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福建省福州八中2012届高三第二次质检考试试题(数学文)


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福建省福州八中 2012 届高三第二次质检考试试题(数学文)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2011.10.5

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 I 为实数集, M ? { x | x 2 A. { x | 0 ? x ? 1}
? 2 x ? 0} , N ? { x | y ? x ? 1}

,则 M ? ( C I N ) ? D. ?

B. { x | 0 ? x ? 2}

C. { x | x ? 1}

2.下列选项叙述错误的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” B.若命题 p : ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 C.若 p ? q 为真命题,则 p , q 均为真命题 D.“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 3.若等差数列 ? a n ? 的前 3 项和 S 3 ? 9 且 a 1 ? 1 ,则 a 2 等于 A.3 B.4 C.5 D.6

4.已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 的图象如 图所示,则 ? 等于 A.
2 3

B.

1 3

C.1 5.函数 y ? sin
?
2

2

D.2 2x 是 B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为
?
2

A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 的奇函数

的偶函数

6.对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、m、n,下列命题中真命题是 A.若 a ? m , a ? n , m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? B.若 a // b , b ? ? ,则 a // ? C.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ? D.若 ? // ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , 则 a // b 7.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体, 则该组合体的侧视图的面积为

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A. 8 ? B. 6 ?

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C. 4 ?
3
1 a ? 1 b

D. 2 ? 的最小值为 D.
1 4

3

8.设 a ? 0, b ? 0 . 若 3 是 3 a 与 3 b 的 等 比 中 项 , 则 A.8 B. 4 C.1

9.若 0 ? x ? y ? 1 ,则 A. 3 y ? 3 x 10.函数 f ? x ? ? log A. ? ,1 ?
?2 ? ?1 ?

B. lo g x 3 ? lo g y 3
2 a

C. lo g 4 x ? lo g 4 y

D. ( ) x ? ( ) y
4 4

1

1

?2 ? ax ? 在 ( 0 ,1) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是
B. (1, 2 ) C. ?
?1 ? ,1 ? ?2 ?

D. (1, 2 ?

11.在区间(- ? , ? )内,函数 y=tanx 与函数 y=sinx 图象交点的个数为
2 2

3

3

A.1

B.2

C.3

D.4

12.设曲线 y ? x n ? 1 ( n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则
log
2012

x 1 ? log

2012

x 2 ? ? ? log 2011

2012

x 2011 的值为

A. ? log C. ? log

2012

B. ? 1 D.1

2012

2011

??1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相 应位置.
? 2 x ? y ? 6≤ 0 ? 13.不等式组 ? x ? y ? 3≥ 0 ? y≤ 2 ?

所表示的平面区域的面积为

14.已知 sin ?? ? ? ? ? ? 2 sin ?

??

? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? =__________ ? 2 ?

15.已知等差数列 { a n } 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、17 项成等比数列,则这个等 比数列的公比是 . 16.设函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若存在常数 M ? 0 ,使 f ? x ? ? M x 对一切实数 x 均成立,则称 f ? x ? 为“倍约束函数” 。现给出下列函数: ① f ?x ? ? 2 x ;
第 2 页 共 7 页

② f ?x ? ? x 2 ? 1 ;

③ f ? x ? ? sin ? x ?
?

?

? ?

? ;④ f ? x ? 是定义 4 ?

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在实数集 R 的奇函数,且对一切 x 1 , x 2 均有 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? 2 x 1 ? x 2 。 其中是“倍约束函数”的是___ 步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知:数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 ? 3 且当 n ? 2 , n ? N ? 满足 S n ? 1 是 a n 与-3 的等差中项. (Ⅰ)求 a 2 , a 3 , a 4 ; (Ⅱ) 求数列 { a n } 的通项公式. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?
3 2 s in 2 x ? c o s x ?
2

_____。 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算

1 2

, x ? R.

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)设 ? A B C 的内角 A、 B 、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,且 c ? 若 2 sin A ? sin B ,求 a , b 的值. 19. (本小题满分 12 分) 某企业生产甲、 乙两种产品, 根据市场调查与预测, 甲产品的利润与投资成正比, 其 关系如图 1, 乙产品的利润与投资的算术平方根成正比, 其关系如图 2 (注: 利润与投资 的单位: 万元). (Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (Ⅱ) 该企业筹集了 100 万元资金投入生产甲、乙两种产品, 问: 怎样分配这 100 万元资金, 才能使企业获得最大利润, 其最大利润为多少万元?
y y 6
3, f ?C

?? 0,

0.45 O 1.8
图1

x

O
图2

4

x

20.(本小题满分 12 分) 如图的几何体中, A B ? 平面 A C D , D E ? 平面 A C D ,△ A C D 为等边三角形,
A D ? D E ? 2 A B ? 2 , F 为 C D 的中点.

(Ⅰ)求证: A F // 平面 B C E ; (Ⅱ)求证:平面 B C E ? 平面 C D E 。
第 3 页 共 7 页

B A

E

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C F D

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21. (本小题满分 12) 已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且 f ? x ? 在 ?0 , ?? ? 上是增函数, 是否存在实数 m 使 得 f ? cos 2 ? ? ? ? ? 7 ? ? f ? 4 m ? 2 m cos ? ? ? ? ? ? f ? 0 ? , 对一切 ? ? ? 0 , ? , 都成立? 3 ? 3 ?? ? 2? ? ? ? ? ? 若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 a x ? b 在 x ? 1 处有极小值 2 。 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ?
m 3 f '( x ) ? 2 x ? 3 在 [ 0 , 2 ] 只有一个零点,求 m 的取值范围。
? ?

? ?

?

?

?

? ??

?

? ?

福州八中 2011—2012 高三毕业班第二次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准

第 4 页 共 7 页

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18.(本小题满分 12 分) 解:(I) f ( x ) ?
3 2 s in 2 x ? 1 ? cos 2 x 2 ? 1 2
? 2? 2 ??

= s in ( 2 x ? .
?
6
11 6

?
6

) ?1

????3 分

则 f ( x ) 的最小值是-2,最小正周期是 T (II) f ( C ) ? s in ( 2 C ?
?
6
? 0 ? C ? ? ,? 0 ? 2 C ? 2 ? ,? ?
?
6

????????6 分
) =1,
? ,

) ? 1 ? 0 ,则 s in ( 2 C ?
? 2C ?

?
6

?

? 2C ? 1 2 ?

?
6

?

?
2

, C ?

?
3

,
a b ? 1 2

??????????????????8 分 ①?????????????10 分
?
3

s in A s in B

,由正弦定理得,
2 2 2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2 a b c o s 由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 19. (本小题满分 12 分)
解 :( 1) 甲 y ? 1 4 x

,即 3= a ? b ? a b
2 2



????????????????????12 分

乙y ? 3

x

??????????????5 分

( 2 ) 设应给乙投资 高三数学(文)第二次月考试卷答案 第 1 页 共 3 页 x 万元 y ? 1 4 y? ? ? x ? 36 1 4 ? 2 3 x y ? 34 34 万元 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

?100

? x? ? 3

x

?0 ?

x ? 100

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分

答 : 应投资 36 万元 , 最大利润

20.(本小题满分 12 分)
第 5 页 共 7 页

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1 2

(I)证明:取 C E 的中点 G ,连结 F G 、 B G . ∵ F 为 C D 的中点,∴ G F // D E 且 G F ? ∵ A B ? 平面 A C D , D E ? 平面 A C D , ∴ A B // D E ,∴ G F // A B . 又 AB ?
1 2 D E ,∴ G F ? A B . ……??2 分 DE .

∴四边形 G F A B 为平行四边形,则 A F // B G .?????4 分 ∵ A F ? 平面 B C E , B G ? 平面 B C E , ∴ A F // 平面 B C E .???6 分 (Ⅱ)证明:∵ ? A C D 为等边三角形, F 为 C D 的中点,∴ A F ? C D ????7 分 ∵ D E ? 平面 A C D , A F ? 平 面 A C D ,∴ D E ? A F .?????9 分 又 C D ? D E ? D ,∴ A F ? 平面 C D E .???????????10 分 ∵ B G // A F ,∴ B G ? 平面 C D E .?????????????11 分 ∵ B G ? 平面 B C E , ∴平面 B C E ? 平面 C D E .??????12 分 21.(本小题满分 12 分) 解:? 奇函数 f ? x ? 的定义域为 R ? f ? 0 ? ? 0 ??????????2 分
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? f ? cos 2 ? ? ? ? ? 7 ? ? f ? ? 4 m ? 2 m cos ? ? ? ?? 3 ? 3 ? ? 恒成立 ? ? ? ? ?

?????4 分
?
3 ) ? 4m

又? f ? x ? 在 R 上单调递增 ?
? 2 cos
2

cos 2 (? ?

?
3

) ? 7 ? 2 m cos( ? ? cos( ? ?

????5 分 恒成立 ??8 分

(? ?

?
3

) ? 8 ? 2 m cos( ? ?

?
3

) ? 4m

?
3

于即

)? 2 ? m

令 g (? ) ? cos( ? ?
? ? ? ? ? ? 0, ? 2? ? ?

?
3

)? 2
?
3 ? ? 5? ? , ?3 6 ? ? ?

?? ?

?

? ? ? 3 1? ? ? cos ? ? ? , ? ? ? ?? 3 ? ? 2 2? ?

??????10 分

所以存在 m ? g ?? ? min ? ?

3 2

? 2

?????????12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (I) f '( x ) ? 3 x ? 3 a
2

???????????????1 分 ,????????????????3 分 ???????????????4 分

依题意有 ? 解得 ?

? f '(1) ? 3 ? 3 a ? 0 ? f (1) ? 1 ? 3 a ? b ? 2

?a ? 1 ?b ? 4


2

此时 f '( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? ,
x ? ? ? 1,1 ? , f ' ? x ? ? 0, x ? ? 1, ? ? ? , f ' ? x ? ? 0, 满足 f

?x? 在x

? 1 处取极小值

∴ f (x) ? x ? 3x ? 4
3

????????????5 分
m 3

(Ⅱ) f '( x ) ? 3 x ? 3
2

∴ g (x) ?

m 3

f (x) ? 2 x ? 3 ?
'

(3 x ? 3) ? 2 x ? 3 ? m x ? 2 x ? m ? 3 ???6 分
2 2

第 6 页 共 7 页

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当 m ? 0 时, g ( x ) ? ? 2 x ? 3 ,

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3 2

∴ g ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上有一个零点 x ? 当 m ? 0 时,

(符合) ,?8 分

①若方程 g ( x ) ? 0 在 [ 0 , 2 ] 上有 2 个相等实根,即函数 g ? x ? 在 [ 0 , 2 ] 上有一个零 点。
? ? ? 4 ? 4 m ( ? m ? 3) ? 0 3? 5 ? 则? ,得 m ? ??????????????10 分 1 ? 2 2 ?0 ? m ?

②若 g ( x ) 有 2 个零点,1 个在 [ 0 , 2 ] 内,另 1 个在 [0 , 2 ] 外, 则 g (0 ) g ( 2 ) ? 0 ,即 ( ? m ? 3)(3 m ? 1) ? 0 ,解得 m ? 经检验 m ? 3 有 2 个零点,不满足题意。 综上: m 的取值范围是 m ?
1 3 1 3

,或 m ? 3 ????12 分

,或 m ?

3? 2

5

,或 m ? 3 ????????14 分

第 7 页 共 7 页

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