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应该重视数学概念的教学




中 学 数 学 教学 参 考

洲 年第

」 。



9

福 建 省 闽 清 第 三 中学
管理 心 理 学 认 为 正 确 合理 的 日 标 方 向 是 激 发
人 们 积 极 性 提 高 工 作 效 率 的 最 基 本 最

重 要 的 因 素之


黄孙 仁
.

:







+ 有一组邻边相等
,



为 了使 学 生 能 明 确 被 定 义 的 概 念 就 得 先 做 到 心
,

一 过 去的 寸 间 吸 数 学 教学 的 目 标 方 向 是 为 了 追 求
,





中有 数 准 确 地 找 到 与其 最 邻 近 的种 概 念 及 其 属 差 抓
,

升学 率 不 惜 放 松 占 大 多 数 的 中 差 生 全 副 精 力 投 向尖
,

,

子 生 上 课 始 终 围绕 例题 讲述 采 取 零 售 数 学 知 识 的
.

,





住 概 念 的 本 质 特 征 把 握 定 义 中的 关键字句 弄清 概 念 间 的 区 别 和 它 们 的 内在 联 系 掌 握 概 念 的 内 涵 加 深 理
,

,

,

,

办 法 把 数 学 的 概 念 当 作 尾 巴 来 处 理 不 重 视概 念 的
,





.

教 学 课 后 布 置 方 方面 而 的 各 种 题 型 采 取 题 海 战 术
,

,

,

解 概 念 的 外 延 因 此 在 平 时 的 教学 中应 特 别 注 意 把 不 同 的 概 念 联 系 在 一 起 进 行 对 比 并从 不 同侧 面加 深 对
, ,

.

,

老 师 整 天忙 忙 碌 碌 钻 在 题 库 里 学 生 昏头 昏脑 埋 到 解 , 题 扣 结 果 中 氰考 试 卷 巾 有练 习 过 的题 吃 得 消 稍有
;
,
, ,


概 念 的理 解 使 它 系 统 化 否 则 会 造 成 学 生 对 概 念 理 解
, ,

,

模糊 而 导 致 错 误 运 用
,


.

更换 形 式 的 习 题 就 呆 住 厂 数 学 习 题 是 干 变 万 化 的 那

.

,

能遇 上
,



丝 不变 的 题 日? 事 实 证 明 只 要 求 学 生 解 习
、 ,

:

题 而不 给 学 生 讲 透 数 学 概 念 实 质 问 题 等 于 只 交 给 学 生对 号 开锁 的 把 钥 匙 而 不 是 给 学 生 解 剖 锁 的 结
,

二 明 确概 念 的 层 次 性 一 般 的 概 念 都 是 通 过 对 实 验 现 象或 某 些 具体 的 例 事 分析 经 过 抽 象 概 括 而 导 出 的 它 有 一 个 形 成 的过
,

,

,

程 中学 数 学 教 材 中的 概 念 是 从 几 个 原始 的 概 念 和 公
,

.

构原 理 交 给 学 生
,



把 万能 t J 匙 学 生是 很 难 找 到 窍 门 l
,
.

理 出没 通 过 一 番 推 理 而 扩 展 成 为一 系 列 的 定 义 和 定
,



.

数 学 知 识 都是 以 概 念 为基 础 的 要 使 学 生 获 得 系

统 的 数学 知 识 首先 必 须 获得 清 晰 明 确 的 数 学 概念 现
,

.

理 而 每 一 个 新 出 现 的概 念 都 依 赖 着 旧 有 的 概 念 来表 达 或 是 由旧 概 念 推导 出来 的 例 如 直 线方程 的各 种 形 式 都 是从 斜率 公 式推 导 出 来 的 而 斜 率 又 依 赖 于
;
,
.

,

,





就 本 人 从 教 中 学 数学 的 实 践 谈 谈 在 概 念教 学 中 的几 点 见解
.



” “ ” “ ” “ 正 切 函 数 来表 达 正 切 函 数 又 是 以 任 意 角 平 ” ” ” “ ” 面 直 角坐 标 系 比 对应 函数 等作为预 备概 念
,











一 理解概 念 的 逻 辑性 ” 数学 概 念 可分 为 两 个 重 要 方 面 一 是 概 念 的 质
: “ “



的 如 果 对 以 上 某 下 预 备概 念 不 理 解 或 一 知 半解 建立
,

·

,

; 也 就 是 概 念 的 内涵 ( 概 念 的本 质 属性 ) 二 是 概 念的

新的 概 念 就有 一 定 的 困 难 针 对 概 念 形 成 的 阶段性 发 展 性 和 连 贯性 教 学 中


·

,





`

,

也就 是 概 念 的 外 延 ( 概 念 的所 有 对 象 的和 ) 假如


.

务 必 注 意 在学 生对 某 些 预 备 概 念 模 糊 不 清 的情 况 下
,
,


:

,

把 一 个 概 念 当 作 个 集 含 那 么 概 念 的 内潘 就 是 这 个 集 合 里 的 元 素 的 所有 共 同 属 甲 } 的 总 和 而概 念的外 延
,

,

千 万 不 要 急 干 引 入 新 概 念 应 先 复 习 涉 及 新 概 念 的有

则 是这 个 集 合 中 所 有 元 素的 全 体 内 涵 和 外 延 是 不 可

.

分 隔 开 的 两 部 分 揭 示 概 念 的 内涵 不 能 不 涉 及 概 念 的 外 延 概 念 的 外 延还 有 大 小之 分 外 延 大 的 概 念 叫做 种
.

.

关 预 备概 念 尤 其 是 重 要 的 关 键性 的 预 备 概 念 要 反 复 强 调 求得 较 彻 底 的 理 解 如 上 述 的 正 切 函 数 定 义 两 条 线 段 的 比 是 关键性的 预 备 知识 学 生 真 正 理
, ,
.





,





,

,

解 了 比 的 概 念 就 能 正 确地 以 倾斜 角 斜 率 为 起 点 来





,



属 概 念 在 实 数 和 有理 数 这 两 个 概 概 念 外 延 小 的 则 1月 念 中 实 数 是 种 概 念 而有 理 数 只 能 是 属 概 念 了 种概
,

.

,

,

.

研 究 直线 的 方 程 不 至 于 出 现
( 斜率 一 倾 斜 角 )


,

k

t 一g

0 3





念 与属 概 念 也 不 是 绝 对 的 有 理 数对 实 数 来说是 属 概
,

念 有理 数 对 整 数 来 说 它 又 是 种 概 念 了
;
,

能 有 许 多 的 属 概念

个 属 概 念 与其 它 的 属 概 念 本质 ” 上 的 差 别 又 称 为 属 差 如 无理 数 以 无 限 不 循 环 小 数
,

.



一个概 念

,




的错 误 三 掌握 概 念 的 抽象 性
, 、


.





_ 3。





这 一 特 性与 有 理 数 区 别 开 来 那 么 这
,
,

之 间 的属 差 要 想 给 某 一
,

.

特性 就是 它 们 个概 念 「 定 义 首 先 应 该 给学
,
.
.



中学 数 学 教 材 中的 许 多 原 始 概 念 加 点 线 面 体 数 常数 变 数 等 都 是 由具 体 的 事 物观 察而 抽 象 出 来 的 人 们 长 期 观 察 了 月 亮 太 阳 光 线 水 面 等具体事
,
.











生 指 出被 定 义 的概 念 最 接 近 的 概 念 是 什 么 再紧接 着 指 出 被 定 义概 念 的 属 差 即 概 念 定 义 一 种 概 念 + 属 差

” 平 面 等 带 有共 性 物 逐 步 形 成 了 有关 圆 直线 的 本 质 的 概 念 这 是 从 对 具 体 的 数 和 形 的感 知 而 形 成 的 表象 再 从 表 象 经 过 抽象 概括 而 形 成 的 正 方 形 的
,

















.

,



.

如 为 了定 义 菱形 我 们 可 先 利 用 平行 四 边 形 这 一学
,

:





面积
,

S
a

和它 的边长
0




: 之 间的关 系是 凡
,

, 形

二“


2 ,

边长



过 的概 念


,



平 行 四 边 形 是 菱 形 最 接 近 的 种 概 念 它规
,
.



可在 >

的 范 围 内 任 意 选取 对 于
, ,



的裸
.

个确定的
,

定 了 菱 形 所 属 的 类 别 但 菱形 不 是 一 般 的 平 行 四 边 行


,

它 以 有 一 组 邻 边 相 等 这 一 特性 与平 行 四 边 形 的 另一
,

属概 念 一 矩 形 区 别 开 所 以 得 到 菱 形 ~ 平 行 四 边 形
.

:

值 其 面 积 都 有 唯 一 确 定 的值 与 它 对 应 若 抛 开 这 个 个 性 的 关 系 抽 出 共 性 的 东 西 片加 以 概 括 就 可 以 得 到 函 数 的 定 义 设 在 变 化过 程 中 有两 个 变 量 和 梦
: “



,

中学数 学 教学参考



年 第 功一




藻 绷耀惑缪

,

沈识是 形 成概 念的基础 卜 如 果 学生 没感 性认识 或感 性 以 识 下怎 么 完 备 时 我 们 就 应 该 借 助 于实 物 模 型 教



氛 … 淤 黑缴黑粉
) (忿 〔伽+ 1
(
x Z




夕 诬

千玉 矜匆 滚
,
.

即 也即

(护 十 5 公 + 4 )

(尹十 s x + 6 ) 十 1一 0
x Z

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图 形 或 形 象的 语 言进 行 较 内 现 的 教 学 使 学 生 从 中
_

,

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二 ,

x

) + 10 (



+ s ) + 2 5一 0
x





得感 . j 认 识 对 于 一 些 概 念 ( 属概 念 ) 可 以 直接从 已 r
, , , ,


·

知 的 概 念 ( 种 概 念 ) 中 引 入 不 必 再 经 过 取 得 感 性认 识

解得
2
.

` 一 5+ 了 2 一 二 一 一一花犷一 一



一 5一
,

丫东



刃书

一厂 一

`

~

一 丁一一
2

的 阶 段 如 有 理 数 的 概 念 就 可 以 直接 从 整 数 分 数 引



运用 换元 法
,

:

由① 设
四 抓 住 概 念 的 扩 缩性


梦一 护

十 5丫 + 4

,

或设

即一 ;

+ 乳 + 6 可解
,

概 念 的 内 涵 和 外 延 还 存在 着 反 变 的 相 依 关 系 内涵 越 多 外 延 就越 小 内涵 越 少 外 延 就 越 大 四 边 形
,





,

.

,

.

采 用 均 值 代换 法 一 设
3

.

:

是 个 大 概 念 平 行 四 边 形 是 个 小 概 念 正 方 形 是 个更 小
,

,

! r s l

丝号坦


,

则原 方
1
( 夕十
n


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3


I



的 溉 念 但 正方 形 的 四 边 相 等 四 角 相 等 对 角 线 相 等

.





切一 万
。 ,

3

) 仁 犷一

万 八 夕十 万 )
5红
2


l

,

丁)十

且 互 相 垂 直 平 分 的 共 同 属 性 就 比 四 边 形 的奖 同 属 性 四 条 边 四 个 角 来得 多 代 数 中的 各数 顺 序 出 现 是 一 个 概 念 外 延 扩 大 的 过
,

.

三 汽三3笑 之声主






,


1

_

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廿







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`

二衍 初 今

U

,

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川 J ` 勺 用降 洲 之

.

4

.

利 用 待 定 系 数解 法
1 ) (: 十 2 )
,



:

x + 设(
(护 +
`二

x + 3 ) (x 十 钓 干 (

] 一

x + 、 + j, ( )

2

l上

整 数 零 负 榷数





正 分数 负分数



+ d )

则有
`
·

— — - —
整数

`





分数 一 一


~





x 刁

? 十 1 0二 , 土 3 5 x + 5 0 , + 2 5

一尸 + (a +

)尸+

( 解+ h + d ) 尸+
汪一

(砚 十 脚 ) 、 + 献
,

.

,

有理 — 数
~

无理 数

因此




十 一 1 0




,

c a

午 b+
,

5 3

,

。 c

+ 醒一 5 0
,

脚一

5 2

.

,



— 实数 虚数 一 一 Y一 一一 复数



-



一一

可知 十 一


所以



~ 乙一 。 一 d 一 5
.

在 平 而 ’ U 可中四 边 形 的 顺 序 出 是一 个 概 念 外 延 粤
收 躬 的过 程

5

5 2 进而 可 解之 利 用 根 与 系 数 的关 系
: `:
.

, , 10 b十 d 一 1。 ` 一

从一
.

.

5 2



一 ( +
,

:

l) (



+ j )
,

,

乙一

, : 一 行丰 2 ) ( + 3 ) 则 原方

程为
梦+

的 一 1

a

+

6

一一 2








b

为根 可得新方 程
,

,

2夕十 1 一 0

.

所以
1) (

.

一 b一 一 1

.

根据 ( +
:

+ 4 ) - 一 1 一 (二 + 2 ) ( x + 3 ) - 一 1

,

易 求 出 原 方程 的 根

利 用 方程
的 情 况 }:
,

,

+

兰 一 。 + 牛的 根 的结 论 在 " 方 l 一
(· )十正

,

勿笋 。

y

,

: 一 b , ,

卿 分应 丛


原 方程 可变 即

加川
。?
-

+ 4

方挤不可一
一“
· .



,

沙+ 2
,

) 一 }

狼、

,〕

干丽 坛 众

干万

,

v

以 仁 例 子 反 映 出数学 概 念
.

整理 得
层 ` 千2 ) ( + 3 ) 十





的 逻 辑 系 统性 我 们 在 教 学 中


,

必 须遵 循从 简到 繁 从 部分到

男一 一 一 2 一 l + 李 一 又
g 州一
,

乙 ) L“

~

十 j )

l

所以
G

整 体 的 认 识规 律 沿 着 概 念 的
,

,

收 扩 过 程 把 知 识 系统 化 弄 清 他 们 种 属 之 间 的 关 系
加 深 巩 }辞 对 概 念 的理 解

.

,

进 而 可解 之 又 如 初 中平 面 几 何 中 证 明△ A彤 的 垂 心 H 重 心 和外 心 口 在 一 条 直 线 卜时 经 分 析 也 有 多 种 思 路 可
1
,


(二 + 2 ) (二 十 3 ) =

.

,

.



.

五 反 复 运 用 熟能生 巧


个 新的 概 念 建 立 之 后 关 键 在 于 巩 固 要 想 使 所
,
,


.

“ 从 三 点 连 线组 成 平 角 入 手 也 可 从 三 角形 重 心 的唯 一 性 入 手 证 肋 与 中线 B E 的 交 点与重 心 G 重 合 还 可 以 采 用 解 析 法 证 明 选 择 适 当 的坐 标 系 分 别 求 出

,





,

,

,

,

学 到 的新 概 念 保 持 记 忆 j 要 的 手段 就 是 要 反 复应 用
,
,
.

G



H



o

的 坐 标 而 依 三 点共 线 的条件进行 推 证
,
,
,

.

不 断 实践 使 用 旧 概念 建 立 新 概 念 把 概 念 作 为 到 断 的 工 具 来 使 用 通 过 训 练 使 应 用 概 念 成 为学 生 的技 能 技 巧 转 化 为学 生 的 心 理 品 质 解 起 题 来才 能 得 心 应
, ,
.

在 解 题 过 程中 要 善 于 运 用 有 关 的 概 念 组 成 恰 当



的 判 断 进 行 逻 辑 推 理 不 断 地 加深 对 概 念 的 理 解 和 掌 握 这 样 解 题 能 力 才 能逐 渐 得 以 提 高
,
,
.


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