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山东省聊城三中2013届高三上学期第一次质量检测数学文试题


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山东省聊城三中 2013 届高三上学期第一次质量检测数学文试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 。 1. 函数 f ? x ? ? A. ?0,???
2

2x

? 1 的定义域为 log 2 x
B. ?1,?? ?



) C. ?0,1? ( )
2

D. ?0,1? U ?1,???

2. 命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 D. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

3. 下列函数中,既是偶函数又在 ?0,??? 上单调递增的函数是 A. y ? x
3

(

) D. y ? 2
?x

B. y ? x ? 1
2

C. y ? ? x ? 1
2

4. 已知 p : 一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0(a ? 0) 有一个正根和一个负根,则 p 的一个充 分不必要条件是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?1 D. a ? 1 5. 若角 ? 的终边上有一点 P(?4, a) ,且 sin ? ? cos? ? ? A. 3 B. ? 3 C.

16 或 3 3

12 ,则 a 的值为( 25 16 D. 或?3 3
)



6 .下图给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是(

A. ①y ? x 3 ,②y ? x2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 C. ①y ? x ,②y ? x ,③y ?
2 3 1 x 2 ,④y

1

1

B. ①y ? x3 ,②y ? x2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 D. ①y ?
1 x 3 ,②y

1

?x

?1

?

1 x 2 ,③y

? x 2 ,④y ? x ?1

7.已知 sin? A.-79

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? , 则 cos? ? 2? ? 的值是( ?6 ? 3 ? 3 ?
B.-13 C.13 D.79

)

8.如果数列 {an } 的通项公式 an ?

1 n ? n ?1

,则该数列的通项公式为(



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A. an ? 2(n ? n ? 1)
2

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n

B. an ? 3 ? 2

C. an ? 3n ? 1

D. an ? 2 ? 3

n

, 9.设等差数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ,若 a1 ?? 11 a4 ? a6 ?? 6 ,则当 sn 取最小值时,n 等
于( A. 6 ) B.7 C. 8 D.9 )

10. 已知函数 f ?x ? ? A ? x k? ?

3 sin x ? cos x, x ? R ,若 f ?x ? ? 1, 则 x 的取值范围为(
B. ? x 2k? ?

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? ? x ? k? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

C ? x k? ?

? ?

?
6

? ? ? 5? ? 5? , k ? Z ? . D. ? x 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ? Z? 6 6 6 ? ? ?

11.已知数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ,且

s s4 1 ? , 则 8 等于 s8 3 s16





A.

1 8

B.

1 3

C.

1 9

D.

3 10
2, 当 x ? [0, 2] 时 , f ( x) ? ( x ? 1) ) D.8
2

12. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 周 期 为

, 如 果

g? x? ?
A.2

x ?f ? ? l

o 5 gx ? ,则函数 y ? g ? x ? 的所有零点之和为( 1
B.4 C.6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上 13.曲线 y ? x ? x ? 1 在点 ?1,3? 处的切线方程是__________________.
3

14.已知 0 ? ? ?

?

?? ? , 且 tan? ? ? ? ? 3 ? 2 ,则 ? ? ___________. 3? 2 ?
3

15.若函数 f ?x ? ? x ? ax ? 1 在 R 上单调递增,实数 a 的取值范围为___________. 16.函数 f ? x ? 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ? x ? 为 单函数.例如,函数 f ?x ? ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题: ①函数 f ?x ? ? x (x ? R)是单函数;
2

②若 f ? x ? 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ? x ? 在某区间上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 三.解答题:本大题共 5 小题,满分 56 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. 本小题满分 10 分) ?ABC 中, , B , 的对边分别为 a, b, c , ( 在 且 C A

c B o s b , ?? c C o s 2a ? c

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求: (1)角 B 的大小;

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(2)若 b ? 13 , a ? c ? 4, 求 ?ABC .

18. (本小题满分 10 分)如图, 在平面直角坐标系系 xOy 中, Ox 轴为始边作两个锐角 ? , ? , 以

他们的终边分别于单位圆相交于 A, B 两点,已知 A, B 的横坐标分别为 (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2 ? 的值.

2 2 5 , . 10 5

19(本小题满分 12 分)某商店预备在一个月内购入每张价值 20 元的书桌共 36 台,每批购入 x 台( x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月共用去运费和保管费 52 元,现在全月 只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f (x) ; (2)能否恰当的安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

20.(本小题满分 12 分)若向量 m ? (sin ?x, 3 sin ?x), n= ?cos?x, sin ?x ?(? ? 0) ,在函数

f ?x ? ? m·n+ t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为

? ? ?? ,且当 x ? ?0, ? 时, f (x) 的最 4 ? 3?

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大值为 3 . (1) (2) 求函数 f (x) 的解析式;

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求函数 f (x) 的单调递增区间.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? ax ? ln x, 其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (1)当 a ? ?1时,求 f (x) 的最大值; (2)若 f (x) 在区间 ?0, e?上的最大值为-3,求 a 的值; (3)当 a ? ?1时,推断方程 f ?x ? ?

ln x 1 ? 是否有实数解. x 2

聊城三中高三年级质量检测数学试题(文)答案

一.

选择题 1-5 DBBCC

6-10 BABAB 14.

11-12 DD 16.①③

二.填空题 13. 4 x ? y ? 1 ? 0 三.解答题

? 4

15. a ? 0

cos B b 17.解:? ?? , cos C 2a ? c
2
2

?a ? ?a

2 2

? c 2 ? b 2 2ab b ?? , 2 2 2a ? c ? b ? c 2ac

? ?

整理得 a ? c ? b ? ?ac, ? cos B ?
2

a2 ? c2 ? b2 ac 1 ?? ?? , 2ac 2ac 2

从而 B ? 120

? 2 2

(2)由余弦定理得: a ? c ? ac ? 13 又 a ? c ? 4,? a ? c ? 2ac ? 16
2 2

由①②得 ac ? 3. ? S ?ABC ?

1 1 3 3 ac sin B ? ? 3 ? sin120 ? ? . 2 2 4
2 2 5 , cos ? ? , ?? , ? 为 锐 角 , 10 5

18. 由 三 角 函 数 定 义 得 : cos? ?

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? sin ? ?

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7 2 5 1 , sin ? ? ,? tan? ? 7, tan ? ? . 10 5 2

1 tan? ? tan ? 2 ? ?3. (1) tan?? ? ? ? ? ? 1 1 ? tan? tan ? 1? 7 ? 2 7?
1 2 tan ? 2 ? 4, (2) tan 2 ? ? ? 2 2 3 1 ? tan ? ?1? 1? ? ? ?2? 2?

4 tan? ? tan 2? 3 ? ?1 . ? tan?? ? 2? ? ? ? 4 1 ? tan? tan 2? 1? 7? 3 3? 3? ,?? ? 2? ? . ?? , ? 为锐角,? 0 ? ? ? 2? ? 2 4 7?
19.解:(1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分

36 , 由 时 ? 4 ? k ? 20 x x?4 x 144 ? f ?x ? ? ? 4 x 0 ? x ? 36, x ? N ? x 144 (2)由(1)知? f ?x ? ? ? 4 x 0 ? x ? 36, x ? N ? x

f ?x ? ?

,

?

?

36 批,每批价值 20 x 元,由题意 x 16 1 得 y ? 52 k? ? 80 5

?

?

? f ??x ? ? ?

144 ? 144 ? 4 x 2 4 x 2 ? 36 ?4? ? x2 x2 x2
2

?

?

令 f ??x ? ? 0 ,即 x ? 36 ? 0 解得 x ? 6 或 x ? ?6
2 令 f ??x ? ? 0 ,即 x ? 36 ? 0 解得 ? 6 ? x ? 6 .? 0 ? x ? 36

? f ?x ? 在 ?0,6 ? 上单调递减,在 ?6,36 ? 上单调递增.

?当 x ? 6 时, f ? x ? 取得最小值, f ?x ?min ? f ?6? ?
故需每批购入 6 张书桌,可使资金够用. 20.解:由题意得

144 ? 4 ? 6 ? 48 . 6

f ?x ? ? m﹒n+ t ? sin ?x cos?x ? 3 sin 2 ?x ? t
? 1 3 3 ?? 3 ? sin 2?x ? cos 2?x ? ? t ? sin? 2?x ? ? ? ?t 2 2 2 3? 2 ?

(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为
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? ,? f ?x ? 的最小周期 T ? ? 4

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?

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?? 3 2? ? ?t ? ? ,? ? ? 1 ,? f ?x ? ? sin? 2 x ? ? ? 3? 2 2? ?
? ? ? 3 3? ? ? ?? , 时, sin? 2 x ? ? ? ?? ?,? f ? x ? ? t , 3 ? t , ? 3? ? 2 2 ? ? ? 3?

当 x ? ?0,

?

?

?? 3 ? ? f ?x ?max ? 3,? 3 ? t ? 3,? t ? 0, ? f ? x ? ? sin? 2 x ? ? ? . 3? 2 ?
(2) 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?
? ?

?
2

?k ? Z ? ,解得: k? ? ?
?
12 , k? ?

12

? x ? k? ?

5? , 12

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?k? ?

5? ? ?k ? Z ? . 12 ? ?

21.解:(1)当 a ? ?1时, f ?x ? ? ? x ? ln x , f ??x ? ? ?1 ? 当 0 ? x ? 1 时, f ??x ? ? 0 ;当 x ? 1时, f ??x ? ? 0 .

1 1? x . ? x x

? f ?x ? 在 ?0,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是减函数.
? f ?x ?max ? f ?1? ? ?1 .
(2)

1 1 ?1 ? f ??x ? ? a ? , x ? ?0, e?, ? ? ,?? ?, x x ?e ?

①若 a ? ? ,则 f ??x ? ? 0 ,从而 ? x ? 在 ?0.e ? 上是增函数,

1 e

? f ?x ?max ? f ?e ? ? ae ? 1 ? 0 .不合题意.
②若 a ? ? ,则由 f ??x ? ? 0, 得; a ?

1 e

1 1 ? 0. 即 0 ? x ? ? , x a

由 f ?x ? ? 0 ,得: a ? 从而 f ? x ? 在 ? 0,?

1 1 ? 0 ,即 ? ? x ? e . x a

? ?

1? ? 1 ? ? 上是增函数,在 ? ? , e ? 上是减函数. a? ? a ?

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? f ?x ?max ? f ? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? , 令 ? 1 ? ln ? ? ? ? ?3 , 则 ln ? ? ? ? ?2 , ? a? ? a? ? a? ? a?

1 ? e 2 ,即 a ? ?e 2 . a 1 ? ?e 2 ? ? ,? a ? ?e 2 为所求. e ??
③由①知当 a ? ?1时, f ?x ?max ? f ?1? ? ?1 ,? f ? x ? ? 1 .
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又令 g ?x ? ?

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ln x 1 1 ? ln x ,令 g ??x ? ? 0 ,得 x ? e . ? , g ??x ? ? x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, g ??x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?0, e ? 上单调递增; 当 x ? e 时, g ??x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?e,??? 上单调递减.

? g ?x ?max ? g ?e ? ?

1 1 ? ? 1? g ?x ? ? 1. ? f ? x ? ? g ? x ? , e 2 ln x 1 ln x 1 即 f ?x ? ? ? ,?方程 f ?x ? ? ? 没有实数解. x 2 x 2

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