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学生 高一数学 基本初等函数 复习


第三章
专题一

基本初等函数章末复习

指数与指数幂运算,对数与对数运算

指数运算、对数运算是两个重要的知识点,不仅是本章的主要考点,也是高考的必考内容.对于指 数运算,首先要注意化简顺序,一般负指数先转化为正指数,根式化为分数指数;其次若出现分式,则 要注意分子、分母的因式分解,以达到约分的目的.对数运算要注意公式应用过程中范围的变化,保证 前后的等价性.能熟练运用对数的运算法则及换底公式等化简计算. 例 1 已知 2a=3b=k(k≠1),且 2a+b=ab,则实数 k 的值为( A.6 B.9 C.12 D.18 1 32 4 例 2 求值:2lg49-3lg 8+lg 245 )

专题二

指数函数和对数函数的图象和性质

指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数,它们的图象与性质始终是高考考查 的重点,应熟练掌握图象的画法及形状,记熟性质.由于指数函数 y=ax,对数函数 y=logax(a>0,a≠1) 的图象与性质都与 a 的取值有密切的联系,a 变化时,函数的图象与性质也随之改变,因此,在 a 的值 不确定时,要对它们进行分类讨论. 例 1 已知 f(x)是函数 y=log2x 的反函数,则 y=f(1-x)的图象是( )

例 2 已知 f(x)=|lgx|, 且 0<a<b<c, 若 f(b)<f(a)<f(c), 则下列一定成立的是( A.a<1,b<1 且 c>1 B.0<a<1,b>1 且 c>1

)

1 1 C.b>1,c>1 D.c>1 且c<a<1,a<b<a 例 3 已知 a>0 且 a≠1,f(logax)= (1)求 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (3)对于 f(x),当 x∈(-1,1)时,有 f(1-m)+f(1-m2)<0,求 m 的取值范围. a 1 (x- x ). a -1
2

专题三

函数的实际应用

指数函数、对数函数和幂函数在实际问题中应用非常广泛,解决的关键是弄清题意,分清条件和结 论,理顺数量关系,确定数学模型,再利用相应的函数模型答题,最后还原为实际问题. 例 1 一片森林原来的面积为 a,计算每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林面 1 积的一半时,所用时间是 10 年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的4,已知到今年为止, 2 森林剩余面积为原来的 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已被砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

专题四

数形结合思想

数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法,这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数 学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考,促使抽象思维和形象思维的和 谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷 解决.运用数形结合的思想方法解决问题时,一般要遵循等价性、双向性和简单性原则 例 1 方程 log2(x+4)=3x 解的个数是(
A.0 个 B.1 个 C.2 个

)

D.3 个

例 2 已知方程 2x+x=0 的实根为 a,log3x=2-x 的实根为 b,log1 x=x 的实根为 c,则 a,b,c 的大小 2 关系是________.

专题五

分类讨论思想

分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决,化成部分从而增加题设条件,这是解分类讨论问题的指导思想.

1 例 1 已知偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,且 f(2)=0,求不等式 f(logax)>0(a>0,且 a≠1)的解集.

例 2 已知 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较 f(x)和 g(x)的大小.

专题六

等价转化思想

数学问题中,已知条件是结论成立的保证,但有的问题已知条件和结论之间距离比较大,难于解出.因此,如何将已 知条件经过转化,逐步向需求结论靠拢,这就是解题过程中经常要做的工作,变更条件就是利用与原条件等价的条件 去代替,使得原条件中的隐含因素显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之 间的内在联系,以便应用数学规律、方法将问题解决.

1 例 1 若不等式 x2-logmx<0,在(0,2)内恒成立,求实数 m 的取值范围.

专题七

函数与方程的思想

在解决数学问题时,对于一些从形式上看是以非方程的问题出现的,但经过一定的数学变换或构造,使这一非方程的 问题转化为方程的形式,并运用方程的有关性质来处理这一问题,进而使原数学问题得到很好的解决.这一思想方法 我们称之为“方程思想” .

例 1 已知 1<x<d,令 a=(logdx)2,b=logdx2,c=logd(logdx),则( A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 例 2 方程 ax+x2=2(a>0,a≠1)的解的个数为( A.0 B.1 C.2 D.无法判定 )

)

专题八

换元思想

换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题.本章中,常设 u=logax 或 u=ax,转化为一元二次方程、二次 函数等问题,特别要注意换元后 u 的取值范围.

1 1 例 1 求函数 f(x)=-(2)2x-4(2)x+5 的值域.

例 2 解方程 logx-log5x2-3=0.


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