,此时-? ?1-2? +8(2a +5a- 2 20 4)=1,解得 a= (不符合条件,舍去); 13 a?2 1 2 a π (3)若 <0,即 a<0,当 x= 时,即 cos x=0 时,f(x)最大,此时-? ?0-2? +8(2a +5a- 2 2 12 3 4)=1,解得 a= (不符合条件,舍去).综上可得 a= . 5 2 π? π? ? 3.设有函数 f(x)=asin? ?kx-3?和函数 g(x)=bcos?2kx-6?(a>0,b>0,k>0),若它们的最小正 π? ?π? 3π ?π? ?π? 周期之和为 ,且 f? ?2?=g?2?, f?4?=- 3g?4?-1,求这两个函数的解析式. 2 3π 解:由于 f(x)和 g(x)的最小正周期和为 , 2 ∴ 2π 2π 3π + = ,解得 k=2. k 2k 2

π? ?π? ∵f? ?2?=g?2?, π π? ? π π? ∴asin? ?2×2-3?=bcos?4×2-6?, π? π? 即 a· sin? cos ? ?π-3?=b· ?2π-6?. ∴ 3 3 a= b,即 a=b.① 2 2

π? ?π?-1, 又 f? =- 3 g ?4? ?4? π 5π 则有 a· sin =- 3b· cos -1, 6 6 1 3 即 a= b-1.② 2 2 由①②解得 a=b=1, π π 2x- ?,g(x)=cos?4x- ?. ∴f(x)=sin ? 3? 6? ? ? 1 4. (本题满分 12 分)已知 cosx+siny= ,求 siny-cos2x 的最值. 2 1 1 [解析] ∵cosx+siny= ,∴siny= -cosx, 2 2 1 1 3 cosx+ ?2+ , ∴siny-cos2x= -cosx-cos2x=-? 2? 4 ? 2 1 1 ∵-1≤siny≤1,∴-1≤ -cosx≤1,解得- ≤cosx≤1, 2 2

1 3 3 所以当 cosx=- 时,(siny-cos2x)max= ;当 cosx=1 时,(siny-cos2x)min=- . 2 4 2 5.比较下列各组数的大小. 3 1 7 (1)sin194° 与 cos160° ;(2)cos ,sin ,-cos ; 2 10 4 3π? ? 3π? (3)sin? ?sin 8 ?与 sin?cos 8 ?. [解析] (1)sin194° =sin(180° +14° )=-sin14° , cos160° =cos(90° +70° )=-sin70° . ∵0° <14° <70° <90° ,函数 y=sinx 在(0° ,90° )内是增函数, ∴sin14° <sin70° ,-sin14° >-sin70° , ∴sin194° >cos160° . π 1? 7 1 7 - ,-cos =cos?π- ?, (2)sin =cos? ?2 10? ? 4? 10 4 7 π 1 3 ∵0<π- < - < <π,函数 y=cosx 在(0,π)上是减函数, 4 2 10 2 7? 3 ?π 1 ? ∴cos? ?π-4?>cos?2-10?>cos2, 7 1 3 即-cos >sin >cos . 4 10 2 π π? 3π π (3)cos =cos? ?2-8?=sin8. 8 π? π 3π π ∵0< < < ,函数 y=sinx 在? ?0,2?内是增函数, 8 8 2 π 3π π ∴0<sin <sin <1< , 8 8 2 3π 3π π 即 0<cos <sin < , 8 8 2 π ∵函数 y=sinx 在(0, )内是增函数, 2 3π? ? 3π? ∴sin? ?cos 8 ?<sin?sin 8 ?. 6.对于在区间 [ m,n ] 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g ( x) ,如果对任意 x ? [ m, n ] ,均有 | f ( x) ? g ( x) | ? 1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 [ m,n ] 上是友好的,否则称 f ( x) 与 g ( x) 在 [ m,

n ]是不友好的.现有两个函数 f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2 ( x) ? log a
定区间 [ a ? 2, a ? 3 ] .

1 (a> 0 且 a ? 1 ) ,给 x?a

若 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 [ a ? 2, a ? 3 ] 上都有意义,求 a 的取值范围; 讨论 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 [ a ? 2, a ? 3 ] 上是否友好.

?a ? 2 ? 3a 6.(1) ? ? 0 ? a ?1 ?a ? 0 且 a ? 1

(2) 当 0 ? a ? 当

9 ? 57 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上是友好的 12

9 ? 57 ? a ? 1 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上是不友好的 12 【解析】本试题主要是考查了新定义函数是不是友好的,理解概念,并能利用概念来分析新

函数是否满足题意,如果满足了,需要求解参数的范围的综合运用。
? x ? 3a ? 0 ? ? x ? 3a ,又 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上有意义 (1)由题, ? x ? a ? 0 ?a ? 0 且 a ? 1 ?

?a ? 2 ? 3a ? 0 ? a ? 1 ,得到参数 a 的取值范围。 所以 ? ?a ? 0 且 a ? 1

(2) f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上是友好的,利用等价转化思想得到
? a ? ( x ? 2a)2 ? a2 ? 1 对任意的 x ? [ a ? 2, a ? 3] 恒成立 a

那么研究函数的最值得到。
? x ? 3a ? 0 ? ? x ? 3a 解:(1) 由题, ? x ? a ? 0 ?a ? 0 且 a ? 1 ?

又 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上有意义
?a ? 2 ? 3a ? 0 ? a ?1 ∴? ?a ? 0 且 a ? 1

(2) f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上是友好的
? | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ? 1

? | loga ( x ? 3a) ? loga

1 | ?1 x?a

? | loga [( x ? 3a)( x ? a)] | ? 1

? a ? ( x ? 2a)2 ? a2 ?

1 对任意的 x ? [ a ? 2, a ? 3] 恒成立 a

现设 h( x) ? ( x ? 2a)2 ? a2 , x ? [ a ? 2, a ? 3] 由(1)问知, h( x) 的对称轴 x ? 2 a ? 2 ,在区间 [ a ? 2, a ? 3] 的左边

?a ? h( x)min ?a ? h(a ? 2) ?a ? 4 ? 4a 9 ? 57 ? ? ? ∴ ?1 ? ?1 ? ?1 ?0?a? 12 ? h(a ? 3) ? 9 ? 6a ? h( x)max ? ? ? ?a ?a ?a
∴当 0 ? a ? 当
9 ? 57 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上是友好的 12

9 ? 57 ? a ? 1 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在 [ a ? 2, a ? 3] 上是不友好的 12


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