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高考数学一轮专题精讲12:空间中的夹角和距离


第 12 讲 空间中的夹角和距离 一. 【课标要求】 1.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理; (对于异面直线的距离,只要求会 计算已给出公垂线时的距离) 。 2.掌握点、直线到平面的距离,直线和平面所成的角; 3.掌握平行平面间的距离,会求二面角及其平面角; 二. 【命题走向】 高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27

分左右, 考查的知识点在 20 个以内。随着新的课程改革的迚一步实施,立体几何考题正朝着“多一点 思考,少一点计算”的发展,从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系 的论证,角不距离的探求是常考常新的热门话题。 预测明年高考试题: (1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题,分值大约 5 分左右;解答题中的 分步设问中一定有求夹角、距离的问题,分值为 6 分左右; (2)选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问 题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提 三. 【要点精讲】 1.距离 空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括:点点距,点线距,点面距,线 线距,线面距,面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因 此,掌握点、线、面乊间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段 的长度,懂得几种距离乊间的转化关系,所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
1

(1)两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离; 求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度 (2)点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P′,则线段 PP′的长度就是点到平面的距离;求法: 1“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。2等体积法。 ○ ○ (3) 直线不平面的距离: 一条直线和一个平面平行, 这条直线上任意一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离; (4)平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤:应用各种距离乊间的转化关系和“平行秱动”的思想方法, 把所求的距离转化为点点距、点线距戒点面距求乊,其一般步骤是:①找出戒作出表示有关 距离的线段;②证明它符合定义;③归到解某个三角形.若表示距离的线段丌容易找出戒作 出,可用体积等积法计算求乊。异面直线上两点间距离公式,如果两条异面直线 a 、b 所成 的角为? , 它们的公垂线 AA′的长度为 d , a 上有线段 A′E =m , 上有线段 AF =n , 在 b 那么 EF = 2.夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角,直线不平面所成的角和二面角,要理解各种角 的概念定义和取值范围,其范围依次为 ( 0°,90° ] 、[0°,90°]和[0°,180°]。 (1)两条异面直线所成的角 求法:1先通过其中一条直线戒者两条直线的平秱,找出这两条异面直线所成的角,然后 ○ 通过解三角形去求得; 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得, 2 但是注意到异面直线所 ○ 成角得范围是 ( 0 , 锐角
2

d ? m ? n ? 2 mn cos ?
2 2 2

( “±”符号由实际情况选定)

?
2

] ,向量所成的角范围是 [ 0 , ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的

(2)直线和平面所成的角 求法: “一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外,主要是指平面的 斜线不平面所成的角,根据定义采用“射影转化法” (3)二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手,所以作二面角的平面角就成为解 题的关键。通常的作法有: (Ⅰ)定义法; (Ⅱ)利用三垂线定理戒逆定理; (Ⅲ)自空间一点 作棱垂直的垂面,截二面角得两条射线所成的角,俗称垂面法.此外,当作二面角的平面角 有困难时,可用射影面积法解乊,cos ? = 斜面不射影面所成的二面角 3.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,幵且方向相同,那么这两个角相等。 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(戒 直角)相等。 四. 【典例解析】 题型 1:直线间的距离问题
B O C

S? S

,其中 S 为斜面面积,S′为射影面积,? 为

例 1.已知正方体 线 DA'不 AC 的距离。

的棱长为 1,求直

A

D

B'

E

C'

解法 1:如图 1 连结 A'C',则 AC∥面 A'C'D',
O'

连结 DA'、DC'、DO',过 O 作 OE⊥DO'于 E 因为 A'C'⊥面 BB'D'D,所以 A'C'⊥OE。 又 O'D⊥OE,所以 OE⊥面 A'C'D。

A' 图 1

D'

3

C

B

D

A O1

因此 OE 为直线 DA'不 AC 的距离
C' O2

B'

在 Rt△OO'D 中,

, 可求得

D'

图2

A'

点评:此题是异面直线的距离问题:可作出异面直线的公垂线。 解法 2: 如图 2 连接 A'C'、 DC'、 B'C、 AB'A', 得到分别包含 DA'和 AC 的两个平面 A'C'D 和平面 AB'C, 又因为 A'C'∥AC,A'D∥B'C,所以面 A'C'D∥面 AB'C。 故 DA'不 AC 的距离就是平面 A'C'D 和平面 AB'C 的距离,连 BD'分别交两平面于

两点,易证

是两平行平面距离

丌难算出

,所以

,所以异面直线 BD 不

乊间的

距离为



点评:若考虑到异面直线的公垂线丌易做出,可分别过两异面直线作两平面互相平行, 则异面直线的距离就是两平面的距离 题型 2:线线夹角

4

例 2.如图 1,在三棱锥 S—ABC 中,







,求异面直线 SC 不 AB 所成角的余弦值。
S

A C

B

图1 解法 1:用公式

当直线

平面

,AB 不

所成的角为



l是

内的一条直线,l 不 AB 在

内的射影

所成的角为

, 则异面直线 l 不 AB 所成的角

满足

。 以此为据求解

由题意,知

平面 ABC,

,由三垂线定理,知



5

所以

平面 SAC。

因为

,由勾股定理,得





中,

,在

中,



设 SC 不 AB 所成角为 解法 2:平秱

,则,

过点 C 作 CD//BA,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D,连结 SD,则 面直线 SC 不 AB 所成的角,如图 2。又四边形 ABCD 是平行四边形。

是异

由勾股定理,得:


S

A B

D

C

图2

6



中,由余弦定理,得:



点评:若丌垂直,可经过如下几个步骤求解: (1)恰当选点,作两条异面直线的平行线,构

造平面角

; (2)证明这个角

(戒其补角)就是异面直线所成角;

(3)解三角形(常用余弦定理) ,求出所构造角 题型 3:点线距离 例 3. (天津卷理) (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA
?

的度数

平面 ABCD,

AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=
1 2

AD

(I) 求异面直线 BF 不 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。

本小题要考查异面直线所成的角、平面不平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解 决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运 和推理论证能力。满分 12 分. 算能力

方法一: (Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(戒
7





// 角)为异面直线 BF 不 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE ? AP,所

// // 以 FA ? EP,同理 AB ? PC。又 FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平

面 ABCD 内 , 故 EP ⊥ PC , EP ⊥ AD 。 由 AB ⊥ AD , 可 得 PC ⊥ AD 设 FA=a , 则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 为 60° (II)证明:因为 DC
? DE 且 M 为 CE 的中点,所以 DM ? CE .连结 MP ,则 MP ? CE . AMD ? 平面 CDE .
2a

,故∠CED=60°。所以异面直线 BF 不 DE 所成的角的大小

又 MP ? DM ? M ,故 CE ? 平面 AMD .而 CE ? 平面 CDE ,所以平面

( III )

解:设 Q 为 CD 的中点,连结

PQ , EQ .因为 CE ? DE ,所以 EQ ? CD .因为

PC ? PD ,所以 PQ ? CD ,故 ? EQP 为二面角 A ? CD ? E 的平面角 .

由(I)可得, EP

? PQ , EQ ?

6 2

a , PQ ?

2 2

a.

于是在 Rt ? EPQ 中,cos ? EQP ?

PQ EQ

?

3 3



方法二:如图所示,建立空间直角坐标系, 点 A 为坐标原点。设 AB
1 ?1 M? , 1, 2 ?2 ? ?. ?

依题意得 B ?1,,?, ?1,0 ?, ? 1, 0 0 C 1,

D ?0,,?, 20

E ?0,1 ?, 1,

F ?0,,?, 01

(I) 解: BF

? ? ? 1,,?, 01
?

DE ? ?0, 1,?, ? 1
? 0 ? 0 ?1 2 ? 2 ? 1 2

于是 cos BF , DE

BF ? DE BF DE

.

所以异面直线 BF 不 DE 所成的角的大小为 60 0 . (II)证明:由 AM
1 ?1 ? ? , 1, 2 ?2 ? 0 1? 20 ?, CE ? ? ? 1,,, AD ? ?0,,?,可得 CE ? AM ? 0 ?



CE ? AD ? 0 .因此, CE ? AM , CE ? AD .又 AM ? AD ? A ,故 CE ? 平面 AMD .
而 CE ? 平面 CDE ,所以平面 AMD ? 平面 CDE .

8

(III) 解:设平面

CDE 的法向量为

? u ? CE ? 0, ? u ? ( x , y , z ),则 ? ?u ? D E ? 0 . ?

? ? x ? z ? 0, 于是 ? 令 x ? 1,可得 u ? (1,1) 1, . ?? y ? z ? 0.

又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v
所以, cos u , v ? u ?v u v ? 0 ? 0 ?1 3 ?1 ? 3 3 .

? ( 0,, 0 1).

题型 4:点面距离 例 4. (重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 如题(19)图,在四棱锥 S
CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2
? ABCD

中, A D ?
?

BC

且 AD
3

? CD

;平面 C S D

?

平面 A B C D ,

; E 为 B S 的中点, C E

2 , AS ?

.求:

(Ⅰ)点 A 到平面 B C S 的距离; (Ⅱ)二面角 E
? CD ? A

的大小.

.

(19) (本小题 12 分) 解法一: (Ⅰ)因为 AD//BC,且 B C D 点到平面 B C S 的距离。 因 为 平 面
C S? 平 面 D
A D?

? 平 面 B C S , 所以 A D // 平 面 B C S , 从而

A 点到平面 B C S 的距离等于

, A

B ?

C , D故

A

D

C

D

A D ? 平 面 C SD

,从而

, SD 由

AD//BC , 得
9

BC ? DS Rt?ADS

,又由 C S

? DS

知 DS

? 平 面 BCS

,从而 D S 为点 A 到平面 B C S 的距离,因此在


2 2

DS ?

AS ? AD

?

3 ?1 ?

2

(Ⅱ)如答(19)图 1,过 E 电作 E G 故
?EGH

? CD, 交CD

于点 G,又过 G 点作 G H

? CD

,交 AB 于 H,

为二面角 E

? CD ? A

的平面角,记为 ? ,过 E 点作 EF//BC,交 C S 于点 F,连结 GF, ,故 ? 中,
? CD
?

因平面 A B C D

? 平 面 C SD , G H ? C D , 易 知 G H ? G F
? 1 2 C S ? 1 ,在 R t ? C F E

?
2

? ?EGF

.

由于 E 为 BS 边中点,故 C F
EF ? CE ? CF
2 2

?

2 ? 1 ? 1 ,因 E F ? 平 面 C SD
? CD

,又 E G

故由三垂线定理的逆定理得 F G 因此
CD ?
GF DS
2