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数学:1.2.2《直线与椭圆的位置关系》课件(苏教版选修2-1)


直线与椭圆的位置关系

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

怎么判断它们之间的位置关系? d=r 几何法: d>r 代数法:?<0 ?=0

d<r

?>0

问题2:椭圆与直线的位置关系?

问题3:怎么判断它们之间的位置关系

?能用几何法吗?

不能! 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法

----求解直线与二次曲线有关问题的通法。

例1:已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

4 ? x1 ? x2 ? ? 5 由韦达定理 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少? 弦长公式:

| AB |? 1 ? k 2 | x A ? xB |
? 1 ? k 2 (x A ? x B )2 ? 4 x A x B

小结:椭圆与直线的位置关系及判断方法

判断方法
(1)联立方程组

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。

小结:直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
2、直线与其它二次曲线相交的弦长 (1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)利用弦长公式:
2 |AB| = 1 ? k 2 · x 1 ? x 2) ? 4x 1 x 2 (

l 2
r d A(x1,y1)

通法

=

1?

1 · y1 ? y2) y1 y2 ( ? 2 k

B(x2,y2)

k 表示弦的斜率,x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标,一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2

设而不求

练习

x2 ? y 2 ? 1 被过右焦点且垂直于x轴 1、求椭圆 4
的直线所截得的弦长。

通径

2b 2 a

2、中心在原点,一个焦点为F(0, 50)的椭圆被 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2,求椭圆 方程。

例2
x2 y2 ? ?1 椭圆 45 20

的两个焦点为F1 、F2 ,过左焦点作

直线与椭圆交于A,B 两点,若△ AB F2 的面积为20,

求直线的方程。

y
A(x1 , y1)

o
F1
B(x2 , y2)

F2

x

变题:假如直线是过原点, 其它条件不变,求直线的方程。

例3
若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点,M
为AB中点,直线0M(0为原点)的斜率为
2 ,且 2

OA⊥OB,求椭圆方程。
变式

OA⊥OB

| AB |? 2 2

练习:
x2 y2 ? ? 1 的弦被(4,2)平分,那 1、如果椭圆被 36 9

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

D



B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 x2 y2 ? ? 1 恰有公共点,则m的范围 2、y=kx+1与椭圆 5 m





C

A、(0,1)

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )

3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线,
则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件; 2、弦长的计算方法: (1)垂径定理:|AB|= 2 r 2 ? d 2 (只适用于圆) (2)弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (

1 ( ? = 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 (适用于任何曲线) k 3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。


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