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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:1章 计数原理 本章测试


章末质量评估(一)
(时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.4 名不同科目的实习教师被分配到三个班级,每班至少有一人的不同分法有 ________. 解析 答案
2 3 将 4 名教师分三组, 然后全排列分配到不同的班级, 共有 C4 A3=36(种).
<

br />36 种

x2 y2 2.设集合 A={1,2,3,4},m,n∈A,则关于 x,y 的方程 m+ n =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的个数为________. 解析 答案
2 ∵m>n,∴有 C4 =6(个)焦点在 x 轴上的不同椭圆.

6

1 ?18 ? ? 的展开式中含 x15 的项的系数为________(结果用数值表示). 3.?x- 3 x ? ? 解析 设 Tr+1 为含 x15 的项, .

1? 18-r? ?-3?r 则 Tr+1=Cr 18x ? ? r 由 18-r-2=15 得 r=2.

? 1?2 ∴含 x15 的项的系数为 C2 18?-3? =17. ? ? 答案 17

1 ? ? 2- ?6 ? 4.? 3 ? 的展开式中的第四项是________. x? ? 解析
3 3 ?- T4=T3+1=C6 · 2· ? 3

? ?

1 ? ?3=-160. ? x x?

答案

160 - x

5. 从 5 位男生 4 位女生中选 4 位代表,其中至少有 2 位男生,且至少有 1 位女 生,分别到四个不同的工厂调查,则不同的分派方法有________种. 解析 “从 5 位男生 4 位女生中选 4 位代表,其中至少有 2 位男生,且至少
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C4+C5· C4)种;“分 有 1 位女生”的情况为:2 男 2 女、3 男 1 女,则有(C5·
2 2 3 1

别到四个不同的工厂调查 ” ,再在选出的代表中进行排列,则有 (C 2 C2 5· 4+
3 1 4 C5 · C4)A4 =2 400(种).

答案

2 400

6.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的 四位数的个数为________. 解析
1 2 1 3 分两类:①选 0.C2 C3C3A3=108(种);

2 4 ②不选 0.C3 A4=72(种).

∴共有 108+72=180(种). 答案 180

? 1? 7.(1+x+x2)?x-x?6 的展开式中的常数项为________. ? ? 解析 ? 1?6 ?x-x? 的展开式中的通项为 ? ?

1? 6-k? 6-2k ?- x?k=(-1)kCk Tk+1=Ck . 6x 6x ? ?
3 3 令 6-2k=0,得 k=3,T4=(-1)3C6 =-C6 .

7 令 6-2k=-1,得 k=2(舍).
4 -2 4 -2 令 6-2k=-2,得 k=4,T5=(-1)4C6 x =C6 x .

? 1? ∴(1+x+x2)?x- x?6 展开式的常数项为 ? ?
4 1×(-C3 6)+C6=-20+15=-5.

答案

-5

8.若多项式 x2+x10=a0+a1(x+1)+?+a9(x+1)9+ a10(x+1)10,则 a9=________. 解析 由于 a0+a1(x+1)+?+a9(x+1)9+

a10(x+1)10=x2+x10 =[-1+(x+1)]2+[-1+(x+1)]10
9 10 =?+C10 (-1)1· (x+1)9+C10 10(x+1)

则 a9=C9 (-1)=-10. 10· 答案 -10
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9.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选 派 4 人承担这项任务,不同的选法有________. 解析
2 第一步,从 10 人中选派 2 人承担任务甲,有 C10 种选派方法;第二步,

1 从余下的 8 人中选派 1 人承担任务乙,有 C8 种选派方法;第三步,再从余下 1 的 7 人中选派 1 人承担任务丙,有 C7 种选派方法.根据分步乘法计数原理易 2 1 得选派方法种数为 C10 · C1 C7 =2 520. 8·

答案

2 520

10. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中. 若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有________. 解析
1 先放 1、2 的卡片有 C3 种,再将 3,4,5,6 的卡片平均分成两组再放置有

2 C4 1 2 · A2 C4=18(种). 2种,故共有 C3· A2 2

答案

18

a? ? 11.设二项式?x- ?6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B.若 B=4A. x? ? 则 a 的值是________. 解析
6-k 展开式的通项为 Tk+1=Ck · (-a)k 6x



,故 A

2 4 =(-a)2C6 ,B=(-a)4C6 ,

由 B=4A,得 a2=4,又 a>0,故 a=2. 答案 2

12.二项式(1+sin x)n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一 5 项的值为2,则 x 在[0,2π]内的值为________. 解析
-1 n 二项式(1+sin x)n 的展开式中,末尾两项的系数之和 Cn n +Cn=1+n

5 1 3 =7,∴n=6,系数最大的项为第 4 项,T4=C6 (sin x)3=2,∴(sin x)3=8,∴ 1 sin x=2, π 5 又 x∈[0,2π],∴x=6或6π. 答案 π 5 6或6π
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13. 用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹 在两个奇数数字之间,这样的五位数有________. 解析
2 若 0 夹在 1、 3 之间, 有 A2 若 2 或 4 夹在 1、 3 中间, 2×3×A2=12(个),

考虑两奇夹一偶的位置,有 (2×2+2×2)×2=16(个),所以共有 12+16=28(个). 答案 28

14.若(1-2x)2 009=a0+a1x+?+a2 009x2 009(x∈R), a1 a2 a2 009 则 2 +22+?+22 009的值为________. 解析 1 a1 a2 a2 009 a1 a2 令 x=0, 则 a0=1, 令 x=2, 则 a0+ 2 +22+?+22 009=0, ∴ 2 +22+?

a2 009 +22 009=-1. 答案 -1

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)从 1,3,5,7,9 五个数字中选 2 个,0,2,4,6,8 五个数字中选 3 个,能组成多少个无重复数字的五位数? 解 从 5 个奇数中选出 2 个,再从 2、4、6、8 四个偶数中选出 3 个,排成五

2 3 5 位数,有 C5 · C4· A5 =4 800(个).从 5 个奇数中选出 2 个,再从 2,4,6,8 四个偶

数中再选出 2 个,将选出的 4 个数再选一个做万位数.余下的 3 个数加上 0
2 2 1 排在后 4 个数位上,有 C5 · C4· C4· A4 4=10×6×4×24=5 760(个).由分类加法 2 3 2 5 2 1 计数原理可知这样的五位数共有 C5 · C4· C5+A5 · C4· C4· A4 4=10 560(个).

16.(本小题满分 14 分)(1)求证:2n+2· 3n+5n-4 能被 25 整除; (2)求证:1+3+32+?+33n-1 能被 26 整除(n 为大于 1 的偶数). 证明 (1)原式=4(5+1)n+5n-4

n 1 n -1 n-2 n =4(C0 +C2 +?+Cn )+5n-4 n5 +Cn5 n5
-2 -1 n 1 n -1 =4(C0 +?+Cn 52+Cn 51+1)+5n-4 n5 +Cn5 n · n · -2 n 1 n -1 =4(C0 +?+Cn 52)+25n, n5 +Cn5 n ·

以上各项均为 25 的整数倍,故得证. 1-33n 1 3n (2)因为 1+3+32+?+33n-1= = (3 -1) 1-3 2

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1 1 =2(27n-1)=2[(26+1)n-1].
-1 0 n n-1 n 0 而(26+1)n-1=Cn 26 +C1 +?+Cn n26 n 26+Cn26 -1 -1 0 n n-1 =Cn 26 +C1 +?+Cn n26 n 26

因为 n 为大于 1 的偶数,所以原式能被 26 整除. ?4 ? 17.(本小题满分 14 分)已知? 1+ 3 x2?n 展开式中的倒数第三项的系数为 45, ? x ? 求: (1)含 x3 的项; (2)系数最大的项. 解
-2 2 由题意知,Cn n =45,即 Cn=45,∴n=10.

1 10-r (1)Tr+1=Cr 10(x- ) 4 令 11r-30 12 =3,得 r=6.



3 4 3 3 ∴含 x3 的项为 T6+1=C6 10x =C10x =210x .

(2)系数最大的项为中间项,
5 ∴T6=C10

.

18.(本小题满分 16 分)有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5, 则不同的排法共有多少种? 解 由题意知中间行的两张卡片的数字之和是 5,因此中间行的两个数字应 种排法,此时 A、B、E、

是 1,4 或 2,3.若中间行两个数字是 1,4,则有 F 的数字有以下几类: A C E
4 (1)若不含 2,3,共有 A4 =24(种)排法.

B D F

3 4 1 3 (2)若含有 2,3 中的一个,则有 C1 C4 是从 2C4A4=192(种)(C2是从 2,3 中选一个,

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5,6,7,8 中选 3 个,A4 4将选出的 4 个数字排在 A、B、E、F 处). (3)含有 2,3 中的两个,此时 2,3 不能排在一行上,因此可先从 2,3 中选 1 个,
1 1 排在 A,B 中一处,有 C2 A2种,剩下的一个排在 E、F 中的一处有 A1 2种,然

后从 5,6,7,8 中选 2 个排在剩余的 2 个位置有 A2 4种.
1 1 1 2 因此共有 C2 A2A2A4=96(种)排法.

所以中间一行数字是 1,4 时共有 A2 当中间一行数字 2(24+192+96)=624(种). 是 2,3 时也有 624 种.因此满足要求的排法共有 624×2=1 248(种). 19.(本小题满分 16 分)设集合 I={1,2,3,4,5}.选择 I 的两个非空子集 A 和 B,求 使 B 中最小的数大于 A 中最大的数的不同选择方法有多少种? 解 当 A 中最大的数为 1 时, B 可以是{2,3,4,5}的非空子集, 有 24-1=15(种)

选择方法; 当 A 中最大的数为 2 时,A 可以是{2}或{1,2},B 可以是{3,4,5}的非空子集, 有 2×(23-1)=14 种选择方法; 当 A 中最大的数为 3 时,A 可以是{3,},{1,3},{2,3}或{1,2,3},B 可以是 {4,5}的非空子集,有 4×(22-1)=12(种)选择方法; 当 A 中最大的数为 4 时, A 可以是{4}, {1,4}, {2,4}, {3,4}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2, ,3,4}或{1,2,3,4},B 可以是{5},有 8×1=8(种)选择方法. 所以满足条件的非空子集共有 15+14+12+8=49(种)不同的选择方法. 20.(本小题满分 16 分)设 an=1+q+q2+?+qn-1(n∈N,q≠± 1),An=C1 na1+
n C2 na2+?+Cnan,求 An(用 n 和 q 表示).



1-qn 因为 an= , 1-q 1 2 n n [C1(1-q)+C2 n(1-q )+?+Cn(1-q )] 1-q n

所以 An= = = =

1 n 1 2 2 n n [C1+C2 n+?+Cn-(Cnq+Cnq +?+Cnq )] 1-q n 1 [(2n-1)-(1+q)n+1] 1-q 1 [2n-(1-q)n]. 1-q

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