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第47届IMO试题解答


22

中 等 数 学

竞赛之窗

第 47 届 IMO 试 题 解 答
   1. 设 I 为 △ABC 的内心 , P 是 △ABC 内 部的一点 ,满足 ∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB . 证明 : A P ≥AI , 并说明等号成立的充分 必要条件是 P = I . 2. 设 P 为正 2 006 边形 . 如果 P 的一条 对角线的两端将 P 的边界分成两部分 , 每部 分都包含 P 的奇数条边 , 那么 , 该对角线称 为 “好边” . 规定 P 的每条边均为好边 . 已知 2 003 条在 P 内部不相交的对角线 将 P 分割成若干个三角形 . 试问在这种分割 之下 ,最多有多少个有两条好边的等腰三角 形? 3. 求最小的实数 M , 使得对所有的实数 a、 b、 c ,有 2 2 2 2 2 2 | ab ( a - b ) + bc ( b - c ) + ca ( c - a ) | ≤M ( a2 + b2 + c2 ) 2 .
4. 求所有的整数对 ( x , y ) ,使得 x 2x +1 2 1 +2 +2 =y . 5. 设 P ( x ) 为 n ( n > 1 ) 次整系数多项
由于点 P 、 I 位于边 BC 的同侧 ,故点 B 、 C、 I、 P 四点共圆 ,即点 P 在 △BCI 的外接圆ω 上 . 记 Ω 为 △ABC 的外接圆 , 则 ω 的圆心 M 是 Ω 的BC的中点 ,即 ∠A 的平分线 AI 与 Ω 的交点 . 又在 △A PM 中 ,有
A P + PM ≥AM = AI + IM = AI + PM .

故 A P ≥AI . 等号成立的充分必要条件是点 P 位于线段 AI 上 ,即 P = I .
2. 如果等腰三角形具有两条好边 ,则简记为 “好 三角形” . 设 △ABC 是一个好三角形 ,且 AB 、 BC 为好

边 . 那么 , 在点 A 与点 B 之间 , 存在 P 的奇数条边 ; 对 B 与 C 也一样 . 我们称这些边属于好 △ABC. 于是 ,在这两组的每一组中 ,至少有一边不属于 任何其他好三角形 . 这是因为三个顶点在 A 与 B 之 间的好三角形有两条等长的边 ,从而 ,总共有偶数条 边属于它 . 除了属于任意其他好三角形的所有边 ,此 时必留有一边不属于其他好三角形 . 我们指定这样 的两边 ( 在每组中一个) 对应于 △ABC. 对每个好三角形 ,指定一对边 ,没有两个三角形 共享指定的边 . 于是 , 推出在这种分割之下 , 最多有
1 003 个好三角形 ,且容易画出达到这个值的分割 . 3. 首先考虑
2 2 2 2 2 2 P ( t ) = tb ( t - b ) + bc ( b - c ) + ct ( c - t ) .

式 , k 是一个正整数 . 考虑多项式 )) , Q ( x ) = P ( P ( …P ( P ( x ) ) … 其中 P 出现 k 次 . 证明 : 最多存在 n 个整数 t ,使得 Q ( t ) = t . 6. 对于凸多边形 P 的任意边 b , 以 b 为 边 ,在 P 内部作一个面积最大的三角形. 证 明 : 对 P 的每条边 , 按上述方法所得三角形 的面积之和至少是 P 的面积的 2 倍 .

易知 P ( b) = P ( c) = P ( - c - b) = 0. 则有 2 2 2 2 2 2 | ab ( a - b ) + bc ( b - c ) + ca ( c - a ) | = | P ( a) | = | ( b - c) ( a - b) ( a - c) ( a + b + c) | . 于是 ,原不等式等价于 | ( b - c) ( a - b) ( a - c) ( a + b + c) | ≤M ( a2 + b2 + c2 ) 2 . 由对称性 ,不妨设 a ≤b ≤c . 则有 | ( a - b) ( b - c) | = ( b - a) ( c - b) 2 ≤[ ( b - a) + ( c - b) ] 2 = ( c - a) , 2 4 且等号成立的充分必要条件是 b - a = c - b ,即 2 b = a + c. ( c - b) + ( b - a) 2 ≤( c - b) 2 + ( b - a) 2 又[ ] 2 2 http://www.cnki.net

参考答案
1. 设 ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ.

因为 ∠PBA + ∠PCA + ∠PBC + ∠PCB = β + γ ,由假设有 ∠PBC + ∠PCB = β+ γ . 2

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2006 年第 9 期

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Ζ 3 ( c - a) 2 2 2 2  ≤ 2[ ( b - a) + ( c - b) + ( c - a) ] , 且等号成立的充分必要条件是 2 b = a + c . 故| ( b - c) ( a - b) ( a - c) ( a + b + c) | ≤ 1 | ( c - a) 3 ( a + b + c) | 4 1 ( c - a ) 6 ( a + b + c) 2 = 4 ≤1 4 ≤2 2
4 2 2 2 2[ ( b - a) + ( c - b) + ( c - a) ] 3 3

当 ε= - 1 时 ,有
1+ m =2
x- 2

2 ( m 2 - 8) ≥ 2 ( m - 8) ,

推出
2 m - m - 17 ≤ 0.
2

因此 , m ≤ 3. 另一方面 , m ≠ 1 ,由于 m 为奇数 ,故 m = 3. 从而 , x = 4 , y = 23. 因此 ,所有解为 (0 ,2) , (0 , - 2) , (4 ,23) , (4 , - 23) .
5. 如果 Q 的每个整数不动点也是 P 的不动点 , 那么 ,结论成立 . 假设整数 x0 满足 Q ( x0 ) = x0 ,但 P ( x0 ) ≠x0 . ). 定义 x i + 1 = P ( x i ) ( i = 0 ,1 ,2 , …

( a + b + c) 2
2

[

( b - a) 2 + ( c - b) 2 + ( c - a) 2 3 2 ] ( a + b + c) 3

.

由加权算术 — 几何平均不等式有 | ( b - c) ( a - b) ( a - c) ( a + b + c) |
2 2 2 2 ≤ 2 [ ( b - a) + ( c - b) + ( c - a) + ( a + b + c) ]2 2 4

则 x k = x0 . 显然 ,对不同的 u 、 v ,有 ( u - v) | ( P ( u) - P ( v) ) . 从而 ,对于下面 ( 非零) 差式 ,前一项能整除后一 项,
x0 - x1 , x1 - x2 , …, x k - 1 - x k , x k - x k + 1 .

=

9 2 2 ( a + b2 + c2 ) 2 . 32 9 2 ,且等号成立的充分必要条件是 32

于是 , M =

2 b = a + c ,以及 ( b - a) 2 + ( c - b) 2 + ( c - a) 2 2 = ( a + b + c) . 3 解得 2 b = a + c , ( c - a) 2 = 18 b2 .

由于 x k - x k + 1 = x0 - x1 ,所以 ,所有的差式的绝 对值相等 . 考虑 xm = min ( x1 , x2 , …, x k ) ,则
xm - 1 - xm = - ( xm - x m + 1 ) .

取 b = 1 ,得 a = 1 -

3 2 3 2 和 c =1+ . 2 2

于是 , xm - 1 = xm + 1 ( ≠xm ) ,推出相继的差有相反 的符号 . 从而 ,得到 x0 , x1 , … 取两个不同的值 . 换句话说 , Q 的整数不动点为多项式 P ( P ( x ) ) 的不动点 . 下面证明这样的不动点最多有 n 个 . 假设 a 为满足性质的一个不动点 ,设 b = P ( a) ≠a ( 已经假定这样的 a 存在) ,那么 , a = P ( b) .
) = 取 P ( P ( x ) ) 的任意整数不动点 α, 令 P (α β,则 α= P (β ) ,α和β可以相同 ( 即 α可以是 P 的不 β与 a 、 动点) ,但 α、 b 互不相同 . 对四对数 (α, a) , (β, b) , (α, b) , (β, a ) 应用前 面的性质 , 得到 α - a 与β - b 相互整除 ,α - b 与 β- a 相互整除 . 从而 ,α- b = ±(β- a) ,α- a = ±(β- b) .

3 2 3 2 ) 时 ,等 从而 ,当 ( a , b , c) = ( 1 ,1 ,1 + 2 2

号成立 ,故 M =

9 2 . 32

4. 如果 ( x , y ) 为解 ,则 x ≥ 0 , ( x , - y ) 也是解 . 当 x = 0 时 ,有解 (0 ,2) , (0 , - 2) .

设 ( x , y ) 为解 , x > 0. 不失一般性 ,设 y > 0. 于是 ,原方程等价于 x x +1 2 ( 1 + 2 ) = ( y - 1) ( y + 1) . 从而 , y - 1 和 y + 1 为偶数 , 其中恰有一个被 4
x- 1 x 整除 . 因此 , x ≥ 3 , 有一个因式被 2 整除 , 不被 2 整除 . 所以 , y = 2 x - 1 m + ε,其中 m 为奇数 ,ε= ± 1.

代入原方程有 x x +1 x- 1 )2 - 1 2 ( 1 + 2 ) = (2 m +ε 2x - 2 2 x ε, =2 m +2 m x +1 x- 2 2 ε 即  1+2 =2 m + m . x- 2 ( m2 - 8) . 从而 ,1 - ε m =2 当 ε= 1 时 , 有 m2 - 8 ≤ 0 , 即 m = 1 , 上式不成 立.

如果在两式中取加号 ,即 α- b = β- a ,α- a = β- b , 由此得到 a - b = b - a ,与 a ≠b 矛盾 . 所以 ,至少有一个等式取负号 . 由此得到 α+ β= a + b ,即 ) = 0. a + b - α- P (α 设 c = a + b ,我们已经证明了 Q 的每个不等于 http://www.cnki.net

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a 和 b 的整数不动点 ,都是多项式 F ( x ) = c - x - P ( x)

中 等 数 学 这里 [ M ] 表示区域 M 的面积 . 设 AA′ 、 BB′ 交于点 Q , 不失一般性 , 假定 QB ≥ QB′ . 则有 [ ABA′ ] = [ ABQ ] + [ QBA′ ] ≥[ ABQ ] + [ QA′ B′ ]
S = [ △b ] + [ △b′] ≥ . n

的根 . 对于 a 和 b 同样成立 . 由于多项式 F ( x ) 与 P ( x ) 有相同的次数 , 即为 n 次多项式 ,从而 ,至多有 n 个不同的整数根 . 6. 先证明一个引理 . 引理 : 对每个面积为 S 的凸 2 n 边形 , 存在一个 由它的边和顶点 联 结 成 的 三 角 形 , 其 面 积 不 小 于
S . n

现在证明原题 . 假设凸多边形 P 的面积为 S ,有 m 条边 a1 , a2 , …, am . 设 S i 为 P 中具有边 ai 的最大三角形的面积 . 如果结论不成立 ,则有
m i =1

引理的证明 :2 n 边形的主对角线是指将 2 n 边 形分割成两个 n + 1 边形的对角线 . 对 2 n 边形的任 意边 b , △b 表示 △ABQ ,其中 A 、 B 是 b 的端点 , Q 是 主对角线 AA′ 、 BB′ 的交点 . 下面证明在所有的边上取的 △b 的并覆盖整个 多边形 . 为此 ,选取任意边 AB , 将主对角线 AA′ 设为有 向线段 . 令 X 是多边形中的任意点 , 且不在任意主 对角线上 . 不妨假定 X 在射线 AA′ 的左边 . 考虑主对 角线列 AA′ , BB′ , CC′ , …,其中 A , B , C , … 为相继的 顶点 ,且位于 AA′ 的右边 . 在这个排列中第 n + 1 项为对角线 A′ A ,点 X 在 它的右边 ,于是 ,在 A′ 之前 ,排列 A , B , C , … 中存在 两个相继的顶点 K 、 L ,使得 X 在 KK′ 的左边 ,在 LL′ 的右边 ,从而 ,推出 X 在 △l′ 内 , l′ = K′ L′ . 对位于 AA′ 右边的点 X 可以类似讨论 ( 在主对 角线上的点可以忽略不予考虑 ) . 所以 , 所有 △b 的 并覆盖整个多边形 ,它们的面积之和不小于 S . 因此 , 可 以 找 到 两 个 相 对 的 边 , 如 b = AB 和 ( AA′ b′ = A′ B′ 、 BB′ 为主对角线) ,使得
S [ △b ] + [ △b′] ≥ , n

∑S

Si

< 2.
m

于是 , 存在有理数 q1 , q2 , …, qm , 满足
2 ,对每个 i , qi >
Si . S

i =1

∑q

i

=

令 n 是 m 个分式 q1 , q2 , …, qm 的公分母 , 令
qi = ki . 于是 , n

∑k

i

= 2 n.

将 P 的每条边 ai 分成 k i 个相等的部分 ,得到一
) ,对于它 个面积为 S 的凸 2 n 边形 ( 某些角具有 180° 应用引理 ,存在由边 b 和顶点 H 联结成的三角形 T ,

其面积 [ T ] ≥ . 如果 b 是 P 的边 ai 的一部分 , 那么 , 具有底 ai 以及顶点 H 的三角形 W 有面积
S [ W ] = ki ? [ T ] ≥k i ? = qi S > S i . n

S n

与 S i 的定义矛盾 . 因此 ,所证结论成立 .
( 李胜宏   提供)

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