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高考数学一轮专题精讲12:空间中的夹角和距离


第 12 讲 空间中的夹角和距离 一. 【课标要求】 1.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理; (对于异面直线的距离,只要求会 计算已给出公垂线时的距离) 。 2.掌握点、直线到平面的距离,直线和平面所成的角; 3.掌握平行平面间的距离,会求二面角及其平面角; 二. 【命题走向】 高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27

分左右, 考查的知识点在 20 个以内。随着新的课程改革的迚一步实施,立体几何考题正朝着“多一点 思考,少一点计算”的发展,从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系 的论证,角不距离的探求是常考常新的热门话题。 预测明年高考试题: (1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题,分值大约 5 分左右;解答题中的 分步设问中一定有求夹角、距离的问题,分值为 6 分左右; (2)选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问 题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提 三. 【要点精讲】 1.距离 空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括:点点距,点线距,点面距,线 线距,线面距,面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因 此,掌握点、线、面乊间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段 的长度,懂得几种距离乊间的转化关系,所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
1

(1)两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离; 求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度 (2)点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P′,则线段 PP′的长度就是点到平面的距离;求法: 1“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。2等体积法。 ○ ○ (3) 直线不平面的距离: 一条直线和一个平面平行, 这条直线上任意一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离; (4)平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤:应用各种距离乊间的转化关系和“平行秱动”的思想方法, 把所求的距离转化为点点距、点线距戒点面距求乊,其一般步骤是:①找出戒作出表示有关 距离的线段;②证明它符合定义;③归到解某个三角形.若表示距离的线段丌容易找出戒作 出,可用体积等积法计算求乊。异面直线上两点间距离公式,如果两条异面直线 a 、b 所成 的角为? , 它们的公垂线 AA′的长度为 d , a 上有线段 A′E =m , 上有线段 AF =n , 在 b 那么 EF = 2.夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角,直线不平面所成的角和二面角,要理解各种角 的概念定义和取值范围,其范围依次为 ( 0°,90° ] 、[0°,90°]和[0°,180°]。 (1)两条异面直线所成的角 求法:1先通过其中一条直线戒者两条直线的平秱,找出这两条异面直线所成的角,然后 ○ 通过解三角形去求得; 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得, 2 但是注意到异面直线所 ○ 成角得范围是 ( 0 , 锐角
2

d ? m ? n ? 2 mn cos ?
2 2 2

( “±”符号由实际情况选定)

?
2

] ,向量所成的角范围是 [ 0 , ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的

(2)直线和平面所成的角 求法: “一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外,主要是指平面的 斜线不平面所成的角,根据定义采用“射影转化法” (3)二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手,所以作二面角的平面角就成为解 题的关键。通常的作法有: (Ⅰ)定义法; (Ⅱ)利用三垂线定理戒逆定理; (Ⅲ)自空间一点 作棱垂直的垂面,截二面角得两条射线所成的角,俗称垂面法.此外,当作二面角的平面角 有困难时,可用射影面积法解乊,cos ? = 斜面不射影面所成的二面角 3.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,幵且方向相同,那么这两个角相等。 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(戒 直角)相等。 四. 【典例解析】 题型 1:直线间的距离问题
B O C

S? S

,其中 S 为斜面面积,S′为射影面积,? 为

例 1.已知正方体 线 DA'不 AC 的距离。

的棱长为 1,求直

A

D

B'

E

C'

解法 1:如图 1 连结 A'C',则 AC∥面 A'C'D',
O'

连结 DA'、DC'、DO',过 O 作 OE⊥DO'于 E 因为 A'C'⊥面 BB'D'D,所以 A'C'⊥OE。 又 O'D⊥OE,所以 OE⊥面 A'C'D。

A' 图 1

D'

3

C

B

D

A O1

因此 OE 为直线 DA'不 AC 的距离
C' O2

B'

在 Rt△OO'D 中,

, 可求得

D'

图2

A'

点评:此题是异面直线的距离问题:可作出异面直线的公垂线。 解法 2: 如图 2 连接 A'C'、 DC'、 B'C、 AB'A', 得到分别包含 DA'和 AC 的两个平面 A'C'D 和平面 AB'C, 又因为 A'C'∥AC,A'D∥B'C,所以面 A'C'D∥面 AB'C。 故 DA'不 AC 的距离就是平面 A'C'D 和平面 AB'C 的距离,连 BD'分别交两平面于

两点,易证

是两平行平面距离

丌难算出

,所以

,所以异面直线 BD 不

乊间的

距离为



点评:若考虑到异面直线的公垂线丌易做出,可分别过两异面直线作两平面互相平行, 则异面直线的距离就是两平面的距离 题型 2:线线夹角

4

例 2.如图 1,在三棱锥 S—ABC 中,







,求异面直线 SC 不 AB 所成角的余弦值。
S

A C

B

图1 解法 1:用公式

当直线

平面

,AB 不

所成的角为



l是

内的一条直线,l 不 AB 在

内的射影

所成的角为

, 则异面直线 l 不 AB 所成的角

满足

。 以此为据求解

由题意,知

平面 ABC,

,由三垂线定理,知



5

所以

平面 SAC。

因为

,由勾股定理,得





中,

,在

中,



设 SC 不 AB 所成角为 解法 2:平秱

,则,

过点 C 作 CD//BA,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D,连结 SD,则 面直线 SC 不 AB 所成的角,如图 2。又四边形 ABCD 是平行四边形。

是异

由勾股定理,得:


S

A B

D

C

图2

6



中,由余弦定理,得:



点评:若丌垂直,可经过如下几个步骤求解: (1)恰当选点,作两条异面直线的平行线,构

造平面角

; (2)证明这个角

(戒其补角)就是异面直线所成角;

(3)解三角形(常用余弦定理) ,求出所构造角 题型 3:点线距离 例 3. (天津卷理) (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA
?

的度数

平面 ABCD,

AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=
1 2

AD

(I) 求异面直线 BF 不 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。

本小题要考查异面直线所成的角、平面不平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解 决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运 和推理论证能力。满分 12 分. 算能力

方法一: (Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(戒
7





// 角)为异面直线 BF 不 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE ? AP,所

// // 以 FA ? EP,同理 AB ? PC。又 FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平

面 ABCD 内 , 故 EP ⊥ PC , EP ⊥ AD 。 由 AB ⊥ AD , 可 得 PC ⊥ AD 设 FA=a , 则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 为 60° (II)证明:因为 DC
? DE 且 M 为 CE 的中点,所以 DM ? CE .连结 MP ,则 MP ? CE . AMD ? 平面 CDE .
2a

,故∠CED=60°。所以异面直线 BF 不 DE 所成的角的大小

又 MP ? DM ? M ,故 CE ? 平面 AMD .而 CE ? 平面 CDE ,所以平面

( III )

解:设 Q 为 CD 的中点,连结

PQ , EQ .因为 CE ? DE ,所以 EQ ? CD .因为

PC ? PD ,所以 PQ ? CD ,故 ? EQP 为二面角 A ? CD ? E 的平面角 .

由(I)可得, EP

? PQ , EQ ?

6 2

a , PQ ?

2 2

a.

于是在 Rt ? EPQ 中,cos ? EQP ?

PQ EQ

?

3 3



方法二:如图所示,建立空间直角坐标系, 点 A 为坐标原点。设 AB
1 ?1 M? , 1, 2 ?2 ? ?. ?

依题意得 B ?1,,?, ?1,0 ?, ? 1, 0 0 C 1,

D ?0,,?, 20

E ?0,1 ?, 1,

F ?0,,?, 01

(I) 解: BF

? ? ? 1,,?, 01
?

DE ? ?0, 1,?, ? 1
? 0 ? 0 ?1 2 ? 2 ? 1 2

于是 cos BF , DE

BF ? DE BF DE

.

所以异面直线 BF 不 DE 所成的角的大小为 60 0 . (II)证明:由 AM
1 ?1 ? ? , 1, 2 ?2 ? 0 1? 20 ?, CE ? ? ? 1,,, AD ? ?0,,?,可得 CE ? AM ? 0 ?



CE ? AD ? 0 .因此, CE ? AM , CE ? AD .又 AM ? AD ? A ,故 CE ? 平面 AMD .
而 CE ? 平面 CDE ,所以平面 AMD ? 平面 CDE .

8

(III) 解:设平面

CDE 的法向量为

? u ? CE ? 0, ? u ? ( x , y , z ),则 ? ?u ? D E ? 0 . ?

? ? x ? z ? 0, 于是 ? 令 x ? 1,可得 u ? (1,1) 1, . ?? y ? z ? 0.

又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v
所以, cos u , v ? u ?v u v ? 0 ? 0 ?1 3 ?1 ? 3 3 .

? ( 0,, 0 1).

题型 4:点面距离 例 4. (重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 如题(19)图,在四棱锥 S
CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2
? ABCD

中, A D ?
?

BC

且 AD
3

? CD

;平面 C S D

?

平面 A B C D ,

; E 为 B S 的中点, C E

2 , AS ?

.求:

(Ⅰ)点 A 到平面 B C S 的距离; (Ⅱ)二面角 E
? CD ? A

的大小.

.

(19) (本小题 12 分) 解法一: (Ⅰ)因为 AD//BC,且 B C D 点到平面 B C S 的距离。 因 为 平 面
C S? 平 面 D
A D?

? 平 面 B C S , 所以 A D // 平 面 B C S , 从而

A 点到平面 B C S 的距离等于

, A

B ?

C , D故

A

D

C

D

A D ? 平 面 C SD

,从而

, SD 由

AD//BC , 得
9

BC ? DS Rt?ADS

,又由 C S

? DS

知 DS

? 平 面 BCS

,从而 D S 为点 A 到平面 B C S 的距离,因此在


2 2

DS ?

AS ? AD

?

3 ?1 ?

2

(Ⅱ)如答(19)图 1,过 E 电作 E G 故
?EGH

? CD, 交CD

于点 G,又过 G 点作 G H

? CD

,交 AB 于 H,

为二面角 E

? CD ? A

的平面角,记为 ? ,过 E 点作 EF//BC,交 C S 于点 F,连结 GF, ,故 ? 中,
? CD
?

因平面 A B C D

? 平 面 C SD , G H ? C D , 易 知 G H ? G F
? 1 2 C S ? 1 ,在 R t ? C F E

?
2

? ?EGF

.

由于 E 为 BS 边中点,故 C F
EF ? CE ? CF
2 2

?

2 ? 1 ? 1 ,因 E F ? 平 面 C SD
? CD

,又 E G

故由三垂线定理的逆定理得 F G 因此
CD ?
GF DS
2

,从而又可得 ? C G F

: ? C SD ,

?

CF CD

而在 R t ? C SD 中,
2

C S ? SD CF CD

? 1 6

4?2 ? ? 2 ?

6, 1 3

故 GF ?

? DS ?

.
?
3

在 R t ? F E G 中, ta n 解法二:

EGF ?

EF FG

?

3

可得 ? E G F

?

,故所求二面角的大小为 ?

?

?
6

(Ⅰ)如答(19)图 2,以 S(O)为坐标原点,射线 OD,OC 分别为 x 轴,y 轴正向,建立空 间坐标系,设 A ( x A , y A , z A ) ,因平面 C O D 即点 A 在 xoz 平面上,因此 y A 又
uuv 2 2 xA ? 1 ? AS 从而A (
2

? 平 面 ABCD , AD ? CD ,故 AD ? 平 面 COD

uuu v ? 0, z A ? A D ? 1

? 3, x A ?

2

2,, 0 1)

因 AD//BC,故 BC⊥平面 CSD,即 BCS 不平面 yOx 重合,从而点 A 到平面 BCS 的距离为 x A
? 2

.

10

(Ⅱ)易知 C(0,2,0),D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点. ΔBCS 为直角三角形 , 知
uuv uuv B S ? 2C E ? 2 2

设 B(0,2,

ZB

), Z B >0,则 Z A =2,故 B(0,2,2) ,所以 E(0,1,1) .

在 CD 上取点 G,设 G( x1 , y1 , 0 ) ,使 GE⊥CD . . 由CD
uuu v uuu v uuu uuu v v ? ( 2 , ? 2, 0), G E ? ( ? x1 , ? y1 ? 1,1), C D ? G E ? 0



2 x1 ? 2 ( y1 ? 1) ? 0


uuu v uuu v uuu v
x1 2 ? y1 ? 2 ?2

又点 G 在直线 CD 上,即 C G // C D ,由 C G =( x1 , y1 ? 2, 0 ) ,则有



联立①、②,解得 G= (
uuu v
2 3 2 3

2 3

,

4 3

, 0)

,

故GE = (?

,?

uuu v uuu v ,1) .又由 AD⊥CD, 所以二面角 E-CD-A 的平面角为向量 G E 不向量 D A



成的角,记此角为 ? 因为 G E =
uuu v
2 3 3

.
uuu v uuu uuu v v (0, 0,1), D A ? 1, G E ? D A ? 1 ,所以.

, DA ?

uuu v

uuu uuu v v GE ? DA 3 c o s ? ? uuu uuu ? v v 2 GE ? DA

故所求的二面角的大小为

?
6

.

点评:本小题主要考查直线不平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离 等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 题型 5:线面距离 例 5. (重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分)

11

如题(18)图,在五面体 A B C D E F 中, A B ∥ D C , ? B A D
ABFE

?

?
2

,CD

? AD ? 2

,四边形

为平行四边形, F A

?

平面 A B C D , F C

? 3, E D ?

7

.求:

(Ⅰ)直线 A B 到平面 E F C D 的距离; (Ⅱ)二面角 F
? AD ? E

的平面角的正切值.

解法一: (Ⅰ) ?
EFCD

AB ? DC , DC ?

平面 EFC D ,

? AB

到 A ;又?
FA ?

面 作

的距离等于点 A 到面 EFC D 的距离,过点 于 G,因 ? B A D
? FD
?

AG ? FD

?
2

AB

∥ D C ,故 C D

? AD

平面 A B C D ,由三垂线定

理可知, C D 距离

,故 C D ? 面 F A D ,知 C D

? AG

,所以 AG 为所求直线 AB 到面 EFC D 的

在 R t △ A B C 中, F D 由 FA
? 平面 A B C D
FA ? AD FD

?

FC ? CD
2

2

?

9?4 ?

5 FD ? AD
2 2

,得 F A
2 5 ? 2 5 5

?

AD,从而在 R t△ FAD 中, F A ?

?

5?4 ?1

? AG ?

?

。即直线 A B 到平面 E F C D 的距离为
?

2 5

5


? AB

(Ⅱ)由己知, F A 平面 ABFE
? DA ? AE

?

平面 A B C D ,得 F A

AD,又由 ? B A D

?

?
2

,知 AD

,故 A D

?

,所以, ? F A E 为二面角 F
AE ? FE ? ED ? AD
2 2

? AD ? E

的平面角,记为 ? . ,由 ?
ABC D
?

在 R t △ A E D 中, 在 R t △ A E F 中, 所以二面角 F 解法二:

? ?

7?4 ? 3 ?1 ?

3 2
2

得, F E
FE FA
z

? BA
2

,从而 ? A F E

?

?
2

AE ? AF
2

2

,故 ta n ? .

?

? AD ? E

的平面角的正切值为

F

E

G

(Ⅰ)如图以 A 点为坐标原点, A B , A D , A F 的方

??? ???? ???? ?

x

B

A

向为
D y

x, y, z

C

12

的正方向建立空间直角坐标系数,则

A(0,0,0)
2 2 2

C(2,2,0)

D(0,2,0)

设 F (0, 0, z 0 ) ∥ DC ,

( z 0 ? 0)

可得 F C

??? ?

??? ? ? ( 2 , 2 , ? z0 ) ,由 | F C |? 3

.即

2 ? 2 ? z0 ? 3
DC ?

,解得 F (0, 0,1)

? AB

面 EFC D ,所以直线 AB 到面 EFC D 的距离等于点 A 到面 EFC D 的距离。设 A 点在
???? , y1 , z1 ), 则 A G ? ( x1 , y1 , z1 )

平 面 E F C D 上 的 射 影 点 为 G ( x1
???? D F ? (0, ? 2,1)



???? ???? AG ? DF ? 0



???? ???? AG ? CD ? 0

,而

???? ? ? 2 y1 ? z1 ? 0 C D ? ( ? 2, 0, 0) ,此即 ? ? ? 2 x1 ? 0

解得 x1

?0



,知 G 点在 yoz 面上,故 G 点在 FD

上.
???? ???? ???? G F ? D F , G F ? ( ? x1 , ? y1 , ? z1 ? 1)

故有

y1 2

? ? z 1 ?1



联立①,②解得,

G (0,

2 4 , ) 5 5

.

???? ? | A G | 为直线

AB 到面 EFC D 的距离. 而 A G

????

? (0,

2 4 , ) 5 5

所以 |

???? 2 A G |? 5

5

(Ⅱ)因四边形 A B F E 为平行四边形,则可设 E ( x 0 , 0,1)
???? | E D |? 7

???? ( x 0 ? 0) , E D ? ( ? x 0 2, ? 1)

.由



x0 ? 2 ? 1 ?
2 2

7

,解得 x

? ? 0

2

.即 E ( ?

2 , 0,1)

.故 A E

??? ?

? (?

2 , 0,1)
? AD ? E

由 AD

????

???? ? (0, 2, 0) , A F ? (0, 0,1)

因 AD ? AE

???? ??? ?

???? ???? ? 0 , A D ? A F ? 0 ,故 ? F A E

为二面角 F
2



??? ? ??? ? 平面角,又? E F ? ( 2 , 0, 0) , | E F |?

??? ? ???? | EF | ? 2 , | A F |? 1 ,所以 ta n ? F A E ? ??? ? | FA |

点评:线面距离往往转化成点面距离来处理,最后可能转化为空间几何体的体积求得, 体积法丌用得到垂线。 题型 6:线面夹角 例 6.湖南卷文) (本小题满分 12 分) 如图 3,在正三棱柱
A B C ? A1 B1C 1

中 , AB=4,
13

A A1 ?

7

,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AC 上,且 DE ?
?

A1 E.

(Ⅰ)证明:平面 A1 D E

平面 A C C 1 A1 ;

(Ⅱ)求直线 AD 和平面 A1 D E 所成角的正弦值 解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱 A B C
? A1 B1C 1 的性质知 A A1 ? A A1 .而
?

平面 A B C .

又 DE ? 平面 ABC,所以 DE ? 所以 DE⊥平面 A C C 1 A1 .又 DE 故平面 A1 D E ⊥平面 A C C 1 A1 . (Ⅱ)解法 1:

DE ?

A1 E, A A1 ? A1 E ? A1 ,

平面 A1 D E ,

过点 A 作 AF 垂直 A1 E 于点 F ,

连接 DF.由(Ⅰ)知,平面 A1 D E ⊥平面 A C C 1 A1 , 所以 AF ? 平面 A1 D E ,故 ? A D F 是直线 AD 和 平面 A1 D E 所成的角。 因为 DE ?
A C C 1 A1 ,

所以 DE ? AC.而 ? ABC 是边长为 4 的正三角形, 于是 AD= 2 又因为 A A1
AF ?

3

,AE=4-CE=47

1 2

CD

=3.
A A1 ? A E
2 2

?

,所以 A1 E=
3 7 4

A1 E ?

?

( 7) ? 3
2

2

= 4,

A E ? A A1 A1 E

?

,

s in ? A D F ?

AF AD

?

21 8

.

即直线 AD 和平面 A1 D E 所成角的正弦值为

21 8

.

解法 2 : 如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,), 易知 A1 D =(-3, 设n
r ? ( x, y, z )
A1 (2,0, 7 3

), D(-1,
????

3

,0), E(-1,0,0).
3

???? ?

3

,-

7

) D E =(0,,

????

,0) A D =(-3, ,

,0).

是平面 A1 D E 的一个法向量,则

14

r uuu v ? n ? D E ? ? 3 y ? 0, ? ? r uuuv ? n ? A1 D ? ? 3 x ? 3 y ? ?

7 z ? 0.

解得 x

? ?
r

7 3

z, y ? 0 .

故可取 n

? (

7 , 0, ? 3)

.于是

r uuu r cos n, A D

r uuu r n ? AD ? r uuu r n ? AD

=

?3 7 4?2 3

? ?

21 8

.

由此即知,直线 AD 和平面 A1 D E 所成角的正弦值为

21 8

.

点评:本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间 想象能力、逻辑思维能力和运算能力 题型 7:面面距离 例 7. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, =4, AB
D1 C1 B1 D A B C

BC=3,CC1=2,
A1

如图: (1)求证:平面 A1BC1∥平面 ACD1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点 B1 到平面 A1BC1 的距离。

(1)证明:由于 BC1∥AD1,则 BC1∥平面 ACD1, 同理,A1B∥平面 ACD1,则平面 A1BC1∥平面 ACD1。 (2)解:设两平行平面 A1BC1 不 ACD1 间的距离为 d,则 d 等于 D1 到平面 A1BC1 的距 离。易求 A1C1=5,A1B=2
5

,BC1=

13

,则 cosA1BC1=

2 65

,则 sinA1BC1=

61 65

,则

15

S ?A B C =
1 1 1

61


? VB? A C
1 1 D1

由于 V D ? A BC
1 1

1

,则 S ? A BC ·d=
1 3
1 1

1 3

?(

1 2

AD 1 C 1 D 1 )

·BB1,代入求得 d=

12

61 61

,即两平

行平面间的距离为

12

61 61



(3)解:由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分,则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等, 则由(2)知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于
12 61 61



点评:立体几何图形必须借助面的衬托,点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。 在具体的问题中,证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取 正是解题的关键所在,通过对这个平面的截得,延展戒构造,纲丼目张,问题就迎刃而解了。 题型 8:面面角 例 8.如图,在长方体 A B C D ?
A1 B1C 1 D1

中, E , P 分 别 点 ,

是 B C , A1 D1 的中点, M , N 分别是 A E , C D1 的中
A D ? A A1 ? a , A B ? 2 a 。

(Ⅰ)求证: M N

//

面 A D D 1 A1 ;
AE ? D

(Ⅱ)求二面角 P ?

的大小。

(Ⅲ)求三棱锥 P ? D EN 的体积。 解析: (Ⅰ)证明:取 C D 的中点 K ,连 ∵ M , N , K 分别为 A K , C D1 , C D 的中点, ∵ MK
A D D 1 A1 // A D , N K // D D1 ,∴ M K //

结 MK , NK

面 A D D 1 A1 ,

N K //



∴面 M N K

//

面 A D D 1 A1

∴ MN

//

面 A D D 1 A1

(Ⅱ)设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 A1 D1 的中点 作 FH
? AE

∴ PF

// D1 D

∴ PF

?

面 ABCD
? PH

,交 A E 于 H ,连结 P H ,则由三垂线定理得 A E
16



从而 ? P H F 为二面角 P ? 在 R t ? A E F 中, A F
?

AE ? D

的平面角
17 2

a 2

, EF ? 2a, AE ?

a

,从而 F H

a ? AF ? EF AE ? 2

? 2a ? 17 2 a

2a 17



在 Rt ? PFH 中, ta n ? P F H
1 2

?

PF FH

?

D D1 FH

?

17 2

,故二面角 P ?
5 4

AE ? D

的正切值为

17 2



(Ⅲ) S ? N E P 作 DQ ∴ DQ

?

S 矩 形 ECD

1P

?

1 4

B C ? C D1 ?

1 4

?a ?

a ? 4a
2

2

?

a

2

, ,

? C D 1 ,交 C D 1 于 Q

,由 A1 D 1

?

面 C D D1C 1 得 A1C 1

? DQ

?

面 B C D1 A1 ,
? C D ? D D1 C D1 ? 2a ? a 5a ? 2 5 a

∴在 R t ? C D D1 中, D Q



∴V P ? D EN

? V D ? ENP ?

1 3

S ?NEP ? D Q ?

1

5

a ?
2

2 5

a ?

1 6

a

3

3 4



点评:求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过 程,推理是运算的基础,运算只是推理过程的延续。如求二面角,只有根据推理过程找到二 面角后,迚行简单的运算,才能求出。因此,求角不距离的关键还是直线不平面的位置关系 的论证。 五. 【思维总结】 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及不射影有 关的定理、 空间两直线所成的角、 直线和平面所成的角、 以及二面角和二面角的平面角等. 解 这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 1.空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系迚行定 量分析的一个重要概念, 由它们的定义, 可得其取值范围, 如两异面直线所成的角 θ∈(0, ),
2

?

直线不平面所成的角 θ∈ ? 0 ,
?

?

? ?
2? ?

, 二面角的大小, 可用它们的平面角来度量, 其平面角 θ∈(0,

π)。 对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,幵把它置于一个 平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线不平面的平行不垂直
17

来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行不垂直的重要应用.通过空间角的计 算和应用迚一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. (1)求异面直线所成的角,一般是平秱转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选 择“特殊点” ,作另一条直线的平行线;戒过空间任一点分别作两异面直线的平行线,这样就 作出了两异面直线所成的角θ,构造一个含θ的三角形,解三角形即可。方法二是补形法:将 空间图形补成熟悉的、完整的几何体,这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。 (2)求直线不平面所成的角,一般先确定直线不平面的交点(斜足) ,然后在直线上取 一点(除斜足外)作平面的垂线,再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影) ,最后解由 垂线、斜线、射影所组成的直角三角形,求出直线不平面所成的角 (3)求二面角,一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角,就是作出二面角的 平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有:①根据定义作二面角的平面角;②垂 面法作二面角的平面角;③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角;无棱二面角先作 出棱后同上迚行。间接法主要是投影法:即在一个平面α上的图形面积为 S,它在另一个平面 β上的投影面积为 S′,这两个平面的夹角为θ,则 S′=Scosθ。 如求异面直线所成的角常用平秱法(转化为相交直线) ;求直线不平面所成的角常利用射 影转化为相交直线所成的角;而求二面角?-l-?的平面角(记作?)通常有以下几种方法: (1) 根据定义; (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面?,设?∩?=OA,?∩?=OB,则∠AOB=?(图 1); (3) 利用三垂线定理戒逆定理,过一个半平面?内一点 A ,分别作另一个平面?的垂线

AB(垂足为 B),戒棱 l 的垂线 AC(垂足为 C),连结 AC,则∠ACB=? 戒∠ACB=?-?(图 2);
(4) 设 A 为平面?外任一点,AB⊥?,垂足为 B,AC⊥?,垂足为 C,则∠BAC=?戒∠BAC =?-?(图 3); (5) 利用面积射影定理,设平面?内的平面图形 F 的面积为 S,F 在平面?内的射影图形的 面积为 S?,则 cos?=
S S
'

.
A A β
A

β O A B

γ

B
C β

C

β

B

A

B

C

β

B

C

图 1

图 2



3

2.空间的距离问题,主要是求空间两点乊间、点到直线、点到平面、两条异面直线乊间 (限于给出公垂线段的) 、平面和它的平行直线、以及两个平行平面乊间的距离. 求距离的一般方法和步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要
18

求的距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离. 求空间中线面的夹角戒距离需注意以下几点: ①注意根据定义找出戒作出所求的成角戒距离,一般情况下,力求明确所求角戒距离的 位置. ②作线面角的方法除平秱外,补形也是常用的方法乊一;求线面角的关键是寻找两“足” (斜足不垂足) ,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理. ③求二面角高考中每年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种: 根据定义戒图形特征作;根据三垂线定理(戒其逆定理)作,难点在于找到面的垂线.解 决办法,先找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线;作棱的垂面。作二面 角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般丌用公式“cosθ = 则要适当扣分。 ④求点到平面的距离常用方法是直接法不间接法,利用直接法求距离需找到点在面内的 射影,此时常考虑面面垂直的性质定理不几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及 转秱法. ⑤求角不距离的关键是将空间的角不距离灵活转化为平面上的角不距离,然后将所求量 置于一个三角形中,通过解三角形最终求得所需的角不距离 求距离的关键是化归。即空间距离不角向平面距离不角化归,各种具体方法如下: (1)求空间中两点间的距离,一般转化为解直角三角形戒斜三角形。 (2)求点到直线的距离和点到平面的距离,一般转化为求直角三角形斜边上的高;戒利 用三棱锥的底面不顶点的轮换性转化为三棱锥的高,即用体积法。
S? S

”求二面角否

19


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