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2013年北京市丰台区高三二模数学文科含答案[1]


北京市丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(文科) 第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 复数 i (3 ? 4i ) 的虚部为 (A)3 (B) 3i (C)4 (D) 4i

2. 若 a∈R,则“a=1”是“

|a|=1”的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

3. 设向量 a=(4,x),b=(2,-1),且 a?b,则 x 的值是 (A)8 4. 双曲线 (B)?8 (C)2 (D) -2

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2 3
(B)

(A)

13 2

13 3

(C)

10 2

(D)

10 3
对称的是

5. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3
(C) y ? sin(2 x ? ) 3

x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3
(D) y ? sin(2 x ? ) 3

?

?

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为 (A)24 (C)28 7. 在 平 面 区 域 ? (B) 20+4 2 (D)24+ 4 2

?0 ? x ? 2, 内 任 取 一 点 P ( x, y ) , 若 ?0 ? y ? 2
8

( x, y ) 满足 x ? y ? b 的概率大于 1 ,则 b 的取值范
围是

1

(A) (??,1)

(B) (0,1)

(C) (1, 4)

(D) (1, ??)

8. 已知偶函数 f(x) (x∈R) 当 x ? (?2, 0] 时, , f(x)=-x(2+x), x ?[2, ??) 时, 当 f(x)=(x-2)(a-x) ( a ? R ). 关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=2,m=0 时,直线 l 与图象 G 恰有 3 个公共点; ② 当 a=3,m=

1 时,直线 l 与图象 G 恰有 6 个公共点; 4

③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) , 使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点, 且相邻点之间的距离相 等. 其中正确命题的序号是 (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 过点 P(0, 2) 且与直线 2 x ? y ? 0 平行的直线方程为 .

(0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) , 10. 已知变量 x, y 具有线性相关关系, 测得 ( x, y ) 的一组数据如下:

? 其回归方程为 y ? 1.4 x ? a ,则 a 的值等于

.

11. 等差数列{an}中,a3=5,a5=3,则该数列的前 10 项和 S10 的值是_______. 12. 若 tan(?

? x) ? 2 ,则 tan 2 x 的值是
x

.

13. 若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在[-2,1]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m 的值 是____. 14. 已知直线 x=2,x=4 与函数 y ? log 2 x 的图象交于 A,B 两点,与函数 y ? log 4 x 的图象交 于 C,D 两点,则直线 AB,CD 的交点坐标是_________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.

2

15. 本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

16.(本小题 13 分)高三某班 20 名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二 组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图). (Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过 180cm 的五位同学中随机选出两位同学参 加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.
第一组 第二组

15 9 8 8 16 5 5 1 1 0 17 2 1 18

9 69 2347 235

17. (本小题 13 分)如图,多面体 EDABC 中,AC,BC,CE 两

1 两垂直,AD//CE, ED ? DC , AD ? CE ,M 为 BE 中点. 2
(Ⅰ)求证:DM//平面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD.

18. (本小题 13 分)已知函数

f ( x) ? a ln x ? (a ? 1) x ?

1 2 x (a ? 0) . 2

(Ⅰ)若直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性.

19. 本小题 14 分) ( 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1, 其短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4
1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m, (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标;

(Ⅲ)证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关.

3

20. (本小题 14 分)已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列 ?bn ? 中,

b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ?x x ? an , n ? N *?, B ? ?x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,把集合
U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?cn ? 的前 50 项和 S50 ; (Ⅲ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,写出数列 ?dn ? 的通项公 式,并说明理由.

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二)
4

数学(文科)
一、选择题选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2x-y+2=0; 10.0.9; 11.25; 12.

4 ; 3

13.

1 1 或 ; 14. (0,0). 16 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. 本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S. 解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

……………………….2 分 ……………………….4 分 …………………….6 分

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.
2 2 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2
…………………….13 分

16.(本小题 13 分)高三某班 20 名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二 组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图). (Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过 180cm 的五位同学中随机选出两位同学参 加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率. 解: (Ⅰ)
第一组 第二组

15 9 8 8 16 5 5 1 1 0 17 2 1 18

9 69 2347 235

x1 ?

1 (168 ? 168 ? 169 ? 170 ? 171 ? 171 ?175 ?175 ?181 ?182) ? 173 cm , 10
………………………….3 分

S12 ?

1 ? 2 2 2 2 ?168 ? 173? ? ?168 ? 173? ? ?169 ? 1732 ? ? ... ? ?181 ? 173? ? ?182 ? 173? ? ? 23.6cm2 ; ? 10 ?
5

………………………….6 分 答: 第一组学生身高的平均值为 173cm,方差为 23.6 cm 。 (Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件 A, ………………………….7 分
2

身高在 180 以上的学生别记为 a,b,c,d,e,其中 a,b 属于第一组,c,d,e 属于第二组。 从五位同学中随机选出两位的结果是如下 10 种: (a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e). 其中两位同学在同一小组的 4 种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . ……….11 分

? P( A) ?

4 2 ? . 10 5
2 . 5
………………………….13 分

答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为

17. (本小题 13 分) 如图, 多面体 EDABC 中, AC, BC, 两两垂直, CE AD//CE,ED ? DC ,

1 AD ? CE ,M 为 BE 中点. 2
(Ⅰ)求证:DM//平面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD. 解: (Ⅰ)设 N 为 BC 中点,连结 MN,AN,

? M 为 BE 中点,
1 ? MN//EC,且 MN= EC, 2 1 ? AD//EC,且 AD= EC, 2

? 四边形 ANMD 为平行四边形, ? AN //DM

……………………….3 分

? DM ? 平面 ABC,AN ? 平面 ABC, ? DM//平面 ABC;
……………………….6 分

(Ⅱ)? BC ? AC, BC ? CE , AC ? CE ? C ,? BC ? 平面 ACED,

? DE ? 平面 ACED,? BC ? DE,
∵DE ? DC, 又? DE ? BC, BC ? DC ? C ,? DE ? 平面 BCD.

……………………….9 分

……………………….12 分 ……………………….13 分

? DE ? 平面 BDE,? 平面 BDE ? 平面 BCD.

6

19. (本小题 13 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? (a ? 1) x ?

1 2 x (a ? 0) . 2

(Ⅰ)若直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性. 解: (Ⅰ)∵P(2,0)在函数 f(x)的图象上,?f(2)=0 ? a ln 2 ? 2(a ? 1) ? 2 ? 0 ,即 (ln 2 ? 2)a ? 0, ,

? ln 2 ? 2 ? 0,? a ? 0 .
?f(x)=

……………………….2 分

1 2 x ? x ,? f ?( x) ? x ? 1 , 2
……………………….4 分 ……………………….5 分 ……………………….6 分 ………………………7 分

? f ?(2) ? 1 , ?直线 l 的方程为 y=x-2,即 x-y-2=0 . (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,

f ?( x) ?

a ( x ? 1)( x ? a) , ? (a ? 1) ? x ? x x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1, 或x ? a , ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,当且仅当 x=1 时, f ?( x) ? 0 , ; ? f ( x) 的单调递增区间是(0,+?) ②当 a=0 时,, f ?( x) ? 0 ? x ? 1, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 , , ;……9 分 ? f ( x) 的单调递增区间是(1,+?) f ( x) 的单调递减区间是(0,1) ③当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a,或x ? 1 , f ?( x) ? 0 ? a ? x ? 1, , ; ? f ( x) 的单调递增区间是(0,a)和(1,+?) f ( x) 的单调递减区间是(a,1) ………………………11 分 ………………………8 分

,或x ? a , f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? a , ④当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1
, ? f ( x) 的单调递增区间是(0,1)和(a,+?) f ( x) 的单调递减区间是(1,a).

19. 本小题 14 分) ( 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1, 其短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4

7

分别与椭圆 C 交于 E,F 两点, 其中点 M (m, 足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标;

1 ) 满 2

(Ⅲ)证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. 解 : ( Ⅰ ) 依 题 意 知

a ? 2 , c ? 3 ,?e ? 3 ;
2

………… 3 分

(Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2

………………………4 分

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m
……………6 分

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x2 2 ? 4 ? y ? 1, 由? 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

? x ? 0, x ?

2 4m ? ? , ? E ? 4m , m 2 ? 1 ? , 2 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ?

………………………8 分

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

2 12m , ? F ? 12m , 9 ? m ? ; 2 ? 2 ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

………………………10 分

(Ⅲ)据已知, m ? 0, m ? 3 ,
2

m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ? 直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

…………………12 分

? 直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ?? ?x? 2 ?, m2 ? 1 4m ? m ?1 ?

………………13 分 ………………14 分

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关.

20. (本小题 14 分)已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列 ?bn ? 中,
8

b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ?x x ? an , n ? N *?, B ? ?x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,把集合
U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?cn ? 的前 50 项和 S50 ; (Ⅲ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,写出数列 ?dn ? 的通项公 式,并说明理由. 解: (Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1,

………………………3 分

(Ⅱ) 根据数列{an}和数列 ?bn ? 的增长速度, 数列 ?cn ? 的前 50 项至多在数列{an}中选 50 项, 数列{an}的前 50 项所构成的集合为{1,4,7,10,?,148},由 2n-1<148 得,n≤8,数列{bn} 的前 8 项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中 1,4,16,64 是等差数列{an} 中的项,2,8,32,128 不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前 50 项应包含 数列{an}的前 46 项和数列{bn}中的 2,8,32,128 这 4 项. 所以 S50= …………………6 分 ………………………8 分

46(a1 ? a46 ) ? 2 ? 8 ? 32 ? 128 =3321; 2

(Ⅲ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =22n-1. ?9 分

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? ) ????????11 分
证明如下:

? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
若 ? m∈N*,使 b2n-1=3m-2, 那么 b2n+1=3m-2+3× n-1=3(m+4n-1)-2, 4 所以, b2n-1∈A, b2n+1∈A. 若 则 因为 b1∈A,重复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ) 。 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2× n-2× n-1=3× 4n-1,即 b2n+2=b2n+3× 4n-1, 4 4 2× 2× 因为 “3×2×4n-1” 数 列 ?an ? 的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 即得 b2n ? A,? dn =22n-1; ???????????????14 分

9

10


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