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1.1. 正弦定理(两课时)


问题:为了测定河岸A点到对岸C点的距离, 问题:为了测定河岸A点到对岸C点的距离,在岸边选定 正弦定理 ∠ABC=120o,∠BAC=45o, BAC=45 公里长的基线AB 并测得∠ AB, 1公里长的基线AB,并测得 ABC=120
如何求 如何求A、C两点的距离? 两点的距离?

.C .B

已知三角形的两个角和 一条边,求另一条边。 一条边,求另一条边。

A.

正弦定理

正弦定理

a b c sin A = , sin B = , sin C = 1 = c c c 对于一般的三角形
a b 是否也有这个关系? 是否也有这个关系? c c= ,c = ,c = sin A sin B sin C
c

在Rt⊿ABC中,有:

B a C

a b c = = sin A sin B sinC A

b

正弦定理

B
'

Q ∠BAB = 90°, ∠C = ∠B
'

a b 同理 = 2 R, = 2R sin A sin B a b c ∴ = = = 2R sin A sin B sin C

c ∴ sin C = sin B = 2R c ∴ = 2R sin C
'

c A O b B/

a C

正弦定理
A O B B` b C A O b C O A b C

B B` B b =2R sinB a b c = = =2R. sinA sinB sinC

正弦定理
在一个三角形中, 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 C C 正弦的比相等, 正弦的比相等,即
a b c   = = = 2R sin A sin B sin C

bb

a
B

c

A

(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出其余边和角. 已知两边和其中一边的对角,可以求出其余边和角 已知两边和其中一边的对角

已知两角和任一边 求其他两边和一角。 两角和任一边, 应用一 已知两角和任一边,求其他两边和一角。 1 在△ABC 中,已知c = 10,A = 45 ,C = 30 求 b(保留两位有效数字)。 A.
。 。

解: ∵

b c = sin B sin C

c
B. a

b
.C

且 B =180° ? (A + C) = 105°
c ? sin B 10×sin 105° ∴ b= = sin C sin 30°

= 5 6 +5 2

≈ 19

变式训练:
(1) 在△ABC中,已知b= 3 ,A= 45°,B= 60°,求a。

a b b ? sin A 3 ? sin 45° = 解: ∵ ∴ a= = = 2 sin A sin B sin B sin 60°
ABC c= ,A= B= ,求b。 b (2) 在△ABC中,已知c= 3 A= 75°,B= 60° 2 解: C = 1800 ? ( A + B) = 180° ? (75° + 60°) = 45° ∵ b c = 又∵ sin B sin C c ? sin B 3 ? sin 60° 3 2 ∴b= = = sin C 2 sin 45°

已知两边和其中一边的对角 两边和其中一边的对角,求其余边和角 应用二 已知两边和其中一边的对角 求其余边和角 2、已知a=16, b= 16 3, A=30°,解三角形。
a b 解: = ∵ sin A sin B b sin A 16 3 sin 30o 3 ∴ sin B = = = a 16 2 A
C
16 3
300

16

16

B

B

∴ B=60°, 或B=120° C=90°,c = 32. a sin C = 16 . 当B=120°时 C=30° c = sin A

注意讨论多解

当 B=60°时

在上题 中,将已知条件改为以下几种情况, 结果如何? (1) b=20,A=60°,a=20√3 ; (2) b=20,A=60°,a=10√3 ; (3) b=20,A=60°,a=15. A b 60° B C

(1) b=20,A=60°,a=20√3 1 b sinA sinB= = 2 , a B=30°或150°, ∵ 150°+60°> 180°, ∴ B=150°(舍) C 20 A 60° B 20√3

(2) b=20,A=60°,a=10√3 b sinA sinB= =1 , a 20 B=90°. A 60° B C

(3) b=20,A=60°,a=15. b sinA sinB= = 2√3 , 3 a 20 2√3 ∵ > 1, 1 3 ∴ 无解. A 60° C

已知边a,b和角A,求其他边和角. 已知边 和角A,求其他边和角. 和角A,求其他边和角 A为锐角
C b A A B A B2 B1 A B a b C a b C a b C a

a<bsinA 无解

a=bsinA 一解

bsinA<a<b 两解

a≥b 一解

A为直角或钝角
C b A a B C b A a

a>b 一解

a≤b 无解

正弦定理
1. 在 △ABC中, (1)已知 =√3,A=45°,B=75°,则a=____. )已知c= , = ° = ° = √2 30° ° (2)已知c=2,A=120°,a=2√3,则B=____. (3)已知c=2,A=45°,a= 2√6 )已知 = , = ° = 3 ° ° B=_____________. = 75°或 15°

,则

2.在 ? ABC中, (1)已知 b = 3, c = 1, B = 60 o , 求 a , 和 A, C ;

思考

解: Q

b c = , s in B s in C
c sin B b = 1× sin 6 0 o 3 = 1 2

∴ sin C =

Q b > c , B = 60 o ,∴ C < B , C 为锐角, 为锐角, C = 30 o , A = 90 o

∴ a =

c2 + b2 = 2

( 2 )已知 a = 2 3 , b = 2 2 , B = 45 o , 求 A.
a sin B 2 3 sin 45 o 3 解: sin A = = = 2 b 2 2

思考

Q a > b ,∴ A > C (大边对大角 ) ∴ A = 60 o 或120 o
(3)已知a = 20, b = 28, A = 120o , 解这个三角形.
b s in A 28 sin 120 解 : s in B = Q = a 20
= 7 1 0 3
o

>1

∴ 本题无解

练习1、 练习 、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 中 : : : : , a:b:c=( C ) = A、1:2:3 、 C、1: 3 :2 、
π π π

B、3:2:1 、 D、2: 、
2π C、 或 、 3 3

3 :1
π

练习2、 练习 、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=( C ) 中 , = A、 、
3

B、 、

6

5π D、 或 、 6 6

练习3. 在 ?ABC中, 若 sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C , 则 ?ABC的 形状是 ( B )
A、等腰三角形 、 C、等腰直角三角形 、 B、直角三角形 、 D、不能确定 、

课时小结
定理 ——正弦定理 a = b = c 一个 正弦定理 二个 应用 ——已知两角和任一边 (只有一解) 已知两角和任一边 只有一解)

sin A sinB sinC

——已知两边和其中一边的对角
(有一解,两解,无解) 有一解,两解,无解)

小结
1. a b c = = =2R sinA sinB sinC (其中R为⊿ABC外接圆的半径)

正弦定理是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形:

(1)已知两角及一边; (2)已知两边及其中一边的对角.



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