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《正弦定理》参考课件1


第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理

1.问题的引入: (1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮 离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢?
.

(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
B
<

br />A

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有 力工具.

2.定理的推导 回忆一下直角三角形的边角关系? c B a

A
b C

a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗?
a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD ? a sin B, CD ? b sin A A 所以 a sin B ? b sin A B D a b c
得到

b c 同理, 作AE ? BC .有 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

sin A

?

sin B

(2)当?ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

b
a
D

B

c

A

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一 边或二边一角可表示其它的边和角。
解三角形: 已知三角形的几个元素求其他元素的过程

3.定理的应用举例

例1

0 0 ? ABC A ? 32.0 , B ? 81.8 , a ? 42.9cm , 在 已知

解三角形. 变式:若将a=42.9cm改为c=42.9cm,结果如何? 通过例题你发现了什么一般性结论吗? 小结:知道三角形的两个内角和任何一边,利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。

例2 在 ?ABC 中,已知 a ? 20, b ? 28, A ? 40?,
0 1 解三角形。(角度精确到 ,边长精确到1cm)

C

b
A B

a

a
B

小结:已知两边和其中一边的对角,可以求出 三角形的其他的边和角。

4.基础练习题

(1)在?ABC中,已知A ? 45 , a ? 2, b ? 2 , 求B
0

10 3 (2)在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 4, b ? , 求B 3
0

5.探究课题引入时问题(2)的解决方法
B c

A

?

b

?

C

bsinβ AB = sin(α + β)

小 结
? 正弦定理 ? 主要应用
(1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边和
另一角;

a b c ? ? sin A sin B sin C

(2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角
形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解)

课后探究
(1)你还可以用其它方法证明正弦定理吗?

a b c ? ? ?k ( 2) sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗? (3)课本例2中,对于任意给定a,b,A的值,是否必能

确定一个三角形?a和b的值对解有什么影响?

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9/20/2016


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