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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5垂直关系教师用书文


2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系教师用 书 文 北师大版

1.直线与平面垂直 图形 条件 结论

a⊥b,b ? α
(b 为 α 内的任意一条直线) 判定

a⊥α

a⊥m,a⊥n,m、n ? α ,m∩n=O

a⊥α

a∥b,a⊥α

b⊥α

性质

a⊥α ,b ? α

a⊥b

a⊥α ,b⊥α

a∥b

2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直 α ⊥β 图形语言 符号语言

l?β ? ?
? l⊥α ?

??

1

如果两个平面互相垂直,那么在一个 性质 平面内垂直于它们交线的直线垂直于 定理 另一个平面 错误!? l⊥α

【知识拓展】 重要结论: (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一 个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α .( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b.( √ ) (4)若 α ⊥β ,a⊥β ? a∥α .( × ) (5)若直线 a⊥平面 α ,直线 b∥α ,则直线 a 与 b 垂直.( √ )

1.(教材改编)下列命题中不正确的是(

)

A.如果平面 α ⊥平面 β ,且直线 l∥平面 α ,则直线 l⊥平面 β B.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β C.如果平面 α 不垂直于平面 β ,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D.如果平面 α ⊥平面 γ ,平面 β ⊥平面 γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ 答案 A 解析 根据面面垂直的性质,知 A 不正确,直线 l 可能平行平面 β ,也可能在平面 β 内. 2.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m, 则“α ⊥β ”是“a⊥b”的( )

2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 α ⊥β ,因为 α ∩β =m,b? β ,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得

b⊥α ,又 a ? α ,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,且 a,m 共面,一定有 b⊥a,
但不能保证 b⊥α ,所以不能推出 α ⊥β . 3.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则( A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B.若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α C.若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 答案 C 解析 A 中,由 m⊥n, n∥α ,可得 m ? α 或 m∥α 或 m 与 α 相交,错误;B 中,由 m∥β , β ⊥α ,可得 m ? α 或 m∥α 或 m 与 α 相交,错误;C 中,由 m⊥β ,n⊥β ,可得 m∥n, 又 n⊥α ,则 m⊥α ,正确;D 中,由 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,可得 m 与 α 相交或 m ? α 或 )

m∥α ,错误.
4.(2016·深圳模拟)在正四面体 ABCD 中,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中点,下面的结论 不正确的是( A.BC∥平面 AGF B.EG⊥平面 ABF C.平面 AEF⊥平面 BCD D.平面 ABF⊥平面 BCD 答案 C 解析 易知点 A 在平面 BCD 上的投影在底面的中心,而中心不在 EF 上,所以平面 AEF⊥平面 )

BCD 错误,选 C.
5.(教材改编)在三棱锥 P-ABC 中,点 P 在平面 ABC 中的投影为点 O. (1)若 PA=PB=PC,则点 O 是△ABC 的________心. (2)若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是△ABC 的________心.
3

答案 (1)外

(2)垂

解析 (1)如图 1,连接 OA,OB,OC,OP, 在 Rt△POA、Rt△POB 和 Rt△POC 中,PA=PC=PB, 所以 OA=OB=OC,即 O 为△ABC 的外心.

(2)如图 2,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于 H,D,G. ∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P, ∴PC⊥平面 PAB,AB ?平面 PAB,∴PC⊥AB, 又 AB⊥PO,PO∩PC=P, ∴AB⊥平面 PGC, 又 CG ?平面 PGC, ∴AB⊥CG,即 CG 为△ABC 边 AB 的高. 同理可证 BD,AH 为△ABC 底边上的高, 即 O 为△ABC 的心.

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 (2016·全国甲卷改编)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6, 5 点 E, F 分别在 AD, CD 上, AE=CF= , EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置. OD′ 4 = 10.

证明:D′H⊥平面 ABCD. 证明 由已知得 AC⊥BD,AD=CD.
4

又由 AE=CF 得 = ,故 AC∥EF. 因此 EF⊥HD,从而 EF⊥D′H. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB -AO =4. 由 EF∥AC 得 =
2 2

AE CF AD CD

OH AE 1 = . DO AD 4

所以 OH=1,D′H=DH=3. 于是 D′H +OH =3 +1 =10=D′O ,故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF, 而 OH∩EF=H,且 OH,EF ?平面 ABCD, 所以 D′H⊥平面 ABCD. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α ? b⊥α );③面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ? a⊥β );④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (2015·江苏)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1.设 AB1 的 中点为 D,B1C∩BC1=E.
2 2 2 2 2

求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 证明 (1)由题意知,

E 为 B1C 的中点,
又 D 为 AB1 的中点,因此 DE∥AC. 又因为 DE 平面 AA1C1C,AC ?平面 AA1C1C,

所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱,
5

所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC ?平面 ABC, 所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1 ?平面 BCC1B1,

BC ?平面 BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1 ?平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C ?平面 B1AC,AC∩B1C=C, 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1 ?平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别 为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点.

(1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN. 证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H,连接 EH,DH.

又 E 为 PB 的中点,

6

1 所以 EH 綊 AB. 2 1 又 CD 綊 AB, 2 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形,所以 CE∥DH. 又 DH ?平面 PAD,CE 所以 CE∥平面 PAD. 方法二 连接 CF. 平面 PAD.

因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB, 2 所以 AF=CD. 又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD,又 CF 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF 平面 PAD,PA ?平面 PAD, 平面 PAD,AD ?平面 PAD,

所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE ?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点,所以 EF∥PA. 又因为 AB⊥PA, 所以 EF⊥AB,同理可证 AB⊥FG. 又因为 EF∩FG=F,EF ?平面 EFG,FG ?平面 EFG.

7

所以 AB⊥平面 EFG. 又因为 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD,又 AB∥CD,所以 MN∥AB, 所以 MN⊥平面 EFG. 又因为 MN ?平面 EMN,所以平面 EFG⊥平面 EMN. 引申探究 1.在本例条件下,证明:平面 EMN⊥平面 PAC. 证明 因为 AB⊥PA,AB⊥AC, 且 PA∩AC=A,所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD,CD∥AB,所以 MN∥AB, 所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN ?平面 EMN, 所以平面 EMN⊥平面 PAC. 2.在本例条件下,证明:平面 EFG∥平面 PAC. 证明 因为 E,F,G 分别为 PB,AB,BC 的中点, 所以 EF∥PA,FG∥AC, 又 EF 平面 PAC,PA ?平面 PAC,

所以 EF∥平面 PAC. 同理,FG∥平面 PAC. 又 EF∩FG=F, 所以平面 EFG∥平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义; ②面面垂直的判定定理(a⊥β ,a ? α ? α ⊥β ). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. (2016·江苏)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.

8

求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明 (1)由已知,DE 为△ABC 的中位线, ∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得 AC∥A1C1, ∴DE∥A1C1, 又∵DE 平面 A1C1F,A1C1 ?平面 A1C1F,

∴DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1, ∴AA1⊥A1C1, 又∵A1B1⊥A1C1,且 A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面 ABB1A1, ∵B1D ?平面 ABB1A1, ∴A1C1⊥B1D, 又∵A1F⊥B1D,且 A1F∩A1C1=A1, ∴B1D⊥平面 A1C1F, 又∵B1D ?平面 B1DE, ∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 题型三 直线、平面垂直的综合应用 例 3 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC, △PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.

9

(1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. (1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD +BD =AB ,∴AD⊥BD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD ?平面 ABCD,∴BD⊥平面 PAD. 又 BD ?平面 MBD, ∴平面 MBD⊥平面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD,
2 2 2

∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴PO=2 3. 在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 思维升华 垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积. (2016·全国乙卷)如图,已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶
10

点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于 点 G.

(1)证明:G 是 AB 的中点; (2)作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积. (1)证明 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D, 所以 AB⊥PD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E,所以 AB⊥DE. 因为 PD∩DE=D,PD,DE 都在平面 PED 内, 所以 AB⊥平面 PED,又 PG 在平面 PED 内, 故 AB⊥PG. 又由已知可得,PA=PB,从而 G 是 AB 的中点. (2)解 在平面 PAB 内, 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F, F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.

理由如下: 由已知可得 PB⊥PA,PB⊥PC,又 EF∥PB,所以 EF⊥PA,EF⊥PC,PC∩PA=P,PC 与 PA 都在 平面 PAC 中,因此 EF⊥平面 PAC,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心.由(1)知,G 是

AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD= CG.
由题设可得 PC⊥平面 PAB,DE⊥平面 PAB, 2 1 所以 DE∥PC,因此 PE= PG,DE= PC. 3 3 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PE=2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中, 可得 EF=PF=2,
11

2 3

1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V= × ×2×2×2= . 3 2 3

16.立体几何证明问题中的转化思想

典例 (12 分)如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点.

求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相 互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证 明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 NK.

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,

C1D1∥CD,C1D1=CD.[2 分]
∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K,

12

∴四边形 DD1KN 为平行四边形,[3 分] ∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN, ∴四边形 AA1KN 为平行四边形,∴AN∥A1K.[4 分] ∵A1K ?平面 A1MK,AN ∴AN∥平面 A1MK.[6 分] (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点, ∴BM∥C1K,BM=C1K, ∴四边形 BC1KM 为平行四边形,∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C, 平面 A1MK,

BC1 ?平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.[10 分] ∴MK⊥B1C. ∵A1B1 ?平面 A1B1C,B1C ?平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK ?平面 A1MK, ∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK.[12 分]

1. 已知直线 m, n 和平面 α , β , 若 α ⊥β , α ∩β =m, 要使 n⊥β , 则应增加的条件是( A.n ? α 且 m∥n C.n ? α 且 n⊥m 答案 C 解析 由面面垂直的性质定理知选 C. 2.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 α ⊥β ,m ? α ,n ? β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m ? α ,n ? β , ,则 m∥n C.若 m⊥n,m ? α ,n ? β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β ) B.n∥α D.n⊥α

)

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答案 D 解析 A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;B 中,m 与 n 可平行、可异面;C 中,若 α ∥β , 仍然满足 m⊥n,m ? α ,n ? β ,故 C 错误;故选 D. 3. (2016·包头模拟)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1 垂直底面 A1B1C1, 底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( )

A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE 与 B1C1 是异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 答案 C 解析 A 不正确,因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中,故不是异面直线;B 不正确,由题意知, 上底面 ABC 是一个正三角形,故不可能存在 AC⊥平面 ABB1A1;C 正确,因为 AE,B1C1 为在两 个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;D 不正确,因为 A1C1 所在的平面与 平面 AB1E 相交,且 A1C1 与交线有公共点,故 A1C1∥平面 AB1E 不正确,故选 C. 4.正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于( A.A′C′ C.A′D′ 答案 B 解析 连接 B′D′, B.BD D.AA′ )

∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且 A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE ?平面 CC′E,
14

∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE. 5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线 段 BC 的长.其中正确的是( )

A.①② C.① 答案 B

B.①②③ D.②③

解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, ∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC, 又 PC ?平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA, ∵PA ?平面 PAC,OM 平面 PAC,∴OM∥平面 PAC;

对于③, 由①知 BC⊥平面 PAC, ∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离, 故①②③都正确. 6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC 和△PAC 的边所在的直线中,与 PC 垂直的 直线有________;与 AP 垂直的直线有________.

答案 AB、BC、AC AB 解析 ∵PC⊥平面 ABC, ∴PC 垂直于直线 AB, BC, AC; ∵AB⊥AC, AB⊥PC, AC∩PC=C, ∴AB⊥ 平面 PAC,∴与 AP 垂直的直线是 AB. 7.如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 且底面各边都相等, M 是 PC 上的一动点, 当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

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答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 解析 由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC ?平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD. 8.如图, PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点, E,F 分别是点 A 在 PB,

PC 上的射影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,且 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且 BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC, ∴AF⊥PB,又 AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF,∴PB⊥EF. 故①②③正确. 9.已知 α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β ,且 α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命题,如 果把 α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题 有________个. 答案 2 解析 若 α ,β 换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ ? b⊥γ ”,此命题为真命题;

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若 α ,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥β ,且 a⊥b? b⊥β ”,此命题为假命题;若 β , γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥α ,且 b⊥α ? a⊥b”,此命题为真命题. 10.(2016·四川)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC 1 =CD= AD. 2

(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为所求的一个点,理由如下: 连接 BM,CM.

1 因为 AD∥BC,BC= AD, 2 所以 BC∥AM,且 BC=AM, 所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CM∥AB. 又 AB ?平面 PAB,CM 所以 CM∥平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 1 因为 AD∥BC,BC=CD= AD, 2 所以直线 AB 与 CD 相交, 所以 PA⊥平面 ABCD, 从而 PA⊥BD. 又 BC∥MD,且 BC=MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形, 平面 PAB.

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1 所以 BM=CD= AD,所以 BD⊥AB. 2 又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD ?平面 PBD, 所以平面 PAB⊥平面 PBD. 11.(2016·北京)如图,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)求证:DC⊥平面 PAC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC; (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说明理由. (1)证明 ∵PC⊥平面 ABCD,DC ?平面 ABCD, ∴PC⊥DC.又 AC⊥DC,PC∩AC=C,PC ?平面 PAC,AC ?平面 PAC,∴DC⊥平面 PAC. (2)证明 ∵AB∥CD,CD⊥平面 PAC, ∴AB⊥平面 PAC,又 AB ?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F,使得 PA∥平面 CEF.

证明如下: 取 PB 的中点 F,连接 EF,CE,CF,又∵E 为 AB 的中点,∴EF 为△PAB 的中位线,∴EF∥PA. 又 PA 平面 CEF,EF ?平面 CEF,∴PA∥平面 CEF.

12.(2016·西安铁一中学模拟)如图,已知 AF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形

ABCD 为直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.
(1)求证:AC⊥平面 BCE; (2)求三棱锥 E-BCF 的体积.

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(1)证明 过 C 作 CM⊥AB,垂足为 M,

又∵AD⊥DC,∴四边形 ADCM 为矩形, ∴AM=MB=2, ∵AD=2,AB=4,∴AC=2 2,CM=2,BC=2 2, ∴AB =AC +BC ,∴AC⊥BC, ∵AF⊥平面 ABCD,BE∥AF, ∴BE⊥平面 ABCD, 又∵AC ?平面 ABCD,∴AC⊥EB, ∵EB∩BC=B,∴AC⊥平面 BCE. (2)∵AF⊥平面 ABCD,∴AF⊥CM, 又 CM⊥AB,AB∩AF=A, ∴CM⊥平面 ABEF, 1 1 ∴VE-BCF=VC-BEF= · ·BE·EF·CM 3 2 1 8 = ·2·4·2= . 6 3
2 2 2

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