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安徽省安庆市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解)


2013 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题 题号 选项 1.解析:
1? i i
3

1 B

2 D

3 B

4 D

5 A

6 B

7 C

8 D

9 B

10 C

?

1? i ?i

? ? 1 ? i ,故选 B。

考点:复数的基本运算 2.解析:∵ A ? { x | y ?
B ? {y | y ? 1 ?

1 x ?1

? ln x } ? { x | x ? 0 且 x ? 1} ,

x ? 2 } ? { y | y ? 1}

∴ A ? B ? ( 0 ,1) ,故选 D。 考点:集合的含义与运算。错误!未找到引用源。 3.解析: 2 a 6 ? a 8 ? 6 ? a 1 ? 3 d ? 6 ? a 4 ? 6 ,∴ S 7 ? 考点:等差数的通项与求和。 4.解析:∵ PF 1 ? PF 2 ? 0 ,∴ PF 1 ? PF 2 ,∴ | PF 1 ? PF 2 |? 2 | PO |? | F1 F 2 |? 2 10 , 故选 D。 考点:向量的运算与双曲线的性质。 5.解析:由题意得: g ( x ) ? sin[ 2 ( x ? ? ) ? 则 2? ?
?
3 ? k? ?

(a1 ? a 7 ) ? 7 2

? 7 a 4 ? 42 ,故选 B。

?
3

] ? sin( 2 x ? 2 ? ?

?
3

)

?
2

, k ? Z ,可得 ? 的最小正值为

?
12

,故选 A。

6. 解析:∵若 A 、 B 、 C 三点共线, ∴ AB ? ? AC 即 x a ? b ? ? ( a ? y b ) ? ?
?x ? ? ?1 ? ? y ? xy ? 1 ,故选 B。

A O D B C

考点:向量共线的充要条件与轨迹 7.解析:由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥, 如右图所示。则外接球球心为 AD 的中点,故 r ? ∴外接球的体积是
8 3 2

2 ,

? 。故选 C。

考点:三视图与几何体体积的计算。
2

8. 解析: ∵方程 x ? ax ? b ? 2 ? 0 ( a , b ? R ) 的两根分别错误! 未找到引用源。 在区间 ( ?? , ? 2 ] 和 [ 2 , ?? ) 上错误!未找到引用源。 , ∴?
?2 ? 2a ? b ? 0 ?2 ? 2a ? b ? 0

,由线性规划知识得: a ? b 错误!未找到引用源。的最小值为 4。故选 D。
2 2

考点:二次方程的根的分布和简单的线性规划。 9.解析:将极坐标方程 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 2 和 ? ? 1 化为直角坐标系下的方程得:

x? y ? 2

2 和x

2

? y

2

? 1 ,由数形结合易得:这两条切线的夹角的最大值为

?
3



故选 B 10.解析:设 f ( x ) ? x ? ax
3 2

? bx ? c 在区间 (1, 2 ) 上的三个零点为 x 1 、 x 2 、 x 3 ,

则 f ( x ) ? ( x ? x 1 )( x ? x 2 )( x ? x 3 ) , ∴ f (1) ? f ( 2 ) ? (1 ? x 1 )( 1 ? x 2 )( 1 ? x 3 )( 2 ? x 1 )( 2 ? x 2 )( 2 ? x 3 )
? ? [( x 1 ? 1)( 2 ? x 1 )][( x 2 ? 1)( 2 ? x 2 )][( x 3 ? 1)( 2 ? x 3 )]

? x1 ? 1 ? 2 ? x1 ? ? x 2 ? 1 ? 2 ? x 2 ? ? x 3 ? 1 ? 2 ? x 3 ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

2

2

2

? ?

1 64

∵ x 1 、 x 2 、 x 3 为三个零点,∴ x 1 、 x 2 、 x 3 互不相等,∴上式“=”不成立。 ∴ f (1) ? f ( 2 ) ? ? 二、填空题 11.-16; 12.4;
5

1 64

,故选 C.

13.6.2; 14. (1,2) 15.②③④ ;
5

11.解析:由 ( 2 x ? 1)( x ? 2 ) ? ( 2 x ? 1)[ x ? C 5 x ? ( ? 2 ) ? ? ? C 5 x ? ( ? 2 ) ? ( ? 2 ) ]
5 1 4 4 4 5

∴ a 0 ? a 1 ? ( ? 2 ) ? 2 ? ( ? 2 ) ? 5 ? ( ? 2 ) ? ? 16
5 4

考点:二项式定理. 12.解析:由框图知 S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2
1 3 11

? ? ,由 S ? 100 得:k=4.

考点: 程序框图
? 13.解析: ∵ 回归直线方程为 y ? 1 . 5 x ? 0 . 5 , x ? 3 ,∴样本中心点为(3,5)

又由于除去 ( 2 . 2 , 2 . 9 ) 和 ( 3 . 8 , 7 . 1) 这两个数据点后, x , y 的值没有改变,所以中心点也没有改变,设新
? 的回归直线 l 为 y ? 1 . 2 x ? b ,将样本中心点(3,5)代入解得: b ? 1 . 4 ,

当 x ? 4 时, y 的估计值为 6.2. 14.解析: 设 T ? x ? a x ,得 y ? lo g a T
2

当 0 ? a ? 1 时,得 y ? lo g a T 在区间[2,3]上是减函数且 T ? 0 . 所以 T ? x ? a x 在区间[2,3]上也是减函数,那么
2

a 2

? 3 且 3 ? 3 a ? 0 ,此种情况无解.
2

当 a ? 1 时,得 y ? lo g a T 在区间[2,3]上是增函数且 T ? 0 . 所以 T ? x ? a x 在区间[2,3]上也是增函数,那么
2

a 2

? 2 且 2 ? 2 a ? 0 ,解得 1 ? a ? 2 .
2

所以实数 a 的取值范围是(1,2). 15.解析: ①设 P 点的坐标为 P ( x 0 , y 0 ) ,则:
k PB k PB
1

?
2

y0 ? b x0
2

?

y0 ? b x0

?

y0 ? b
2

2

x0

2

? ?

b a

2 2

,∴①错误;
2 2 2

y

② PB 1 ? PB

? ( ? x 0 , ? b ? y 0 )( ? x 0 , b ? y 0 ) ? x 0 ? y 0 ? b
2 2

? 0,

B2 Q P

M

(∵ P ( x 0 , y 0 ) 在圆 x ? y

? b 外)∴②正确
2

x
F1 O B1 F2

③易知当点 P 在长轴的顶点上时, ? B 1 PB 2 最小,且 ? B 1 PB 2 为锐角, ∴设 ? PB 1 B 2 的外接圆半径为 r ,由正弦定理得:

A

2r ?

2b sin ? B 1 PB
2

?

2b sin ? B 1 AB
2

?

2b sin 2 ? OAB
2

? a

2b 2 ab
2

?
2

a

2

?b a

2



?b
2

∴r ?

a

2

?b 2a

2

,∴ ? PB 1 B 2 的外接圆半径的最大值为
y0 ? b x0

a

?b 2a

2

,∴③正确。

④∵直线 PB 1 的方程为: y ? b ?

x ……(1)

直线 QB 2 的方程为: y ? b ?
y0 ? b
2 2

y0 ? b ? x0

x ……(2)

(1) ? (2)得 y ? b ?
2 2

? x0

2

x

2

?

y b

2 2

?

x a

2 2

? 1 ,∴点 M 的轨迹为双曲线。

∴④正确。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解:? A ? (
? ?
, 4 2 ),? A ?

?
4

?(

?
2

,

3? 4

),? c o s ( A ?

?
4

) ? ? 1 ? s in ( A ?
2

?
4

) ? ?

2 10

? s in A ? s in [( A ? ? cos A ? 3 5

?
4

)?

?
4

] ? s in ( A ?

?
4

) cos

?
4

? cos( A ?

?
4

) s in

?
4

?

4 5

………4 分
2

(Ⅰ) f ( x ) ? cos 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin ∵ x ? R ,∴ f ( x ) ? [ ? 3 , ]
2 3

x ? 2 sin x ? ? 2 (sin x ?

1 2

) ?
2

3 2

………5 分

………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 s in x ? ∴ sin B ?
1 2

1 2

时, f ( x ) 取得最大值,
?
6

, ?B ?
BC sin A

或B ?
5

5? 6

(舍去)

由正弦定理知:

?

sin

?
6

? BC ? 8

………9 分

又 sin C ? sin( ? ?

?
6

? A ) ? sin(

5? 6

? A) ?

3? 4 3 10

………11 分

∴ S ? ABC ?

1 2

AC ? BC ? sin C ?

1 2

?5?8?

3? 4 3 10

? 6?8 3

……………12 分
D

17. (1)证明:在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 的中点
? ? AOD 、 ? BOC 为等腰直角三角形 ? ? AOB ? 90 …………2 分
o

O

C

A

B

H 为 AO 的中点 ? OH ? DH ?

2 2 2 2 5 2
A

D

O H

C

? BH

2

? BO

2

? OH

2

? ( 2) ? (
2

)

2

?

? BH

2

? DH

2

?

5 2

?(

2 2

)

2

? 3 ? BD

2

? BH ? DH

………… 4 分

B

又 DH ? OA , D H ∩ B H ? H ? DH ? 平面 ABCO,而 DH ? 平面 AOD
? 平面 AOD ? 平面 ABCO

………… 6 分

OB O (2) 分别以直线 OA 、 为 x 轴和 y 轴, 为坐标原点, 解: 建立空间直角坐标系, 如图所示.则 O ( 0 , 0 , 0 ) 、

H(

2 2

,0 ,0 ) 、 D (

2 2

,0 ,

2 2

)、

D

z

B (0,

2 , 0 ) .………… 8 分

O H x A

C

设平面 BHD 的一个法向量 n 1 ? ( x , y , z ) ,
?? ???? 由 n1 ? H B ? x ? 2 y ? ?? ???? ?? ? ? ? 由 n 1 ? H D ? z ? 0 ? ? n 1 ? ( 2 ,1, 0 ) , ? 令 y ?1 ? ?

B y

类似可求得平面 BOD 的一个法向量
n 2 ? (1, 0 , - 1)
? cos ? n 1 , n 2 ? ? 2 5? 2 ? 10 5
10 5

………… 10 分

所以二面角 O—DB—H 的余弦值为

………… 12 分
2

18.解: (Ⅰ)该选手恰好答题 4 道而通过的概率 P ? C 3 ( )
3

2

3

1 3

?

8 27

……3 分

(Ⅱ)由题意可知, ? 可取的值是 3 , 4 , 5 ……4 分
1 3 2 3 1 P (? ? 3 ) ? ( ) ? ( ) ? 3 3 3 8 2 2 2 1 2 P (? ? 5 ) ? C 4 ( ) ( ) ? 3 3 27 P (? ? 4 ) ? 1 ? 1 3 ? 8 27 ? 10 27

? 的分布列为

?

3
1 3

4
10 27

5
8 27

P

……10 分

所以 ? 的数学期望为 E ? ? 3 ?
2

1 3

? 4?

10 27

? 5?

8 27
2

?

107 27

.

……12 分

19.解: (1)由 a n ? 2 S n a n ? 1 ? 0 ? ( S n ? S n ? 1 ) ? 2 S n ( S n ? S n ?1 ) ? 1 ? 0
? S n ? S n ? 1 ? 1 ( n ? 2 ) ,∴ { S n } 为等差数列
2 2 2

……3 分 ……5 分

∵ S1 ? 2S1S1 ? 1 ? 0 ? S1 ? ?1 ,
2

又∵ { a n } 为正项数列,∴ S 1 ? 1 ∴ S n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? S n ?
2

n
? 2( n ? 1 ? n)

……6 分 ……9 分

(2)

1 Sn

?

1 n

? 2
1 Sn

2 n

?

2 n ?1 ? n



1 S1

?

1 S2

?? ?

? 2( 2 ? 1 ?

3 ?

2 ?? ?

n ?1 ?

n ) ? 2 ( n ? 1 ? 1) ? 2 ( S n ? 1 ? 1)



1 S1

?

1 S2

?? ?

1 Sn

? 2 ( S n ? 1 ? 1) 。

……12 分

注:第(2)小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明,请酌情给分。 20.证明: (1)设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 由 OA ? OB ? ? 1 ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? 1 ? x 1 x 2 ? ∴ x1 x 2 ? ? 2 ∵AB 的方程为: y ? y 1 ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x ? x1 ) ? y ?
x1 ? x 2 2 x? x1 x 2 2

x1 x 2 4

2

2

? ?1 ,

……3 分

∵ x 1 x 2 ? ? 2 ,∴AB 的方程为 y ? ∴直线 AB 恒过定点(0,1) (2)不妨设 x 2 ? x 1

x1 ? x 2 2

x ?1,

……6 分

则 AB 与抛物线围成的封闭区域的面积 S ?
x1 ? x 2 4 x 2 ? x1 12
x 2 ? x1 12

?

x2 x1

(

x1 ? x 2 2

x ?1?

x

2

) dx

……8 分
y

2
A

?

( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? x1 ) ?
2 2

1 6

( x 2 ? x1 )
3 3

B x
O

?

[ 3 ( x 1 ? x 2 ) ? 2 ( x 1 ? x 2 ? x 1 x 2 ) ? 12 ]
2 2 2

M

?

( x 1 ? x 2 ? 4 x 1 x 2 ? 12 )
2 2

?

x 2 ? x1 12

( x1 ? x 2 ? 4 x1 x 2 ? 6 x1 x 2 )
2 2

?

( x 2 ? x1 ) 12

3

……10 分 ∵ x 2 ? x1 , x 2 ? 0 ? x1 ∴ x 2 ? x1 ? x 2 ? ( ? x1 ) ? 2 ? x1 x 2 ? 2 2

∴S ?

( x 2 ? x1 ) 12

3

?

(2

2) 12

3

?

4 3

2

,“=”当且仅当 x 1 ? ? x 2 时成立。

∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为

4 3

2



……13分

另解:设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,AB 的方程为: y ? kx ? b 联立 ?
? y ? kx ? b ?x
2

? 2y

消去 y 得: x ? 2 kx ? 2 b ? 0
2

∴ x1 ? x 2 ? 2 k , x1 x 2 ? ? 2 b 由 OA ? OB ? ? 1 ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? 1 ? x 1 x 2 ? ∴ b ? 1 ,∴直线 AB 恒过定点 Q(0,1) 。……6 分 (2)由(1)知 AB 的方程为: y ? kx ? 1
x2 x1

……3 分
x1 x 2 4
2 2

? ? 1 ? x1 x 2 ? ? 2

不妨设 x 2 ? x 1 ,则 AB 与抛物线围成的封闭区域的面积 S ?
x 2 ? x1 6

?

(k x ? 1 ?

x

2

) dx ……8 分

2

?

k 2

( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? x1 ) ?
2 2

1 6

( x 2 ? x1 ) ?
3 3

[3 k ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ? x1 x 2 ) ? 6 ]
2 2

?

x 2 ? x1 6

[6 k

2

? (4k

2

? 2) ? 6]

?

1 3

( x 2 ? x1 ) ? 4 x1 x 2 ( k
2

2

? 2)

?

2 3

k

2

? 2 (k

2

? 2)

……11 分
? 2 3 ( k
2

? 2)

3

?

4 3

2

,“=”当且仅当 k ? 0 时成立。

∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为 21.证明: (1)∵ g ( x ) ? ln( ? x ? 1 ? ? ) ? ? ln x , ? ? ( 0 ,1) ∴ g '(x) ?
? ?x ? 1 ? ?
?

4 3

2

.

……13分

?
x

?

? (1 ? ? )( x ? 1)
x (? x ? 1 ? ? )

……2 分

∵ x ? 1, ? ? [0,1) ,∴ g ' ( x ) ? 0 ∴ g ( x ) 在 [1, ?? ) 上为增函数,∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 , ∴当 x ? [1, ?? ) 时, g ( x ) ? 0 恒成立. ……4 分 (2) f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 f ( x 1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) ? ln( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 ln x 1 ? ? 2 ln x 2
?

ln( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 ln x 1 ? (1 ? ? 1 ) ln x 2 ? 0

?

ln( ? 1

x1 x2

? 1 ? ? 1 ) ? ? 1 ln

x1 x2

? 0

……6 分

∵ x 1 ? x 2 ? 0 ,记

x1 x2

? x ,则 x ? [1, ?? )

设 h ( x ) ? ln( ? 1 x ? 1 ? ? 1 ) ? ? 1 ln x ( x ? 1) ? ln( ? 1 x ? 1 ? ? 1 ) ? ? 1 ln x , ∵正数 ? 1 , ? 2 满足: ? 1 ? ? 2 ? 1 ,∴ ? 1 ? ( 0 ,1) 由(1)知: h ( x ) ? ln( ? 1 x ? 1 ? ? 1 ) ? ? 1 ln x ? 0 在 [1, ?? ) 上恒成立。 ∴ f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 f ( x 1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) ……9 分 另证: ∵ f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 f ( x 1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) ? ln( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 ln x 1 ? ? 2 ln x 2 ? 0 设 h ( x ) ? ln( ? 1 x ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 ln x ? ? 2 ln x 2 , x ? [ x 2 , ?? ) 求导得: h '( x ) ?
?1 ?1 x ? ? 2 x 2
?

……6 分
?

?1
x

?

?1 x ? ?1 (?1 x ? ? 2 x 2 )
(?1 x ? ? 2 x 2 ) x

?1? 2 ( x ? x 2 )
(?1 x ? ? 2 x 2 ) x

∵ x ? [ x 2 , ?? ) ,∴ h ' ( x ) ?

?1? 2 ( x ? x 2 )
(?1 x ? ? 2 x 2 ) x

? 0 ,∴ h ( x ) 在 [ x 2 , ?? ) 上为增函数,

∴ h ( x ) ? h ( x 2 ) ? ln( ? 1 x 2 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 ln x 2 ? ? 2 ln x 2 ? 0 ∴ f ( ?1 x1 ? ? 2 x 2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) (3)结论:“对于任意的正数 ? 1 , ? 2 , ? 3 满足: ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 , 都有 f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ? ? 3 x 3 ) ? ? 1 f ( x 1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) ? ? 3 f ( x 3 ) ”。 证明如下:∵ f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ? ? 3 x 3 ) ? f [( ? 1 ? ? 2 )(
?1 ?1 ? ? 2 ?2 ?1 ? ? 2

……9 分 ……11 分
?2 ?1 ? ? 2
x2 ) ? ?3 x3 ]

?1 ?1 ? ? 2

x1 ?

由于 ( ? 1 ? ? 2 ) ? ? 3 ? 1 ,

?

? 1 ,利用(2)的结论可得:

f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ? ? 3 x 3 ) ? f [( ? 1 ? ? 2 )(

?1 ?1 ? ? 2

x1 ?

?2 ?1 ? ? 2

x2 ) ? ?3 x3 ]

? ( ? 1 ? ? 2 ) f [(

?1 ?1 ? ? 2
?1

x1 ?

?2 ?1 ? ? 2
?2 ?1 ? ? 2

x 2 )] ? ? 3 f ( x 3 )

? ( ? 1 ? ? 2 )[

?1 ? ? 2

f ( x1 ) ?

f ( x 2 )] ? ? 3 f ( x 3 )

? ?1 f ( x1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) ? ? 3 f ( x 3 ) 。

∴ f ( ? 1 x 1 ? ? 2 x 2 ? ? 3 x 3 ) ? ? 1 f ( x 1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) ? ? 3 f ( x 3 ) 成立。

……14 分


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