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人教版高中数学集合与函数基础知识讲解(必修一)


集合与函数概念
§1.1 集合
(一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示,

而元素用小写的拉丁字母 a,b,c?表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N 或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;
*

6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) 。 “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: ⑴大于 3 小于 11 的偶数; ⑵我国的小河流; 2 ⑶非负奇数; ⑷方程 x +1=0 的解; ⑸某校 2011 级新生; ⑹血压很高的人; ⑺著名的数学家; ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 练:A={2,4,8,16},则 4 ? A,8 ? A,32 ? A. (二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空:

⑴8

N;

⑵0

N;

⑶-3

Z;

⑷ 2 A,美国

Q; A,印度 A,英国 A。

⑸设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 练:5 页1题 例 2.已知集合 P 的元素为 1, m, m
2

? m ? 3 , 若 2∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。

练:⑴考察下列对象是否能形成一个集合? ①身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤比 2 大的几个数 ⑥ 2 的近似值的全体 ⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题 ⑵给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 ⑶下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x +4=4x 的解集可表示为{2,2} ⑶其中正确命题的个数是( ⑷由实数-a, a, a , a 2, - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么? ⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? ⑹若

1? t ? {t},求 t 的值. 1? t

一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ?
2 3 2 2

? ”括起来表示集合的方法叫列举法。

如:{1,2,3,4,5},{x ,3x+2,5y -x,x +y },?; 说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开; ⑵一般不必考虑元素之间的顺序; ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序; ⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等; ⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合 中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号, 象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? 例 1.用列举法表示下列集合: (1) 小于 5 的正奇数组成的集合; (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合; (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合; (5) 方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

⑹ 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。

2

⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x )

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},?; 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素, 如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集 合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能 被表面的字母形式所迷惑。 例 2.用描述法表示下列集合: 2 (1) 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合
2

(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 练习:5 页 2 题 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 2.集合 A={x|

4 ∈Z,x∈N},则它的元素是 x ?3
2



3.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则集合 B 用列举法表示 是 4.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; 二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 2 3. {x ? R∣x +1=0} 由此可以得到 (2)A={自然数}与 B={正整数}

?有限集 : 含有有限个元素的集合 集合的分类 ? ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?

三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: A 3,9,27

表示任意一个集合 A

表示{3,9,27}

典型例题 【题型一】 元素与集合的关系 2 1、设集合 A={1,a,b},B={a,a ,ab},且 A=B,求实数 a,b. 2 2 2、已知集合 A={a+2, (a+1) ,a +3a+3}若 1∈A,求实数 a 的值。 【题型二】 元素的特征 1、⑴已知集合 M={x∈N∣ ⑵已知集合 C={

6 ∈Z},求 M 1? x

6 ∈Z∣x∈N},求 C 1? x
x,满足

点拔:要注意 M 与 C 的区别,集合 M 中的元素是自然数 C 是的元素是整数 练习:

6 是整数,集合 1? x

6 ,满足条件是 x∈N 1? x
)

1.给出下列四个关系式:① 3 ∈R;②π ? Q;③0∈N;④0 ? ? 其中正确的个数是( A.1 B.2 x? y ?3 ? 2.方程组 ? 的解组成的集合是( C.3 ) D.4

?x ? y ? 1

A.{2,1} B.{-1,2} C.(2,1) D.{ (2,1) } 3.把集合{-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示,正确的是( ) A.{3,2,1} B.{3,2,1,0} C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3} 4.下列说法正确的是( ) A.{0}是空集 B. {x∈Q∣
2

6 ∈Z}是有限集 x

C.{x∈Q∣x +x+2=0}是空集 D.{2,1}与{1,2}是不同的集合 二填空题: 5、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个; 2 6、以实数 a ,2-a.,4 为元素组成一个集合 A,A 中含有2个元素,则的 a 值为 7、集合 M={y∈Z∣y=

.

8 ,x∈Z},用列举法表示是 M= 3? x



8、已知集合 A={2a,a2-a} ,则 a 的取值范围是 。 三、解答题: 2 9、设 A={x∣x +(b+2)x+b+1=0,b∈R}求 A 的所有元素之和。 3 2 10.已知集合 A={a,2b-1,a+2b}B={x∣x -11x +30x=0},若 A=B,求 a,b 的值。

集合间的基本关系
比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2) C ? {北京一中高一一班全体女生} , D ? {北京一中高一一班全体学生} ; (3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 观察可得:
4

⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包 含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A 表示: A ? B

⒉集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 ⒊真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

? ; ?

{ ? };

?0?

{? }

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 练习:填空: {2} ? ⑴2 N; N; A; ⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 (二)例题讲解: 【题型1】集合的子集问题 1、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。 2、已知集合 M 满足{2,3} ? M ? {1,2,3,4,5}求满足条件的集合 M 3、已知集合 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}若 B A,则实数 a 的值构成的集合是( ) A.{-1,0,
2

1 } 3

B.{-1,0}

C.{-1,

1 } 3

D.{

1 ,0} 3

4.设集合 A={2,8,a}B={2,a2-3a+4}且 B A,求 a 的值。 5.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m ? 3) 练习: 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 2 (5) A={x| (x-1) =0},B={y|y -3y+2=0}; (6) A={1,3},B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1},B={x|x2-1=0}; (8)A={x|x 是两条边相等的三角形},B={x|x 是等腰三角形}。 2、设 A={0,1},B={x|x ? A},问 A 与 B 什么关系? 3、判断下列说法是否正确?

?

?

?

?

(1)N ? Z ? Q ? R; (4)N ? Z;

(2) ? ? A ? A; (3){圆内接梯形} ? {等腰梯形}; (5) ? ? { ? }; (6) ? ? { ? }

4.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,2,2y},且 A=B,求 x,y 的值。 解答题: 1.已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 2.已知三个元素集合 A={x,xy,x-y},B={0,∣x∣,y}且 A=B,求 x 与 y 的值。

1.1.3 集合间的基本运算(共 1 课时)
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B, 读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示:

说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集 (intersection set) , 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集 讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩ ? = A∩B B∩A A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 3.一些特殊结论

;

6

⑴若 A ? B ,则 A∩B=A;

⑵若 B ? A ,则 A ? B=A;

⑶若 A,B 两集合中,B= ? ,,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。 【题型一】 并集与交集的运算 【例 1】设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。 解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. -1 【例 2】设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。 解:在数轴上作出 A、B 对应部分如图 A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}。 1 2 3

-2

3

【例 3】已知集合 A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R}求 A∩B、A∪B 【题型二】 并集、交集的应用 例:设集合 A={∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当 A∩B={2,3}时,求 A∪B 解:∵∣a+1∣=2 ∴a=1 或-3 当 a=1 时,集合 B 的元素 a2+2a=3,2a+1=3, 由集合的元素应具有互异性的要求可知 a≠1. 当 a=-3 时,集合 B={-5,2,3} ∴A∪B={-5,2,3,5} 练:.已知{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则 m= 。 练习: 1.设 A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},则 A∩B= 。 {x|x 是等腰直角三角形}。 2设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B= 。 3设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},则 A∪B= 。 4.已知集合 M={x|x-2<0},N={x|x+2>0},则 M∩N 等于 。 4设 A={不大于 20 的质数} ,B={x|x=2n+1,n∈N*},用列举法写出集合 A∩B= 。 6.已知集合 M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么 M∩N 等于( ) A. ? B.N C.M D.R 7、若集合 A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是 。 9.已知集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3},且满足 A∩B= ? ,则实数 a 的聚取值啊范 围是 。

集合的基本运算㈡
思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质: ⒈全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: CU A ,读作:A 在 U 中的补集,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

?

?

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

A? C , U A? ? CUU ? ?,

A? U C A? ,U CU ? ? U

U

C (

U

C) A ?

A

巩固练习(口答) : ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 【题型 1】求补集

【例 1】 .设全集 U ? x x是小于9的正整数 , A ? ?1, 2, 3?,B ? ?3, 4, 5, 6? , 求 CU A , CU B . 【例 2】设全集 U ? x x ? 4 , 集合A ? x ?2 ? x ? 3 , B ? x ?3 ? x ? 3 ,求 CU A ,

?

?

?

?

?

?

?

?

A? B , A ? B, CU ( A ? B),(CU A) ? (CU B),(CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。
(结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ) 【例 3】设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0 ,若

?

?

(答案: ?2,3, 4? ) (CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A? B 。 【例 4】设全集 U={x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3},B={x|x2-2x-3=0},求 CU A ,并且判断 CU A 和集合 B 的关系。 【题型 1】集合的混合运算 已知全集为 R,集合 P={x|x=a2+4a+1,a∈R},Q={y|y=-b2+2b+3,b∈R}求 P∩Q 和 P∩ CR Q 。 (III)课堂练习: ⑴若 S={2,3,4},A={4,3},则 CSA={2} ; ⑵若 S={三角形},B={锐角三角形},则 CSB={直角三角形或钝角三角形} ; ⑶若 S={1,2,4,8},A=? ,则 CSA= S ; ⑷若 U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a= ;-1 ? 5

⑸已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求 B={1,4}; ⑹设全集 U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值; (m= - 4 或 m=2) 2 ⑺已知全集 U={1, 2, 3, 4}, A={x|x -5x+m=0, x∈U}, 求 CUA、 m; (答案: CUA={2, 3}, m=4; CUA={1, 4},m=6) ⑻已知全集 U=R,集合 A={x|0<x-1 ? 5},求 CUA,CU(CUA)。 ⑼已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求 A∩B,A ∪B。[A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}] ⑽已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( ); A 3个 B 4个 C 6个 D5 个 ⑾设集合 A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若 B ? ? , 且 B ? A , 求 a, b 的值
8

(12)集合A ? {n |

n m ?1 ? Z },B ? {m | ? Z },则A ? B ? ______ 2 2

5 (13)集合A ? {x | ?4 ? x ? 2},B ? {x | ?1 ? x ? 3},C ? {x | x ? 0或x ? } 2 那么A ? B ? C ? ______________, A ? B ? C ? _____________;
提高内容: ⑴已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且 X ? A ? ? , X ? B ? X ,试 求 p、q; ⑵集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q; ⑶A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B

集合中元素的个数
在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A 叫做有限集, 用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如:集合 A={a,b,c}中有三个元素,我们记作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A,B,有:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 例 1 学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有 12 名同学参赛,两次运动会都参赛的有 3 人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛? 解设 A={田径运动会参赛的学生},B={球类运动会参赛的学生}, A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生} 因此 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. 1.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人,既参加数学 课外小组又参加物理课外小组的有10人,既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人,则 这 个班的学生总人数是 A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定 2. 给出下列命题: 给出下列命题: ① 若 card(A)=card(B),则 A=B; ② 若 card(A)=card(B), 则 card(A∩B)=card(A∪B) , ③ 若 A∩B=Φ 则 card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若 A=Φ ,则 card(A∩B)=card(A) ⑤ 若 A ? B,则 card(A∩B)=card(A) , 其中正确的命题的序号是③④

高一数学必修 1 集合练习题 1
一.选择题 1.下列说法正确的是 B.所有小正数组成的集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 D. 1, 0.5, , , , 2.下面有四个命题: (1)集合N中最小的数是否; (2)0是自然数; (3) {1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合; (4) a ? N , B ? N 则a ? b不小于2 其中正确的命题的个数是 A.1个 B.2个 3.给出下列关系: (1) ( C.3个 ) D.4个 ( ) A.某个村子里的年青人组成一个集合

1 3 6 2 2 4

1 这些数组成的集合有五个元素 4

1 ? R; 2

(2) 2 ? Q; (3) ?3 ? N? ; (4) ? 3 ? Q. 其中正确的个数为 A.1个 B.2个 4.给出下列关系: (1) {0}是空集; (2) 若a ? N , 则 ? a ? N ; (3)集合 A ? x ? R x ? 2 x ? 1 ? 0
2



) C.3个 D.4个

?

?

(4)集合 B ? ? x ? Q

? ?

6 ? ? N? x ?
( ) C.3个 D.0个

其中正确的个数为 A.1个 B.2个 5.下列四个命题:

10

(1)空集没有了集; (2)空集是任何一个集合的真子集; (3)空集的元素个数为零; (4)任何一个集合必有两个或两个以上的子集. 其中正确的有 A.0 个 ( B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

6.已知集合 A ? x ? R x ? 5 , B ? x ? R x ? 1 , 那么 A ? B 等于 A. {1,2,3,4,5} C. {2,3,4} 7.已知全集 I ? ?0, ?1, ?2. ? 3, ?4? , 集合

?

?

?

?





B. {2,3,4,5} D. x ? R 1 ? x ? 5

?

?

M ? ?0, ?1, ?2?, N ? ?0, ?3, ?4?, 则??I M ? ? N ? (
A. {0} B. ??3, ?4?

) C. ??1, ?2? D. ?

二.填空题 8.方程的解集为 x ? R 2 x ? 3x ? 2 ? 0 , 用列举法表示为____________.
2

?

?

2 ? x 7x ? 2 ? x ? 1? ? ? ? 1, ? ? 3 2 9.用列举法表示不等式组 ? 的整数解集合为____________. ? x ? 5 ? 3 x ? ?1 ? ? 2
10. 已知A= {菱形} , B= {正方形} , C= {平行四边形} , 那么A, B, C之间的关系是__________. 11.已知全集U=N,集合 A ? x ? R x ? 5 ,则 ?U A 用列举法表示为_____________.

?

?

三.解答题 12.已知 A ? x x ? 2x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , 求A ? B.
2

?

?

?

?

13.已知 A ? y y ? x ? 4 x ? 6, y ? N , B ? y y ? ? x ? 2 x ? 18, y ? N ,求A ? B .
2 2
2 14.若集合 A ? ?1,3, x? , B ? x ,1 , 且A ? B ? ?1,3, x? , 则满足于条件的实数 x 的个数有

?

?

?

?

?

?

( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2 15.设集合 A ? ??3, 0,1? , B ? t ? t ? 1 , 若A ? B ? A ,则实数 t ? ______________.

?

?

16

已 知 全 集 U ? R , ? A

?

? x4 ? ? x , ? B? ? x1? ?2 ?

?

? x? 3?, ?

5? P ? 或x ? x 0? 那 么 x , 2?

A ? B ? _______, A ? B ? ??U P? ? ________ .
17. A ? x x ? px ? q ? 0 , B ? x x ? px ? 2q ? 0 , 且A ? B ? ??1? , 求A ? B.
2 2

?

?

?

?

18.设 A ? x x ? 1 , B ? x x ? a , 且A ? B,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

19.试用适当的符号把 2 ? 3 ? 2 ? 3和 a ? b 6 a ? R, b ? R 连接起来.

?

?

20.已知集合

A ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 , C ? x x 2 ? mx ? 1 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

且A ? B ? A, A ? C ? C, 求a, m 的值或取值范围.

第1讲

§ 1.1.1 集合的含义与表示

¤学习目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点: 1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ { }”括起来,基本形 式为 {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征来表 示,基本形式为 {x ? A | P( x)} ,既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P( x) ,适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母 A, B, C , ? ? ? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示, 如自然数集 N, 正整数集 N * 或 N ? ,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R. 4. 元素与集合之间的关系是属于 (belong to) 与不属于 (not belong to) , 分别用符号 ? 、 例如 3 ? N , ? 表示, ?2 ? N . ¤例题精讲: 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合;
12

(2)大于 2 且小于 7 的整数. 解: (1)用描述法表示为: {x ? R | x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0} ; 用列举法表示为 {0, ?1,3} . (2)用描述法表示为: {x ? Z | 2 ? x ? 7} ; 用列举法表示为 {3, 4,5,6} . 【例 2】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有: 17 A; -5 A; 17 B. 解:由 3k ? 2 ? 17 ,解得 k ? 5 ? Z ,所以 17 ? A ; 由 3k ? 2 ? ?5 ,解得 k ?

由 6m ? 1 ? 17 ,解得 m ? 3 ? Z ,所以 17 ? B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合: (教材 P6 练习题 2, P13 (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合; (3)反比例函数 y ?

7 ? Z ,所以 ?5 ? A ; 3

A 组题 4)

2 的自变量的值组成的集合. x ?y ? x ? 3 } ? {(1, 4)} . 解: (1) {( x, y) | ? ? y ? ?2 x ? 6
2 x

(2) { y | y ? x2 ? 4} ? { y | y ? ?4} . (3) {x | y ? } ? {x | x ? 0} . 点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为 {1, 4} ,也注意对比 (2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细心 . *【例 4】已知集合 A ? {a | 解:化方程

x?a ? 1有唯一实数解} ,试用列举法表示集合 A. x2 ? 2

x?a ? 1 为: x2 ? x ? (a ? 2) ? 0 .应分以下三种情况: x2 ? 2 9 1 ⑴方程有等根且不是 ? 2 :由 △=0,得 a ? ? ,此时的解为 x ? ,合. 4 2 ⑵方程有一解为 2 ,而另一解不是 ? 2 :将 x ? 2 代入得 a ? ? 2 ,此时另一解 x ? 1 ? 2 ,合.
⑶方程有一解为 ? 2 ,而另一解不是 2 :将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ,此时另一解为 x ? 2 ? 1 ,合. 综上可知, A ? {? , ? 2, 2} .

9 4 点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现

象.

第2讲

§ 1.1.2 集合间的基本关系

¤学习目标:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集 的含义;能利用 Venn 图表达集合间的关系. ¤知识要点: 1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两个集合有包 含关系,其中集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作 A ? B (或 B ? A ) ,读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,即集合 A 与集合 B 的元 素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 3. 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) ,记作 A ? B(或 B ? A ) . ?

?

4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质: A ? A ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; 若 A ? B ? A ,则 A ? B ;若 A ? B ? A ,则 B ? A . ¤例题精讲: 【例 1】用适当的符号填空:

(1){菱形} {平行四边形}; 2 (2) ? {x ? R | x ? 2 ? 0; } 解: (1) , ; (2)=, ∈, , . 【例 2】 设集合 A ? {x | x ?

{等腰三角形} 0 {0};

{等边三角形}. ? {0}; N

{0}.

A B

n 1 则下列图形能表示 A 与 B 关系的是 ( , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} , 2 2 B A B A A B
B.

) .

易知 B ? A,故答案选 A.

C. D. 3 1 1 3 3 1 1 3 解:简单列举两个集合的一些元素, A ? {???, ? ? 1, ? ,0, ,1, , ???} , B ? {???, ? , ? , , , ???} , 2 2 2 2 2 2 2 2

A.

2n ? 1 , n ? Z} ,易知 B ? ? A,故答案选 A. 2 【例 3】若集合 M ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值.
另解:由 B ? {x | x ?

?

?

?

解:由 x ? x ? 6 ? 0 ? x ? 2或 ? 3 ,因此, M ? ?2, ?3? .
2

(i)若 a ? 0 时,得 N ? ? ,此时, N ? M ; (ii)若 a ? 0 时,得 N ? { } . 若 N ? M ,满足 故所求实数 a 的值为 0 或

1 a

1 1 1 1 ? 2或 ? ?3 ,解得 a ? 或a ? ? . a a 2 3

点评:在考察“ A ? B ”这一关系时,不要忘记“ ? ” ,因为 A ? ? 时存在 A ? B . 从而需要分情况讨 论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 【例 4】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若 A=B,求实数 x 的值. 解:若 ?

1 1 或? . 2 3

?a ? b ? ax ?a ? 2b ? ax
2

? a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1.

当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. 若?

?a ? b ? ax 2 ?a ? 2b ? ax

? 2ax2-ax-a=0.
又 x≠1,所以只有 x ? ?

因为 a≠0,所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ?

1 . 2

1 . 2

点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.

第3讲

§ 1.1.3 集合的基本运算(一)

¤学习目标:理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一 个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽 象概念的作用. ¤知识要点: 集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到 掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集 交集 补集 由所有属于集合 A 或属于集 由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于 合 B 的元素所组成的集合, 的元素所组成的集合,称为 集合 A 的所有元素组成的集 概念 称 为 集 合 A 与 B 的 并 集 集 合 A 与 B 的 交 集 合,称为集合 A 相对于全集 U (union set) (intersection set) 的补集(complementary set) A ? B A ? B ? U A (读作“A 的补集” ) (读作“ A 并 B ” ) (读作“ A 交 B ” ) 记号 符号

A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}

A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}

? U A ? {x | x ?U , 且x ? A}
14

图形 表示

U

A

¤例题精讲: 【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B) . 解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示: A ? B ? {x | 3 ? x ? 5} , 【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; 解:? A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6? . (1)又? B ? C ? ?3? ,∴ A ? ( B ? C ) ? ?3? ; (2)又? B ? C ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 得 CA ( B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . ∴ A ? CA ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . 【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的取值范围. 解:由 A ? B ? A ,可得 A ? B . 在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示: B A 由图形可知, m ? 4 . 4 m x -2 4 m x 点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系, 得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题. 【例 4】已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A ? B) , CU ( A ? B) , (2) A ? ?A ( B ? C ) .

A -1 3

CU ( A ? B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} ,

A? B
5

B 9 x

(CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B) ,并比较它们的关系.
解:由 A ? B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {6,7,9} . 由 A ? B ? {5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} 由 CU A ? {1,3,6,7,9} , CU B ? {2, 4,6,7,9} , 则 (CU A) ? (CU B) ? {6,7,9} ,

(CU A) ? (CU B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} .
由计算结果可以知道, (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ,

(CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) .
另解:作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结果. 点评:可用 Venn 图研究 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) 与 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ,在理解的基础记住 此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.

第4讲

§ 1.1.3 集合的基本运算(二)

¤学习目标:掌握集合、交集、并集、补集的有关性质,运行性质解决一些简单的问题;掌握集合运算中 的一些数学思想方法. ¤知识要点: 1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域, 分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过 Venn 图理解和掌握 各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算 . 通过图形,我们还可以发现一些集合性质: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) . 2. 集合元素个数公式: n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) . 3. 在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲: 【例 1】设集合 A ? ?4,2a ? 1, a2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,若 A ? B ? ?9? ,求实数 a 的值. 解:由于 A ? ?4,2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,且 A ? B ? ?9? ,则有:
2

?

?

?

?

当 2a ? 1=9时,解得 a=5 ,此时 A={-4, 9, 25},B={9, 0, -4} ,不合题意,故舍去; 当 a 2=9 时,解得 a=3或-3 . 不合题意,故舍去; a=3时, A={-4,5,9}, B={9,-2,-2},

a=-3,A={-4, -7, 9},B={9, -8, 4} ,合题意.
所以, a=-3 . 【例 2】设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A ? B , A ? B .(教材 P14 B 组题 2) 解: B ? {1, 4} . 当 a ? 3 时, A ? {3} ,则 A ? B ? {1,3, 4} , A ? B ? ? ; 当 a ? 1 时, A ? {1,3} ,则 A ? B ? {1,3, 4} , A ? B ? {1} ; 当 a ? 4 时, A ? {3, 4} ,则 A ? B ? {1,3, 4} , A ? B ? {4} ; 当 a ? 3 且 a ? 1 且 a ? 4 时, A ? {3, a} ,则 A ? B ? {1,3, 4, a} , A ? B ? ? . 点评:集合 A 含有参数 a,需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时,需依据集合的性质 和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则. 【例 3】设集合 A ={ x | x 2 ? 4 x ? 0 }, B ={ x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1 ? 0 , a ? R },若 A ? B=B,求实数 a 的值. 解:先化简集合 A= {?4,0} . 由 A ? B=B,则 B ? A,可知集合 B 可为 ? ,或为{0},或{-4},或 {?4,0} . (i)若 B= ? ,则 ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 ,解得 a < ?1 ; (ii)若 0 ? B,代入得 a 2 ?1 =0 ? a =1 或 a = ?1 , 当 a =1 时,B=A,符合题意; 当 a = ?1 时,B={0} ? A,也符合题意. (iii)若-4 ? B,代入得 a 2 ? 8a ? 7 ? 0 ? a =7 或 a =1, 当 a =1 时,已经讨论,符合题意; 当 a =7 时,B={-12,-4},不符合题意. 综上可得, a =1 或 a ≤ ?1 . 点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之 间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题时, 特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= ? 的情形,从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审 视问题. 【 例 4 】 对 集 合 A 与 B , 若 定 义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} , 当 集 合 A ? {x | x ? 8, x ? N *} , 集 合 B ? {x | x( x ? 2)( x ? 5)( x ? 6) ? 0} 时,有 A ? B = . (由教材 P12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补 集为 CU A ? {x | x ? ?, 且x ? A} ”而拓展) 解:根据题意可知, A ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , B ? {0, 2,5,6} 由定义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} ,则 A ? B ? {1,3, 4,7,8} . 点评:运用新定义解题是学习能力的发展,也是一种创新思维的训练,关键是理解定义的实质性内涵,这 里新定义的含义是从 A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集 U,则 A ? B 也相当于 A ? (CU B) .

第5讲

§ 1.2.1 函数的概念

¤学习目标:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学 习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些 简单函数的定义域和值域. ¤知识要点: 1. 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应, 那么就称 f : A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (function) , 记作 y = f ( x) , x ? A .其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的 集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range). 2. 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则:{x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a≤x<b}= [a, b) , {x|a<x≤b}= (a, b] ,都叫半开半闭区间. {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间;

16

符号: “∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大”. 则 {x | x ? a} ? (a, ??) , {x | x ? a} ? [a, ??) , {x | x ? b} ? (??, b) , {x | x ? b} ? (??, b] , R ? (??, ??) . 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才 是同一函数. ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ?

1 ; (2 ) y ? x ? 2 ?1

x?3
3

x ?1 ? 2

.

解: (1)由 x ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? ?3 , 所以原函数定义域为 (??, ?3) ? (?3, ?1) ? (?1, ??) .

? ?x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 且 x ? 9 , 3 ? ? x ?1 ? 2 ? 0 所以原函数定义域为 [3,9) ? (9, ??) .
(2)由 ?

3x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? x ? 2 . 5 ? 4x 5 5 解: (1)要使函数有意义,则 5 ? 4 x ? 0 ,解得 x ? . 所以原函数的定义域是 {x | x ? } . 4 4 3x ? 2 1 12x ? 8 1 3(4 x ? 5) ? 23 3 23 3 3 3 y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? ,所以值域为 { y | y ? ? } . 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 4 4 1 9 9 (2) y ? ? x2 ? x ? 2 ? ?( x ? )2 ? . 所以原函数的定义域是 R,值域是 (??, ] . 2 4 4 1? x 【例 3】已知函数 f ( (1) f (2) 的值; (2) f ( x) 的表达式 ) ? x . 求: 1? x 1? x 1 1 解: (1)由 ? 2 ,解得 x ? ? ,所以 f (2) ? ? . 1? x 3 3 1? x 1? t 1? t 1? x (2)设 ,所以 f (t ) ? ,即 f ( x) ? . ? t ,解得 x ? 1? x 1? t 1? t 1? x
【例 2】求下列函数的定义域与值域: (1) y ? 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需 要结合换元法、特值代入、方程思想等. 【例 4】已知函数 f ( x) ?

x2 , x?R . 1 ? x2
1 2 1 3 1 4

(1)求 f ( x) ? f ( ) 的值; (2)计算: f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) .

1 x

1 2 2 1 x2 x2 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 . 解: (1)由 f ( x) ? f ( ) ? ? x 1 ? x2 1 ? 1 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 x2 1 1 1 1 7 (2)原式 ? f (1) ? ( f (2) ? f ( )) ? ( f (3) ? f ( )) ? ( f (4) ? f ( )) ? ? 3 ? 2 3 4 2 2
点评:对规律的发现,能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键.

第6讲

§ 1.2.2 函数的表示法

¤学习目标:在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数; 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;了解映射的概念. ¤知识要点: 1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量 可求函数值) ;图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出表 格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可看出函数值). 2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同). 3. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元 素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 (mapping) .记作“ f : A ? B ”.

判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. ¤例题精讲: 【例 1】如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正 方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____,这个函数的 定义域为_______. 解:盒子的高为 x,长、宽为 a-2 x ,所以体积为 V= x(a-2 x)2 . 又由 a-2 x ? 0 ,解得 x ?

a . 2
a 2

所以,体积 V 以 x 为自变量的函数式是 V ? x(a-2 x)2 ,定义域为 {x | 0 ? x ? } . 【例 2】已知 f(x)= ?
3 ? ? x3 ? 2 x ? 2 3 ?3 ? ?x ? x

x?( ? ? , 1) ,求 f[f(0)]的值. x ? ( 1 ,? ? )

解:∵ 0 ? (??,1) , 又 ∵
3

∴ f(0)= 3 2 .

2 >1,

∴ f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+

1 5 5 = ,即 f[f(0)]= . 2 2 2

【例 3】画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 2 | ; (教材 P26 练习题 3) (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | . 解: (1)由绝对值的概念,有 y ?| x ? 2 |? ? 所以,函数 y ?| x ? 2 | 的图象如右图所示.

? x ? 2, x ? 2 . ?2 ? x, x ? 2

?3x ? 3, x ? 1 ? (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 , ??3x ? 3, x ? ?2 ? 所以,函数 y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | 的图象如右图所示. 点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数 式化为分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】 函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数, 例如 [?3.5] ? ?4 , [2.1] ? 2 ,当 x ? (?2.5,3] 时,写出 f ( x) 的解析式,并作出函数的图象.

? ?3, ?2.5 ? x ? ?2 ? ?2, ?2 ? x ? ?1 ? ?1, ?1 ? x ? 0 ? 解: f ( x) ? ?0, 0 ? x ? 1 . 函数图象如右: ?1, 1 ? x ? 2 ? 2, 2 ? x ? 3 ? ?3, x ? 3

点评:解题关键是理解符号 ? m ? 的概念,抓住分段函数的对应函数式.

第7讲

§ 1.3.1 函数的单调性

¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理 解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别. ¤知识要点: 1. 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个 区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 仿照增函数的定义可 定义减函数.
18

2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1) ,减函数的图象从左向右 是下降的(如右图 2). 由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ;→计算 f(x 1 )-f(x 2 ) →判断符号→下结论. ¤例题精讲: 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

2x 在区间(0,1)上的单调性. x ?1 2 x1 2 x2 2( x2 ? x1 ) ? ? 解:任取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
由于 0 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

2x 在(0,1)上是减函数. x ?1 【例 2】求二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. 解:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 . 则
所以,函数 f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? a( x12 ? x22 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . b b 若 a ? 0 ,当 x1 ? x2 ? ? 时,有 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ? ,即 a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 2a a b b 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增. 同理可得 f ( x) 在 [? , ??) 上单调递减. 2a 2a
【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 .

?3x ? 3, x ? 1 ? 解: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 ,其图象如右. ??3x ? 3, x ? ?2 ? 由图可知,函数在 [?2, ??) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数.
2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ,其图象如右. 2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 由图可知,函数在 (??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数,在 [ ?1, 0] 、 [1, ??) 上是减函数.

(2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ? ?

点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数 . 第 2 小题也 可以由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧,得到 f (| x |) 的图象. 由图象 研究单调性,关键在于正确作出函数图象.

3x ? 1 ,指出 f ( x) 的单调区间. x?2 3( x ? 2) ? 5 ?5 解:∵ f ( x) ? , ? 3? x?2 x?2 ?5 ∴ 把 g ( x) ? 的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 3 个单位, x 得到 f ( x) 的图象,如图所示. 由图象得 f ( x) 在 (??, ?2) 单调递增,在 (?2, ??) 上单调递增. 点评:变形后结合平移知识,由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f ( x ? a) ? b 平移变换规律.
【例 4】已知 f ( x) ?

第8讲

§ 1.3.1 函数最大(小)值

¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的最大(小)值及其几何意义;学会运用函数 图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大(小)值. ¤知识要点: 1. 定义最大值:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f ( x) ≤M;

存在 x0∈I,使得 f ( x0 ) = M. 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定义,可 以给出最小值(Minimum Value)的定义. 2. 配方法:研究二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大(小)值,先配方成 y ? a( x ? 当 a ? 0 时,函数取最小值为

b 2 4ac ? b2 后, ) ? 2a 4a

4ac ? b2 4ac ? b2 ;当 a ? 0 时,函数取最大值 . 4a 4a

3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单 调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲:

6 的最大值. x2 ? x ? 1 6 6 1 3 3 ?8. 解:配方为 y ? ,由 ( x ? )2 ? ? ,得 0 ? 1 2 3 1 3 2 2 4 4 (x ? ) ? (x ? ) ? 2 4 2 4
【例 1】求函数 y ? 所以函数的最大值为 8. 【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件. 现在他采用提高售 出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定 为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润. ( x ? 10) 件,所赚得的利润为 解:设他将售出价定为 x 元,则提高了 ( x ? 10) 元,减少了 10? y ? ( x ? 8)? [100 ? 10? ( x ? 10)] . 即 y ? ?10x2 ? 280x ? 1600 ? ?10( x ? 14)2 ? 360 . 当 x ? 14 时, ymax ? 360 . 所以,他将售出价定为 14 元时,才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元. 【例 3】求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值. 解:此函数的定义域为 ?1, ?? ? ,且函数在定义域上是增函数, 所以当 x ? 1 时, ymin ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,函数的最小值为 2. 点评:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究, 也可以用换元法研究. 【另解】令 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 , x ? t 2 ? 1 ,所以 y ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ? 在 t ? 0 时是增函数,当 t ? 0 时, ymin ? 2 ,故函数的最小值为 2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值: (1) y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] ;

1 4

15 , 8

5 3 2 2

(2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | .

b ,即 x ? ?1 . 2a 3 9 画出函数的图象,由图可知,当 x ? ?1 时, ymax ? 4 ; 当 x ? 时, ymin ? ? . 4 2 5 3 9 所以函数 y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] 的最大值为 4,最小值为 ? . 2 2 4 3 ( x ? 2) ? ? (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? ?2 x ? 1 (?1 ? x ? 2) . ? ( x ? ?1) ??3
解: (1)二次函数 y ? 3 ? 2x ? x2 的对称轴为 x ? ? 作出函数的图象,由图可知, y ? [?3,3] . 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3. 点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析 . 含绝 对值的函数,常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲

§ 1.3.2 函数的奇偶性

¤学习目标: 结合具体函数, 了解奇偶性的含义; 学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、
20

偶函数的几何意义,能熟练判别函数的奇偶性. ¤知识要点: 1. 定义: 一般地, 对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 叫偶函数 (even function) . 如果对于函数定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? ? f ( x) ) , 那么函数 f ( x) 叫奇函数 (odd function) . 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴 对称. 3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (? x) 与 f ( x) 的 关系. ¤例题精讲: 【例 1】判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ?

1 ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x 2 ? x3 . x 解: (1)原函数定义域为 {x | x ? 0} ,对于定义域的每一个 x,都有 1 1 f (? x) ? (? x)3 ? ? ?( x3 ? ) ? ? f ( x) , 所以为奇函数. ?x x

(2)原函数定义域为 R,对于定义域的每一个 x,都有 f ( ? x) ? | ? x ? 1 | ? | ? x ? 1 |? x | ? 1 |? x | ? 1 f? | x ( ) ,所以为偶函数 . (3)由于 f (? x) ? x2 ? x3 ? ? f ( x) ,所以原函数为非奇非偶函数. 【例 2】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 解:∵ f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x ) , g ( ? x) ? g ( x) .

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

1 1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 则? ,即 ? . 1 ? f (? x) ? g (? x) ? ?? f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? x 1 两式相减,解得 f ( x) ? 2 ;两式相加,解得 g ( x) ? 2 . x ?1 x ?1 【例 3】已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.
解:作出函数 y ? ?2x2 ? 4x ? ?2( x ? 1)2 ? 2, x ? 0 的图象,其顶点为 (1, 2) . ∵ f ( x) 是偶函数, ∴ 其图象关于 y 轴对称. 作出 x ? 0 时的图象,其顶点为 (?1, 2) ,且与右侧形状一致, ∴ x ? 0 时, f ( x) ? ?2( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 x2 ? 4 x . 点评: 此题中的函数实质就是 y ? ?2x2 ? 4 | x | . 注意两抛物线形状一致, 则二次项系数 a 的绝对值相同. 此 类问题,我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求,过程如下. 【另解】当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,又由于 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) ? f (? x) , 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x)2 ? 4(? x) ? ?2 x2 ? 4 x . 【例 4 】设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (??,0) 上是减函数,实数 a 满足不等式

f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ f ( x) 在区间 (??,0) 上是减函数, ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左侧递减. 又 ∵ f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称,则在 y 轴右侧同样递减. 又 f (?0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 , 所以 f ( x) 的图象在 R 上递减.
∵ f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) , ∴ 3a 2 ? a ? 3 ? 3a 2 ? 2a ,解得 a ? 1 . 点评:定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间上 单调性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

第 10 讲 第一章 集合与函数概念 复习
¤复习目标:强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性 研究问题,注意运用文氏图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练. 深刻理解函数的有关概 念.掌握对应法则、图象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念,并掌握基本的判定方法和步骤, 并会运用. ¤例题精讲: 【例 1】 ( 05 年 江 苏 卷 .17 ) 已 知 a,b 为 常 数 , 若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24 , 则 5a ? b ? . 解:由 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3 ,则 f (ax ? b) ? (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ? 10x ? 24 , 整理得 a 2 x2 ? 2abx ? b2 ? 4ax ? 4b ? 3 ? x 2 ? 10 x ? 24 ,

?a 2 ? 1 ? 比较系数得: ?2ab ? 4a ? 10 , 2 ? ?b ? 4b ? 3 ? 24 解得: a ? ?1, b ? ?7 ;或 a ? 1, b ? 3 . 则 5a ? b ? 2 . 【例 2】 (02 京、皖春.18)已知 f ( x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上是增
函数还是减函数,并加以证明. 解:设 x1<x2<0,则-x1>-x2>0, 因为 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,则 f (? x1 ) ? f (? x2 ) . 因为 f ( x) 为偶函数,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 由此可得 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数. 【例 3】集合 A ? {x | ?1 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? m ? x ? 3m ? 1} ,若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围. 解:由 A ? B ? B ,得 B ? A . 当 B ? ? 时,有: 2 ? m ? 3m ? 1 ,解得 m ?

当 B ? ? 时,如右图数轴所示,则 ?2 ? m ? 3m ? 1 1 ? ,解得 ? m ? 2 . ? 2 ? m ? ?1 -1 2-m 3m+1 7 x 4 ?3m ? 1 ? 7 ? 综上可知,实数 m 的取值范围为 m ? 2 . 点评:已知两个含参集合的关系或者运算结果时,可以结合数轴分析区间端点的位置情况,列出相关不等 式后求解参数范围. 注意当 B ? A 时,不能忽视 B ? ? 的情况.

1 . 4

A

B

22



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