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凉山州首届高中数学教师解题竞赛试题


凉山州首届高中数学教师解题竞赛试题
(考试时间:2015 年 9 月 20 日 9:30-11:30)

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求)
1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 ?

1}, 则CU ( A ? B ) ? (
x



A. ( ??,1)

B. (1,??)

C. ( ??,1] )

D. [1,??)

2.已知 a, b 是实数,则“ | a ? b |? a ? b ”是“ ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.函数 y ? 3 cos?2 x ? ? ? 的图像向右平移

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
3

后关于点 ?

?? ? ,0 ? 对称,那么 ? 的最小值为( ) ?6 ?
D.

A.

5? 6

B.

?
2

C.

?
3

?
6

?x ? 1 x?2 ? 4. 已知 实数 x, y 满足 ? y ? 1 ,则 的取值范围是( ) y ?x ? y ? 6 ? ?3 ? A. ? , 7 ? ?5 ? ?1 ? B. ? ,5? ?5 ? ?1 ? C. ? ,3? ?5 ? ?1 ? D. ? , 7 ? ?5 ?


5.如图是一个几何体的三视图,由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是( A. 6 B.2 5 C. 5 D. 13

6.执行如右图所示的程序框图,则输出的 y =( A.

) D. 2

1 2

B.1

C.-1
1

7. 设 f ( x) 是 R 上的奇函数, 函数 y ? f ( f ( x)) ,y ? xf (sin x) ,y ? cos( f ( x)) f (sin x) ,

y ? sin( f ( x)) cos( f ( x)) 中偶函数的个数为( )
C.3 D.4 ??? ? 2 2 8. 点 A 在曲线 x ? 8 x ? y ? 6 y ? 24 ? 0 ,且 OB ? ( a, 0), a ? 0 , O 是坐标原点, ??? ? ??? ? OA ? OB 则 ??? ? =( ) OB A.1 B.2

A.? 0,1?
9.已知 ? , ? ? (0, A.

B ?1,3?

C.? 2, 4?

D.?3,5?

?
2

) ,满足 tan( ? ? ? ) =4 tan ? ,则 tan ? 的最大值是( )
B.

3 3 3 C. D. 2 4 4 2 1nx k 10.已知函数 f ( x) ? 2 ? x ? ? 2e 有且只有一个零点,则 k 的值为( ) x x 1 1 1 1 2 2 A. e ? 2 B. e ? C. e ? 2 D e? e e e e

1 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11. ( x ? 1) ( x ? 2) 展开式中含 x 的项的系数是 __________ 。
6 2

12. 方程 lg( 3 sin x) ? lg( ? cos x) ? 0 的解集是 ______________ 。 13. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2 S n , n ? 1, 2, ? , 则通项 an ? _______________ . 14.设抛物线 y ? 4 x 的焦点 F,抛物线上第一象限的点 P,若以 PF 为直径的圆的圆心在
2

x ? y ? 2 上,则此圆面积为 ____________ 。
15. 在楼的同一层有两排被过道分开的学术讨论室,每边 4 间共 8 间。现要安排 4 个不同的 学术研讨会在这 8 间讨论室同时进行,要求任两个讨论会不相邻,则安排方法数为 __________________ 。 16. 设 ?an ? 是公比为 q ( q ? 1) 的无穷等比数列, 若 ?an ? 中任意两项之积仍是该数列中的项, 则称 ?an ? 为“封闭的等比数列” 。给出以下命题: (1) a1 ? 3, q ? 2 ,则 ?an ? 是“封闭的等比数列” ;
2

(2) a1 ?

1 , q ? 2 ,则 ?an ? 是“封闭的等比数列” ; 2

(3) 若 ?an ? , ?bn ? 都是 “封闭的等比数列” , 则 ?an ? bn ? , ?an ? bn ? 也都是 “封闭的等比数列” ; (4)不存在 ?an ? ,使 ?an ? 和 a 。 ? ? 都是“封闭的等比数列”
2 n

以上正确命题有 ________________ (写出所有正确命题的序号) 。

三、解答题(共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (13 分)设 A, B, C ? R, 求 sin A cos B ? sin B cos 2C ? sin C cos 4 A 的最大值。

? 1 ? 1, (sin x ? ) ? 6 2 18.(14 分)设 f ( x) ? ? , ? ? ? 1 ?sin x, (sin x ? ) ? 6 2 ? 6 g ( x ) ?| x | ? | 6 ? x | ,令 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,若关于 a 的方程

F (a 2 ? a ? 1) ? F (2a ? m) 有且仅有四个不等实根,求 m 的取值范围?

19. (14 分)证明:若四面体有两个面的高线相交,则另两个面的高线也相交。

20.(14 分) 设 2, 3 是等差数列 ?an ? 中的两项,求证:此数列中各项都不是有理数。

x2 y 2 1 21. ( 15 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,过椭圆右焦点 F 且斜率为 1 a b 2
的直线 l 截椭圆所得弦长为

24 . 7

(1)求椭圆 C 的方程; (2 ) 已知 A、 B 为椭圆长轴的两个端点, 作不平行于坐标轴且不经过右焦点 F 的割线 PQ, 若满足∠AFP=∠BFQ,求证:割线 PQ 恒经过一定点.

3


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