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江苏省宿迁市2013-2014学年高一上学期第二次月考数学试题


高一数学试题
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.设集合 A ? ?1, 2, 4? , B ? ?2, 6? ,则 A ? B ? 2.计算: 4
? 1 2



? (lg5 ? lg 20) 的值为

. .

3.函数 y ? lg x ? 1 ? x 的定义域为 4.已知 ? ? (? ,

3? ) , tan ? ? 2 ,则 cos? =________. 2


5.已知函数 f ( x) 满足 f (ln x) ? x ,则 f (1) ?

?1 ? 2 x( x<0) 6.设 ( x) ? ? x ,则使 f ( x) ? 3 成立的 x 值为 ?2 ? 1( x ? 0)
7..若角 ? 的终边与 2400 角的终边相同,则 8.已知幂函数 f ( x) ? x 的图像过点 (2,
0.8

.
象限. .

? 的终边在第 2

?

2 ) ,则 f (4) ? 2

9.设 a ? log 5 8, b ? log 2 5, c ? 0.3 ,将 a, b, c 这三个数按从小到大的顺序排列 (用“ ? ”连接) . 10.若函数 f ( x) ? kx ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是
2
x

.

11.函数 y ? 2 ? log 0 ?5 ( x ? 1) 在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为_________. 12.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) ,若 f (x) 的定义域和值域均是 ?1,
2

a? ,则实数

a=

.

?3x ? 3, x ? 1 1 ? 13.已知函数 f ( x) ? ?log x, 0 ? x ? 1 ,则满足不等式 f (m) ? f ( ) 的实数 m 的取值范围 9 ? 1 ? 3
为 .

a2 14.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? ?7 , 若 x
f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________. ..

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.15~16 每小题 14 分,17~18 每小题 15 分,19~20 每小题 16 分,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知集合 M ? {0,1} , A ? {( x, y) | x ? M , y ? M } , B ? {( x, y) | y ? ? x ? 1} . (1)请用列举法表示集合 A ; (2)求 A ? B ,并写出集合 A ? B 的所有子集.

16. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f (x) 的图像; (2)根据函数 f (x) 的图像回答下列问题: ① 求函数 f (x) 的单调区间; ② 求函数 f (x) 的值域; ③ 求关于 x 的方程 f ( x) ? 2 在区间 [0, 2] 上解的个数. (回答上述 3 个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤) ..........................

17. (本题满分 15 分)

3 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) cos(?? ? ? ) 2 . 已知 f (? ) ? ? cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 (1)化简 f (? ) ; 3 1 (2)若 ? 为第三象限角,且 cos(? ? ? ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5 31 (3)若 ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值. 3

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? m ?

2 5 ?1
x

(1)用定义证明 f (x) 在 R 上单调递增; (2)若 f (x) 是 R 上的奇函数,求 m 的值; (3)若 f (x) 的值域为 D,且 D ? [?3,1] ,求 m 的取值范围

19. (本题满分 16 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆 /每小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

20. (本题满分 16 分) 对于函数 f ( x) ,若存在实数对( a, b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的

每一个 x 都成立,则称函数 f ( x) 是“( a, b )型函数”. (1) 判断函数 f1 ( x) ? x 是否为 “( a, b )型函数” ,并说明理由; (2) 若函数 f 2 ( x) ? 4 是“( a, b )型函数”,求出满足条件的一组实数对 (a, b) ;
x

(3) 已 知 函 数 g ( x) 是 “ ( a, b ) 型 函 数 ” , 对 应 的 实 数 对 (a, b) 为 (1,4). 当 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) ,若当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x ) ? 4 ,试求 m 的取值范
2

围.

命题教师:青华中学 王万军 审稿教师:青华中学 仲 波

宿迁市 2013-2014 学年度第一学期第二次月考考试题

高一(年级)数学参考答案
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1. {1, 2, 4,6} 2.

1 4

3. (0,1] 10.? ??, 0 ?

5 4. - 5 11.4 12. 2

5. e

6.-1 或 2
1 9

7. 二或四 14. a ? ?

8.

1 2

9.c ? a ? b

13.[ , log3 5]

8 7

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.15~16 每小题 14 分,1,7~18 每小题 15 分,19~20 每小题 16 分,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (1) A ? {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} , ………………………………………………5 分

(2)集合 A 中元素 (0,0),(1,1) ? B 且 (0,1),(1,0) ? B , 所以 A ? B ? {(1,0),(0,1)} ………………………………………………10 分 ……14 分

集合 A ? B 的所有子集为: ? , {(1,0)} , {(0,1)} , {(1,0),(0,1)}

16. (1)作图要规范:每条线上必须标明至少两个点的坐标,不在坐标轴上的点要用虚线标 明对应的坐标值(教科书第 28 页例题的要求) (有一条直线没有标明点的坐标扣 1 分, ... 两条都没标扣 2 分) …5 分 ... (2)①函数 f (x) 的单调递增区间为 [1, ??) ;……7 分 函数 f (x) 的单调递减区间为 (??,1] ;……9 分 ②函数 f (x) 的值域为 [0, ??) …………11 分

③ 方 程 f ( x ) ? 2在 区 间 [0, 2] 上 解 的 个 数 为 1 个 …………14 分

sinαcosα?-sinα? 17.解: (1)f(α)= =-cosα. sinα· sinα 3 1 1 (2)∵cos?α-2π?=-sinα= ,∴sinα=- . ? ? 5 5 2 6 又∵α 为第三象限角,∴cosα=- 1-sin2α=- , 5 2 6 ∴f(α)= . 5 31 5 (3)∵- π=-6×2π+ π, 3 3 31 31 5 ∴f?- 3 π?=-cos?- 3 π?=-cos?-6×2π+3π? ? ? ? ? ? ? 5 π 1 =-cos π=-cos =- . 3 3 2 18(1)解: 设 x1 ? x 2 且 x1 , x2 ? R 则 ??????1 分

2 2 2(5 x1 ? 5 x2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? m ? x1 ? ( m ? x2 ) ? x1 5 ?1 5 ?1 5 ? 1 5 x2 ? 1

?

??

?

??????3 分

? x1 ? x2 ? 5 x1 ? 1 ? 0,5 x2 ? 1 ? 0,5 x1 ? 5 x2 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ???6 分

?5 分

? f (x) 在 R 上单调递增
(2)? f (x) 是 R 上的奇函数 即 2m ? (

? f ( x) ? f (? x) ? m ?

2 2 ? m ? ?x ? 08 分 5 ?1 5 ?1
x

2 2 ? 5x ? x ) ? 0 ? 2m ? 2 ? 0 5x ? 1 5 ? 1

?m ? 1
(用 f (0) ? 0 得 m ? 1 必须检验,不检验扣 2 分) (3) 由 5 x ? 0 ? 0 ?

???? 10 分

2 2 ? 2? m?2? m? x ?m 5 ?1 5 ?1
x

D ? (m ? 2, m)

??????12 分

? D ? ?? 3,1?
?m ? 2 ? ?3 ?? ? ?1 ? m ? 1 ? m ?1

?m 的取值范围是 ?? 1,1?

???15 分

19.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? 再由已知得 ? 20a ? b ? 60, 200 ? ?b ? . ? 3 ? 0 ? x ? 20, ?60, v ( x ) 的表达式为 v( x) ? ? 1 故函数 ? ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? 当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? x(200 ? x) ? [ ] ? 3 3 2 3 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 所以,当 x ? 100时, f ( x) 在区间[20,200]上取得最大值 10000 . . 3 10000 综上,当 x ? 100 时, f ( x) 在区间[0,200]上取得最大值 ? 3333 3
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 解: (1)

f1 ( x) ? x 不 是 “ ( a, b ) 型 函 数 ” 因 为 不 存 在 实 数 对 (a, b) 使 得 ,

( a ? x) ? ( a ? x) ? , b
即 a ? x ? b 对定义域中的每一个 x 都成立;
2 2

(2) 由 4

a? x

? 4a ? x ? b ,得 16a ? b ,所以存在实数对,

如 a ? 1, b ? 16 ,使得 f1 (a ? x) ? f1 (a ? x) ? b 对任意的 x ? R 都成立; (3) 由 题 意 得 , g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 , 所 以 当 x ? [1, 2 时 , g ( x) ? ]

4 ,其中 g (2 ? x)

,而 2 ? x ? [ 0 , 1] x ? [0,1] 时, g ( x) ? x 2 ? m(1 ? x) ? 1 ? x 2 ? mx ? m ? 1 ,其对称轴方程为

x?

m . 2
① 当

m , g ? 1 , 即 m ? 2 时 , g ( x) 在 [0,1] 上 的 值 域 为 [ g (1), (0)]即 [2, m ? 1] , 则 2 4 4 ?m ? 1 ? 4 的值域为 [2, m ? 1] ? [ , g ( x) 在 [0, 2] 上 , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? ? 4 m ?1 m ?1 ?1 ?
? m ?1

从而 2 ? m ? 3 ; ② 当

m2 1 m m , m ? 1] , ? ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? 4 2 2 2

m2 4 , m ? 1] ? [ , 则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ? 4 m ?1
4 ? ?4 2 ? 得 ? m ?1? m ? 4 ? ? m ?1 ? 4 ?

4 m2 m ?1? 4

] ,则由题意,

? m2 m ?1? ?1 ? ? 4 ③ 且? ,解得 1 ? m ? 2 ; 4 ? ?1 ? m ?1 ?
③ 当0 ?

m2 m 1 m , 2] ,则 ? ,即 0 ? m ? 1 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (1)] ,即 [m ? 1 ? 4 2 2 2

g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ?

m2 , 2] ? [2, 4

4

m m ?1? 4

] ,即 [m ? 1 ? 2

m2 , 4

4 m2 m ?1? 4

] ,则

? m2 m ?1? ?1 ? 4 ? , 4 ? ?4 ? m2 ? m ?1? ? 4

解得 0 ? m ? 1 .

综上所述,所求 m 的取值范围是 0 ? m ? 3 .



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