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宁夏回族自治区石嘴山市光明中学2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版


2012—2013 第二学期石嘴山市光明中学期中考试 高二理科数学试卷
试卷满分:150 分 命题人:孟献君 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.已知复数 z ? (2 ? i )i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( A. 1 ? 2i

B. ?1 ? 2i ) D. 1 ? 2 i ) D. 6 ) D. )
5

7. ( x ?

1 12 ) 展开式中的常数项为( 3 x
B.1320

) C.-220 D.220

A.-1320 时间:2013.4.28

8.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天 且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 9.由直线 x ? )

C. ?1 ? 2i

1 1 ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积是( ) 2 x 15 17 1 ln 2 A. B. C. D. 2 ln 2 4 2 4 10.设函数 f 定义如下表,数列 ?xn ? 满足 x0 ? 5 ,且对任意自然数均有 xn?1 ? f ( xn ) ,则 x2013
的值为( A.1 ) B.2 C. 4 D.5 x f(x) 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2 )

2.若将 6 本不同书放到 5 个不同盒子里,有多少种不同放法(
6 A. A6 6 B. C6

C. 5

6

3. 已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a ? ( A.

11.若曲线 f ? x ? ? x ? sin x 在 x=

? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等( 2
C —2 D.—1

19 3
3

B.

16 3

C.

13 3

10 3

A.2

B.1

4.曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1 , 3) 处的切线的斜率为( A.2 B.1 C —2

2 12.已知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1) )处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,

若数列 { D.—1 y A. 5.设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数, f '( x) 的图象如右图所示, 则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是( y y ) y y O 1 2 x

1 } 的前 n 项和为 Sn ,则 S2014 的值为( f ( n)
B.



2015 2016

2014 2015

C.

2013 2014

D.

2012 2013

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2

2 O 1 2 A 6.函数 y=1+3x-x 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2
3

13. i 是虚数单位,计算 i ? i ? i ?
2 3

x

O

1 2 B )

x

O 1 C

x

O

1 2 D

x

14.过原点作曲线 y ? e 的切线,则切线斜率是
x

3

1

5

15.如图一地区有 5 个行政区域,现给地图涂色,要求 相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色供选择,

4

B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3

则不同着色方法有 16.设 n ?

种.

(15 题图)

?

2

1

(3x 2 ? 2)dx ,则 ( x ?

2 x

2 ) n 展开式中含 x 项的系数是

1

高二理科数学答题卡 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7

成绩: 19.(12 分)已知数列 8 9 10 11 12

1 1 1 1 计算 S1,S2,S3,S4, 根据计算结果, , , ,, ... , 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)

猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法证明. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

班 级

13.

14.

15.

16.

三、解答题(6 道题,共 70 分) 17.(10 分)求曲线 y ? x3 ? 2 x2 ? 4 x ? 2 在点(1,-3)处的切线方程。

姓 名

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9x ? a 。
3 2

(I)求 f ( x ) 的单调递减区间;

学 号
2 18. (12 分)实数 m 取什么值时,复数 ? m ? 2 ? ? 1 ? m i 是: (1)实数; (2)纯虚数。

(II)若 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值。

?

?

2

21.(12 分)设函数 f ( x) ? ax ? 切线方程为 y ? 3 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

1 (a,b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的 x?b

22、(12 分)已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x 。 (1)若 f ( x) 在 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
(2)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极大值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图像与函数 f ( x) 的图像 恰有 3 个交点,若存在,求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由。

(Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为 定值,并求出此定值。

3

2012-2013 学年度第二学期石嘴山市光明中学期中考试 高二理科数学答案 一、选择题 ACDBC 二、填空题 13、-1 三、解答题
3

20.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a 。 (I)求 f ( x ) 的单调递减区间; (II)若 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值。

DCADB 14、e
2

AB 15、 72 16 、 40

【解】 : (I) f ?( x) ? ?3x2 ? 6 x ? 9 ? ?3( x2 ? 2 x ? 3) ? ?3( x ? 3)( x ? 1).

……4 分

当f ?( x) ? 0时, x ? ?1或x ? 3, f ( x)单调递减, ?函数f ( x) ? ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? a的单调递减区间为(??, ?1), (3, ??).
……6 分 (II) 当x ?[?2, 2]时 ……6 分 ……10 分

17.求曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点(1,-3)处的切线方程。 【解】 :易判断点(1,-3)在曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 上,
3 2
' 2 故切线的斜率 k ? y |x ?1 ? 3 x ? 4 x ? 4 |x ?1 ? ?5 ,

?

?

∴切线方程为 y ? 3 ? ?5 ? x ?1? ,即 5x ? y ? 2 ? 0

2 18.实数 m 取什么值时,复数 ? m ? 2 ? ? 1 ? m i 是

?

?

f ( x)在(-2,-1)单调递减,在(-1,2)单调递增, 则函数f ( x)在x ? ?1时取最小值; 因为f (?2) ? 2 ? a, f (2) ? 22 ? a, 所以f ( x)在x ? 2时取最大值. 由f ( x)max ? f (2) ? 22 ? a ? 20,得a ? ?2 所以f ( x)min ? f (?1) ? ?5 ? a ? ?5 ? 2 ? ?7
21.设函数 f ( x) ? ax ? ……12 分

(1)实数;
2

(2)纯虚数。

【解】 :(1)由 1 ? m ? 0 得 m ? ?1 ,
2 所以,当 m ? ?1 或 m ? 1 时复数 ? m ? 2 ? ? 1 ? m i 为实数;

1 (a,b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的 x?b

?

?

……6 分

切线方程为 y ? 3 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为

(2)由 ?

?m ? 2 ? 0
2 ?1 ? m ? 0

得 ?

?m ? ?2 解得 m ? ?2 。 ?m ? ?1

2 所以,当 m ? ?2 时复数 ? m ? 2 ? ? 1 ? m i 为纯虚数

?

?

……12 分

定值,并求出此定值。 【解】 : (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

19.已知数列

1 1 1 1 , , ,, ... , 计算 S1,S2,S3,S4, 根据计算结果,猜想 Sn 的 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)
2 3 3 4 4 5

1 , ( x ? b) 2

表达式,并用数学归纳法证明. 【解】 : S1 = ,S 2 = ,S3 = ,S 4 = , 猜想: S n =

1 2

……4 分 ……6 分 ……12 分

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? ?a ? 1, ? 2?b ? 4 于是 ? 解得 ? 或? 1 b ? ? 1 , ?b ? ? 8 . ?a ? ? 0, ? 2 ? ? 3 ? ? (2 ? b)
因 a,b ? Z ,故 f ( x ) ? x ?

n n ?1

1 . x ?1

……6 分

用数学归纳法证明 (略)

4

(Ⅱ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ?

方程可化为 x[ x 2 ? 4 x ? (3 ? b)] ? 0 等价于 实根则 ? ? 0且b ? ?3 ,所以 b ? ?7, b ? ?3

x 2 ? 4x ? (3 ? b) ? 0 有两不等于 0 的
……12 分

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1)2

2 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? y? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) ?

令 x ?1得 y ?

? x ?1? x0 ? 1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? 1,0 ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1 , 2 x0 ?1) .

,. 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11)
从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1
……12 分

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 22、已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x 。

(1)若 f ( x) 在 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

1 是 f ( x) 的极大值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图像与函数 f ( x) 的图像恰 有 3 个交点,若存在,求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由。
(2)若 x ? ?
' 2 【解】 :(1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0 在 x ? [1,??) 上恒成立,

即a ?
'

3x 2 ? 3 3 1 ? ( x ? ) 在 x ? [1,??) 上恒成立,得 a ? 0 2x 2 x

.……4 分

' 2 (2) f (? ) ? 0 得 a=4. f ( x) ? 3x ? 8x ? 3 ? (3x ? 1)(x ? 3)

1 3 在区间 [1,4] 上, f ( x) 在 [1,3] 上为减函数,在 [3,4] 上为增函数.
……8 分

而 f (1) ? ?6 , f (4) ? ?12 ,所以 f ( x) max ? ?6
3 2

(3)问题即为是否存在实数 b,使得函数 x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有 3 个不同根.
5


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