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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第1章 第2节 命题、量词、逻辑联结词


第一章

第二节

一、选择题 1.(文)(2014· 沈阳市质检)下列命题中,真命题是( A.?x∈R,x2>0 C.?x0∈R,2x0<0 [答案] D [解析] A 错误.∵?x∈R,x2≥0;B 错误.∵?x∈R,-1≤sinx≤1;C 错误.∵由 y =2x 图象可知?x0∈R,2x0>0;D 正确. (理)(2013· 北京四中期中)下列命题中是假命题的是( A.?φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 B.?a>0,f(x)=lnx-a 有零点 C.?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ D.?m∈R,使 f(x)=(m-1)· xm2-4m+3 是幂函数,且在(0,+∞)上递减 [答案] A π π [解析] 当 φ= 时,f(x)=sin(2x+ )=cos2x 为偶函数,所以 A 错误,选 A. 2 2 2.(文)(2013· 山东临沂期中)已知命题 p:?x∈R,3x>0,则( A.? p:?x0∈R,3x0≤0 C.? p:?x0∈R,3x0<0 [答案] A [解析] 全称命题的否定是特称命题,所以? p:?x0∈R,3x0≤0,选 A. (理)命题“?x∈R,2x+x2≤1”的否定是( A.?x∈R,2x+x2>1,假命题 C.?x∈R,2x+x2>1,假命题 [答案] A [解析] 因为 x=0 时,20+02=1,所以“?x∈R,2x+x2>1”是假命题. 3.已知命题 p:对于 x∈R,恒有 2x+2 x≥2 成立;命题 q:奇函数 f(x)的图象必过原点,


)

B.?x∈R,-1<sinx<1 D.?x0∈R,tanx0=2

)

)

B.? p:?x∈R,3x≤0 D.? p:?x∈R,3x<0

) B.?x∈R,2x+x2>1,真命题 D.?x∈R,2x+x2>1,真命题

则下列结论正确的是( A.p∧q 为真 C.p∧(? q)为真 [答案] C

) B.(? p)∨q 为真 D.(? p)∧q 为真

[分析] 先判断命题 p、q 的真假,再按照或、且、非的定义及真值表做出判断.

-1-

[解析] ∵x∈R,∴2x>0,2 x>0,∴2x+2 x≥2 2x· 2 x=2,∴p 为真命题;q 为假命题(如
- - -

1 y= 为奇函数,但其图象不过原点),∴p∧q 为假,(? p)∨q 为假,p∧(? q)为真,(? p)∧q 为假, x 故选 C. 4.(2014· 唐山市二模)已知命题 p:函数 y=e|x 1|的图象关于直线 x=1 对称,q:函数 y=


π π cos(2x+ )的图象关于点( ,0)对称,则下列命题中的真命题为( 6 6 A.p∧q C.(? p)∧q [答案] A [解析] ∵p 真,q 真,∴p∧q 为真,故选 A. B.p∧ (? q) D.(? p)∨(? q)

)

5.(2014· 郑州市质检)设 α、β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题: ①若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β; ②若 l∥α,α∥β,则 l∥β; ③若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β; ④若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β. 其中正确命题的个数是( A.1 个 C .3 个 [答案] A [解析] ①②④中,直线 l 可能在平面 β 内,都错误.③正确,故选 A. 6.(文)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 [答案] C [解析] “都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是:“若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数”. (理)下列有关命题的说法正确的是( ) ) ) B.2 个 D.4 个

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题 [答案] D
-2-

[解析] A 中,否命题应为若 x2≠1,则 x≠1;B 中,x=-1?x2-5x-6=0,反之则不成 立,应为充分不必要条件;C 中,命题的否定应为?x∈R,均有 x2+x+1≥0. 二、填空题 7.(2014· 云南昆明质检)下面有三个命题: ①关于 x 的方程 mx2+mx+1=0(m∈R)的解集中恰有一个元素的充要条件是 m=0 或 m= 4; ②?m∈R,使函数 f(x)=mx2+x 是奇函数; ③命题“已知 x,y 是实数,若 x+y≠2,则 x≠1 或 y≠1”是真命题. 其中真命题的序号是________. [答案] ②③ [解析] ①中,当 m=0 时,原方程无解,故①是假命题;②中,当 m=0 时,f(x)=x 显 然是奇函数,故②是真命题;③中,命题的逆否命题“已知 x,y 是实数,若 x=1 且 y=1, 则 x+y=2”为真命题,故原命题为真命题,因此③为真命题. 8.(文)设 p:函数 f(x)=2|x a|在区间(4,+∞)上单调递增;q:loga2<1.如果“非 p”是真


命题,“p 或 q”也是真命题,那么实数 a 的取值范围是________. [答案] (4,+∞) [解析] ∵“非 p”为真命题,∴p 为假命题,又 p 或 q 为真命题,∴q 为真命题. 若 a>1,由 loga2<1 知 a>2,又 f(x)=2|x a|在(a,+∞)上单调递增,且 p 为假命题,∴a>4,


因此得,a>4; 若 0<a<1,则 p、q 都是真命题,不合题意. 综上,a 的取值范围是(4,+∞). 1 (理)已知命题 p:“?x∈[1,2], x2-lnx-a≥0”与命题 q:“?x0∈R,x2 0+2ax0-8-6a 2 =0”都是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 1 [答案] (-∞,-4]∪[-2, ] 2 1 [解析] 若 p 真,则?x∈[1,2],( x2-lnx)min≥a, 2 1 1 1 1 ∵y= x2-lnx 的导数 y′=x- ≥0 在[1,2]上恒成立,∴当 x=1 时,ymin= ,∴a≤ ; 2 x 2 2 若 q 真,则(2a)2-4×(-8-6a)=4(a+2)(a+4)≥0, ∴a≤-4 或 a≥-2. 1 ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-4]∪[-2, ]. 2 9.给出下列命题: ①y=1 是幂函数;

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②函数 f(x)=2x-log2x 的零点有 1 个; ③ x-1(x-2)≥0 的解集为[2,+∞); ④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件; ⑤函数 y=x3 是在 O(0,0)处的切线是 x 轴. 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ④⑤ [解析] y=1 不是幂函数,①是假命题;作出函数 y=2x 与 y=log2x 的图象,由两图象没 有交点知函数 f(x)=2x-log2x 没有零点,②错误;x=1 是不等式 x-1(x-2)≥0 的解,③错 误;x<1?x<2,而 x<2?/ x<1,④正确;y′=(x3)′=3x2,∴切线的斜率 k=0,过原点的切 线方程为 y=0,⑤正确. 三、解答题 10. (2014· 江苏连云港质量调研)已知命题: “?x∈[-1,1], 都有不等式 x2-x-m<0 成立” 是真命题. (1)求实数 m 的取值集合 B; (2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0 的解集为 A,若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)命题“?x∈[-1,1], 都有不等式 x2-x-m<0 成立”是真命题, 则 x2-x-m<0 在-1≤x≤1 时恒成立, ∴m>(x2-x)max,得 m>2,即集合 B=(2,+∞). (2)对于不等式(x-3a)(x-a-2)<0, ①当 3a>a+2,即 a>1 时,解集 A=(2+a,3a),若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,即 A?B 成立,∴2+a≥2,此时 a∈(1,+∞). ②当 3a=2+a,即 a=1 时,解集 A=?,若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,则 A?B 成立.此时 a=1. ③当 3a<2+a,即 a<1 时,解集 A=(3a,2+a),若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,即 2 A?B 成立,∴3a≥2,此时 a∈[ ,1). 3 2 综合①②③,得 a∈[ ,+∞). 3

一、选择题 11.下列命题中是真命题的是( )

A.若向量 a,b 满足 a· b=0,则 a=0 或 b=0 1 1 B.若 a<b,则 > a b
-4-

C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 4 D.?x∈R,使得 sinx+cosx= 成立 3 [答案] D [解析] 对于 A,当 a⊥b 时,a· b=0 也成立,此时不一定是 a=0 或 b=0; 对于 B,当 a=0,b=1 时,该命题就不成立; 对于 C,b2=ac 是 a,b,c 成等比数列的必要不充分条件; π 4 对于 D,因为 sinx+cosx= 2sin(x+ )∈[- 2, 2],且 ∈[- 2, 2],所以该命题正 4 3 确. 12.下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题是真命题; a b ④若命题 p:?x∈R,x2+1≥1,命题 q:?x∈R,x2-x-1≤0,则命题 p∧(? q)是真命 题.其中真命题为( A.①②③ C.①③④ [答案] A [解析] 由 x2+2x>4x-3 推得 x2-2x+3=(x-1)2+2>0 恒成立,故①正确;根据基本不 1 1 等式可知要使不等式 log2x+logx2≥2 成立需要 log2x>0, ∴x>1, 故②正确; 由 a>b>0 得 0< < , a b c c 又 c<0,可得 > ,则可知其逆否命题为真命题,故③正确;命题 p 是真命题,命题 q 是真命 a b 题,所以 p∧(? q)为假命题,故④错误.所以选 A. y2 13.(文)(2013· 潍坊模拟)已知命题 p:?a0∈R,曲线 x2+ =1 为双曲线;命题 q:x2- a0 7x+12<0 的解集是{x|3<x<4}. 给出下列结论: ①命题“p 且 q”是真命题; ②命题“p 且(? q)” 是假命题; ③命题“(? p)或 q”是真命题; ④命题“(? p)或(? q)”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.①③④ [答案] D [解析] 因为命题 p 和命题 q 都是真命题, 所以命题“p 且 q”是真命题, 命题“p 且(? q)” 是假命题,命题“(? p)或 q”是真命题,命题“(? p)或(? q)”是假命题. a (理)(2014· 乐平模拟)若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是( x ) B.①②④ D.①②③④ ) ) B.①②④ D.②③④

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A.?a∈R, f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R, f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R, f(x)是偶函数 D.?a∈R, f(x)是奇函数 [答案] C [解析] 显然 a=0 时,f(x)=x2 为偶函数,故选 C. 14.(2014· 开原月考)已知命题 p:?m∈R,m+1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒 成立.若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 [答案] A [解析] 由 p∨q 为假命题可知 p 和 q 都是假命题, 即非 p 是真命题, 所以 m>-1; 再由 q: ?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立为假命题知 m≥2 或 m≤-2,∴m≥2,故选 A. 二、填空题 x2 y2 15.(文)方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 2 其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号). [答案] ③④ 5 3 5 [解析] 显然当 t= 时,曲线方程为 x2+y2= ,方程表示一个圆;而当 1<t<4,且 t≠ 时, 2 2 2 5 方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示双曲线,而当 1<t< 时,4-t>t-1>0,方程表示焦 2 点在 x 轴上的椭圆,故选项为③④. (理)(2013· 长沙调研)下列结论: ①若命题 p:?x∈R,tanx= 题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其 中正确结论的序号为________. 3 ;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(? q)”是假命 3 )

B.m≤-2 D.-2≤m≤2

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[答案] ①③ [解析] ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题,所以 p∧(? q)为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确.所以正确结论的序号为①③. 16.(2013· 扬州模拟)下列四个说法: ①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真; ②命题“设 a,b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; 1 1 ③“x>2”是“ < ”的充分不必要条件; x 2 ④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真. 其中说法不正确的序号是________. [答案] ①② [解析] ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故①错误;②此命题的逆否命 题为“设 a,b∈R,若 a=3 且 b=3,则 a+b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命 1 1 1 1 2-x 1 1 题,②错误;③若 < ,则 - = <0,解得 x<0 或 x>2,所以“x>2”是“ < ”的充分不必 x 2 x 2 2x x 2 要条件,故③正确;④否命题和逆命题是互为逆否命题,真假性相同,故④正确. 三、解答题 17.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点. → → (1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA· OB=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)证明:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x=3, 此时, 直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6)、 B(3,- 6). → → ∴OA· OB=3. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.
?y2=2x, ? 由? 得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6. ?y=k?x-3?, ?

1 1 2 又∵x1= y2 1,x2= y2, 2 2 1 → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2= (y1y2)2+y1y2=3. 4 → → 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么OA· OB=3”是真命题. → → (2)逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 B 两点, 如果OA· OB=3, 那么直线过点 T(3,0).

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该命题是假命题. 1 ? → → 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B? OB=3, ?2,1?,此时OA· 2 直线 AB 的方程为 y= (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3 1 18.(文)已知命题 p:在 x∈[1,2]时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立;命题 q:函数 f(x)=log 3 (x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数 a 的取值范围. [解析] ∵x∈[1,2]时,不等式 x2+ax-2>0 恒成立, 2-x2 2 ∴a> = -x 在 x∈[1,2]上恒成立, x x 2 令 g(x)= -x,则 g(x)在[1,2]上是减函数, x

∴g(x)max=g(1)=1, ∴a>1.即若命题 p 真,则 a>1. 1 又∵函数 f(x)=log (x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数, 3 ∴u(x)=x2-2ax+3a 是[1,+∞)上的增函数,且 u(x)=x2-2ax+3a>0 在[1,+∞)上恒成 立, ∴a≤1,u(1)>0,∴-1<a≤1, 即若命题 q 真,则-1<a≤1. 综上知,若命题“p∨q”是真命题,则 a>-1. (理)(2014· 浙江绍兴第一中学诊断)已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=loga(x+1)在 x∈(0,+ ∞)上单调递减,q:曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.若“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题,求 a 的取值范围. [解析] 当 0<a<1 时,函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)内递减. 1 5 曲线 y=x2+(2a-3)x+1 与 x 轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0,即 a< 或 a> . 2 2 1 5 1 (1)若 p 正确,且 q 不正确,则 a∈(0,1)∩[ , ],即 a∈[ ,1); 2 2 2 1 5 5 (2)若 p 不正确,且 q 正确,则 a∈(1,+∞)∩[(0, )∪( ,+∞)],即 a∈( ,+∞). 2 2 2 1 5 综上所述,a 的取值范围是[ ,1)∪( ,+∞). 2 2

-8-


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