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2015届陕西省西安市高新一中高三5月模拟考试理科数学试卷(带解析)


2015 届陕西省西安市高新一中高三 5 月模拟考试理科数学试卷(带解析)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释)

1 ? 3i 1.i 是虚数单位,复数 1 ? i = (
A.2-i B.2+i

) D.-1 +2i



C.-1 -2i

2.已知集合 M ? x log 2 ( x ? 1) ? 2 , N ? x a ? x ? 6

?

?

?

?

,且 M

N ? ? 2, b? ,则 a ? b ?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分不必要条件是( A. a ? b ? 1
2


3 3 D. a ? b

B. a ? b ? 1
2 2

2 2 C. a ? b

4. . 已知圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点,且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的方程为
2





A. ( x ?1)2 ? y 2 ?
2 2

64 25

B. x2 ? ( y ?1)2 ?
2 2

64 25

C. ( x ? 1) ? y ? 1

D. x ? ( y ? 1) ? 1

5.已知等比数列{ a m }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2

a ?a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? a7 ? a8 2

2

D. 3 ? 2 2

6.把五个标号为 1 到 5 的小球全部放入标号为 1 到 4 的四个盒子中,并且不许有空盒,那么任意一个小球都不能 放入标有相同标号的盒子中的概率是 ( ) A.

3 20

B.

3 16

C.

7 20

D.

2 5

7. 将 y ? 2 cos( A. 3? , ?

? x ? ? 则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为 ( ) ? ) 图像按向量 a ? (? ,?2) 平移, 3 6 4
B. 6? , ?

?? ? ,?2 ? ?4 ? ? 3? ? ,?2 ? ? 4 ?

? 3? ? ,2 ? ? 4 ? ?? ? ,2 ? ?4 ?


C. 6? , ?

D. 3? , ?

8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(

A.

16 ? 3

B.

19 ? 3

C.

19 ? 12

D.

4 ? 3
试卷第 1 页,总 4 页

9.已知 O 为坐标原点,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲线 的渐近线于异于 a 2 b2


原点的两点 A、B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离心率 e 为 ( A.2 B.3 C. 2 D. 3

10.已知 a ? 1 ,若函数 f ? x ? ? ? A.1 个 B.2 个

x ? ?1 ? x ? 1 ? a , ,则 f ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 的根的个数最多有( ) f x ? 2 ? a ? 1,1 ? x ? 3 ? ? ? ?

C.3 个

D.4 个

二、填空题(题型注释) 11.如果执行右面的框图,那么输出的 S 等于_____________.

12 . 已 知

(2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 若 a ? (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 , 则

?0

2a

4 ? x 2 dx ?


? x, y ? 0 ? 13. 设 P 是不等式组 ? x ? y ? ?1 表示的平面区域内的任意一点, 向量 m ? (1,1) , 若O n ? (2,1) , P ?m ? ? n ? ( ?, ? ? x? y ?3 ?
为实数) ,则 2? ? ? 的最大值为 14.若对于函数 f ( x) ? .

sin | x | ? b ,现给出四个命题: x

①b=0 时, f ( x) 为奇函数; ②y= f ( x) 的图像关于(o,b)对称; ③b=-1 时,方程 f ( x) =0 有且只有一个实数根; ④b=-1 时,不等式 f ( x) >0 的解集为空集. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的编号)
试卷第 2 页,总 4 页

15. (不等式选讲)已知函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? a | ?2, a ? R 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 16. (极坐标与参数方程选讲) 直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程是 ? x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,则圆心 C 的极坐标是 .



? x ? 3 ? cos ? , ? (? 为参数) , 以原点为极点, ? ? y ? 1 ? sin ? ,

17. (几何证明选讲)如图,过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE , E 为切点,连接 AE , BE , ?APE 的平分线
0 与 AE , BE 分别交于点 C , D ,若 ?AEB ? 30 ,则 ?PCE ?



三、解答题(题型注释) 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 的图象上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n ; (Ⅱ)令 cn ?

1 2 3 * (n? N ) 均在函数 y ? f ( x) x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 ? n, Sn ? 2 2

1 an an ?1 ? , 证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2 an ?1 an

19. (本题满分 12 分)如图,港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离检查 站 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测站与检查站距离 21 海里,问此时 轮船离港口 A 还有多远?

20. (本题满分 12 分) 正 ?ABC 的边长为 4, CD 是 AB 边上的高, E、 F 分别是 AC 和 BC 的中点 (如图 (1) ) . 现将 ?ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B(如图(2) ) . 在图形(2)中: (Ⅰ)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)求二面角 E-DF-C 的余弦值; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP ? DE ?证明你的结论.

试卷第 3 页,总 4 页

21. (本题满分 12 分)在抽样方法中,有放回抽样与无放回抽样中个体被抽到的概率是不同的,但当总体的容量很 大而抽取的样本容量很小时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样。现有一大批产品,采用随机抽样的方法一件一 件抽取进行检验。若抽查的 4 件产品中未发现不合格产品,则停止检查,并认为该批产品合格;若在查到第 4 件或 在此之前发现不合格产品,则也停止检查,并认为该批产品不合格。假定该批产品的不合格率为 0.1,设检查产品 的件数为 X。 (Ⅰ)求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)通过上述随机抽样的方法进行质量检查,求认为该批产品不合格的概率 22. (本题满分 13 分) 已知中心在原点, 焦点在坐标轴上的椭圆 E 的方程为

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 它的离心率为 , 2 a b 2

一个焦点是 (?1,0) ,过直线 x ? 4 上一点引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A、B. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若在椭圆 E

x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 求证: 直线 AB 恒过定点, 2 a b a b

并求出定点的坐标; (Ⅲ)记点 C 为(Ⅱ)中直线 AB 恒过的定点,问否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 成立,若成立求 出 ? 的值,若不存在,请说明理由 23. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? b , g ( x) ? a1nx
3 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? ? ? ,1? 上的最大值为

? 1 ? ? 2 ?

3 ,求实数 b 的值; 8
3

(Ⅱ)若对任意 x∈[1,e],都有 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 1

使得△POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

试卷第 4 页,总 4 页

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:复数

1 ? 3i (1 ? 3i )(1 ? i ) 4 ? 2i ? ? ? 2 ? i ,所以答案为 A. 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

考点:复数的运算. 2.D 【解析】 试 题 分 析 : 集 合 M ? x log 2 ( x ? 1) ? 2

?

?

? ?x | 0 ? x ? 1 ? 4? ? ?x | 1 ? x ? 5? ,

N ? ? x a ? x ? 6? ,因为 M
考点:集合的基本运算. 3.A 【解析】

N ? ? 2, b? ,所以 a ? 2, b ? 5 ,所以 a ? b ? 7 .

试题分析:先确定谁是条件,谁是结论,选项为条件,a ? b 为结论,选项 A.由 a ? b ? 1 , 可得 a ? b ,但由 a ? b 得不到 a ? b ? 1 . 考点:不等式的性质. 4.C 【解析】 试题分析: 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 (1,0) , 所以圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心为 (1,0) ,
2 2 2 2

圆 心 到 直 线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的 距 离 d ?

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? 2 | 3 ?4
2 2

?1 ,所以所求圆的方程为

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1.
考点:求圆的方程. 5.C 【解析】 试 题 分 析 : 设 等 比 数 列 { a m } 的 公 比 为 q, q ? 0 , 因 为 a1 ,

1 a3 , 2a2 成 等 差 数 列 , 2

a3 ? a1 ? 2a2 , a1q 2 ? a1 ? 2a1q ,即 q 2 ? 2q ? 1 ? 0 解得 q ? 1 ? 2 2 ,因为 q ? 0 ,所
以 q ? 1? 2 2 ,

a9 ? a10 ? q ? 1 ? 2 2 ,所以答案为 C. a7 ? a8
考点:等差等比数列性质. 6.C 【解析】 试题分析: 把五个标号为 1 到 5 的小球全部放入标号为 1 到 4 的四个盒子中, 并且不许有空
答案第 1 页,总 11 页

盒,那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中共有 第一类,第 5 球独占一盒,则有 4 种选择;如第 5 球独占第一盒,则剩下的三盒,先把第 1 球放旁边,就是 2,3,4 球放入 2,3,4 盒的错位排列,有 2 种选择,再把第 1 球分别放入 2,3,4 盒,有 3 种可能选择,于是此时有 2×3=6 种选择;如第 1 球独占一盒,有 3 种选 择,剩下的 2,3,4 球放入两盒有 2 种选择,此时有 2×3=6 种选择,得到第 5 球独占一盒 的选择有 4×(6+6)=48 种, 第二类,第 5 球不独占一盒,先放 1-4 号球,4 个球的全不对应排列数是 9;第二步放 5 号 球:有 4 种选择;9×4=36,根据分类计数原理得,不同的方法有 36+48=84 种.
2 4 把 5 个放入三个盒子里,不许有空盒共有 C5 A4 ? 240种,任意一个小球都不能放入标有相

同标号的盒子中的概率是

84 7 ? . 240 20

考点:计数原理及概率问题. 7.C 【解析】 试 题 分 析 : 将 y ? 2 cos(

? x ? ? ? ) 图 像 按 向 量 a ? (? ,?2) 平 移 得 到 函 数 3 6 4

2? 1 ? 1 ? ? 6? ,答案从 B,C 里选择,对称 y ? 2 cos ( x ? ) ? 2 ? 2 cos( x ? ) ? 2, 所以 T ? 1 3 4 3 12 3
中心的纵坐标-2,所以答案为 C. 考点:图形的平移及对称中心. 8.B 【解析】 试题分析:由已知中的三棱柱的正视图可得三棱柱的底面边长为 2,高为 1,则三棱柱的底 面外接圆半径 r ?

2 3 3
1 2 3 2 1 2 19 ,则球的半径 R ? r 2 ? d 2 ? ( ) ?( ) ? 2 3 2 12 19 19 ? ?. 12 3

球心到底面的距离 d ?

2 所以该球的表面积 s ? 4?R ? 4? ?

考点:求球的表面积. 9.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 以 OF 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ( x ? ) ? y ?
2 2

c 2

c2 ,与双曲线 4

x2 y 2 a 2 ab b ? ? 1 y ? x A ( , ) , ( a ? 0, b ? 0) 的 渐 近 线 方 程 交 点 为 a a 2 b2 c c

答案第 2 页,总 11 页

AO ? (?

a 2 ab a 2 ab ,? ) , AF ? (c ? ,? ), OF ? (c,0), 因为 ( AO ? AF) ? OF ? 0 ,所以 c c c c

c?

2a 2 2a 2 c ? 0, c ? ,? c 2 ? 2a 2 , c ? 2a, e ? ? 2. c c a

考点:双曲线的离心率. 10.C 【解析】 试题分析: 设 t ? f ( x) 则 f ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 即 f (t ) ? a , 当 1 ? x ? 3 时, ? 1 ? x ? 2 ? 1 所以 f ( x) ? f ( x ? 2) ? a ? 1 ? a x?2 ? a ? 1 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, 当 1 ? x ? 3 时,

1 ? f ( x) ? a , a

1 1 1 ? a ? 1 ? f ( x) ? 2a ? 1 ,因为 2a ? 1 ? a, ? a ? 1 ? 2 ? a ?1 ? 1 a a a
1 ? a ? 1 ? t ? a 时, t 最多有两个解 a

由图像可知,因为 f (t ) ? a ? 1 ,所以当

当 t ? 1 时,函数 t ? f ( x) ,只有一解 x ? (?1,1), 当 1 ? t ? 3 时,函数 t ? f ( x) ,最多有 3 个, 则f ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 的根的个数最多有 3 个.

考点:指数函数的应用. 11.2 【解析】 试题分析:开始 i ? 0, s ? 2, 判断 i ? 4 ? 是, i ? 1, s ?

2 ?1 1 ? , 2 ?1 3

答案第 3 页,总 11 页

1 ?1 1 3 判断 i ? 4 ? 是, i ? 2, s ? ?? , 1 2 ?1 3 1 ? ?1 判断 i ? 4 ? 是, i ? 3, s ? 2 ,判断 i ? 4 ? 是, ? ?3 , 1 ? ?1 2 ? 3 ?1 i ? 4, s ? ? 2, ? 3 ?1 判断 i ? 4 ? 否,输出 2,所以答案为 2.
考点:程序框图. 12. ? 【解析】
4 试题分析:令 x ? 1 则 (2 ? 3) ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 , (1) 4 令 x ? ?1 , (2 ? 3) ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 (2)

(1)+(2)并化简得, a0 ? a2 ? a4 ? 97 (1)-(2)并化简得 a1 ? a3 ? 56 3 ,

a ? (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 ? 972 ? (56 3) 2 ? 1 ,

?0

2a

4 ? x 2 dx ?

?0

2

1 4 ? x 2 dx 表示以原点为圆心,以 2 为半径的 圆的面积为 ? . 4

考点:二项式定理及定积分. 13.5 【解析】 试题分析:向量 m ? (1,1) , n ? (2,1) ,若 OP ? ? m ? ? n

? x, y ? 0 ? x ? ? ? 2? ? 所以点 P ( x, y ) ,满足 ? 代入不等式组 ? x ? y ? ?1 ?y ? ? ? ? ? x? y ?3 ?


?? ? 2? ? 0 ?? ? ? ? 0 ? ? ?2? ? 3? ? 3 ? ?? ? ?1
答案第 4 页,总 11 页

作出表示的平面区域

得到如图的四边形 OABC 及其内部, 其中 A(-3,3),B(3,-1),C(2,-1),O 为坐标原点 设 z=2λ +μ ,将直线 l:z=2λ +μ 进行平移, 可得当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(3,-1)=2×3+(-1)=5. 考点:线性规划. 14.①②④ 【解析】 试 题 分 析 : : ① 若 q=0 ,

f ( x) ?

sin | x | 定 义 域 为 x

?x | x ? 0?



sin | ? x | sin | x | ?? ? ? f ( x) 为奇函数,所以①正确. ?x x sin | x | sin | x | ② f ( x) ? 为奇函数,图象关于(0,0)对称,把 f ( x) ? 图象上下平移可 x x sin | x | 得 f ( x) ? ? b 图象,即得 f(x)的图象关于点(o,b)对称,所以②正确. x sin | x | ? 1 ? 0 ,即 x ? sin | x | 且 x ? 0 ,图像当 x ? 0 y ? x 与 ③b=-1 时,方程 f ( x) ? x f (? x) ?
y ? sin | x | 无交点,所以该命题是假命题
④b=-1 时,不等式 f ( x) >0,即 f ( x) ?

sin | x | ? 1 ? 0, sin | x |? x x ? 0 图像 y ? x 总在 x

y ? sin | x |( x ? 0 )的上方,所以 b=-1 时,不等式 f ( x) >0 的解集为空集故答案为:①
②④. 考点:命题真假的判断.

1,??? 15. ?? ?,?3? ? ?
【解析】 试题分析: 函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? a | ?2, a ? R 的定义域为 R, 所以 | x ? 1 | ? | x ? a |? 2 恒成立,| x ? 1 | ? | x ? a | 几何意义是到-1,a 的距离的和,到-1,a 的距离的和大于或等于
答案第 5 页,总 11 页

2 的 a 满足 a ? ?3或a ? 1 . 考点:绝对值的意义. 16. (2,

?
6

)
? ?cos? ? x ? 3 ? x ? 3 ? cos ? , (? 为参数)得 ? 可得圆的 ? ? y ? 1 ? sin ? , ?sin ? ? y ? 1

【解析】 试题分析:由圆 C 的参数方程是 ?

标 准 方 程 为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 圆 心 坐 标 为 ( 3,1) , 离 圆 心 的 距 离

? ? ( 3 ) 2 ? 12 ? 2, tan? ?

? 3 ? ,由题意 ? ? ,则圆心 C 的极坐标是 (2, ) . 6 3 6

考点:参数方程及极坐标. 17. 75 ? 【解析】 试题分析:PE 是圆的切线, ∴∠PEB=∠PAC∵PC 是∠APE 的平分线,∴∠EPC=∠APC,根据三角形的外角与内角关系有: ∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC, ∴∠EDC=∠ECD, ∴△EDC 为等腰三角形,又∠AEB=30°, ∴∠EDC=∠ECD=75°, 即∠PCE=75°, 故答案为:75°. 考点:弦切角的性质和应用. 18. (Ⅰ) an ? n ? 1(n ? N ? ) ; (Ⅱ)证明见解析 【解析】 试题分析: (1)给出 Sn 与 an 的关系,求 an ,常用思路:一是利用 Sn ? Sn?1 ? an ?n ? 2? 转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 的关系, 再求 an ; (2)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意正 负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后 对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的. (3)在做题时注意观察式子特点选 择有关公式和性质进行化简,这样给做题带来方便,掌握常见求和方法,如分组转化求和, 裂项法,错位相减. 试题解析: (1)? 点 (n, sn ) 在 f ( x ) 的图像上,? S n ? 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1;

1 2 3 n ? n 2 2

n ? 1 也适合上式,

? an ? n ? 1(n ? N ? )

6分
答案第 6 页,总 11 页

(2)由(1)得 cn ?

an an?1 n ? 1 n ? 2 1 1 ? ? ? ? 2? ? an?1 an n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2

9分

1 1 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2

12 分

考点: (1)由前 n 项和求通项公式; (2)裂项法求和. 19.15 【解析】 试题分析: (1)在三角形中,三边知道,该三角形是确定的,其解是唯一的,利用余弦定理 求角. (2)根据题中的关系选择恰当的公式进行计算,注意正余弦定理的应用条件,再根据 条件和结论灵活化简; (3)在三角形中,注意 A ? B ? C ? ? 这个隐含条件的使用. 试题解析:在△BDC 中,由余弦定理知 cos?CBD ?

BD 2 ? CD 2 ? BC 2 1 ?? 2 BD ? CD 7

sin ?CDB ?

4 3 7

∴ sin ?ACD ? sin(?CDB ?

?
3

) ? sin ?CDB cos

?
3

? cos?CDB sin

?
3

?

5 3 14

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

AD CD ? , 代入并计算得 AD ? 15 sin ?ACD sin A
轮船距港口 A 还有 15 海里. 12 分. 考点:正余弦定理应用. 20. (Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE 【解析】 试题分析: (1)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行 的性质定理,三是利用面面平行的性质; (2)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应 用的核心是要充分认识形体特征, 建立恰当的坐标系, 实施几何问题代数化. 同时注意两点: 一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要 完备. 试题解析: (Ⅰ)如图(2) :在 ?ABC 中,由 EF 分别是 AC、BC 的中点,得 EF//AB,又 AB ? 平面 DEF, EF ? 平面 DEF. ∴ AB // 平面 DEF. 3分

答案第 7 页,总 11 页

(Ⅱ)以点 D 为坐标原点,以直线 DB、DC、DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标 系,则 A(0,0,2), B(2, 0, 0),C(0,2 3,0), E(0, 3,1), F (1, 3,0) 4分

平面 CDF 的法向量 DA ? (0,0,2) .设平面 EDF 的法向量为 n =(x,y,z) . 则?

? ?x ? 3 y ? 0 ? DF ? n ? 0 ,即 ? ,取 n ? (3,? 3,3) ? ? 3y ? z ? 0 ? DE ? n ? 0

6分

cos ? DA ? n ??

DA ? n | DA | ? | n |

?

21 21 .二面角 E-DF-C 的平面角的余弦值为 . 7 7

8分

(Ⅲ)在平面坐标系 xDy 中,直线 BC 的方程为 y ? ? 3x ? 2 3 ,设 P( x,2 3 ? 3x,0) , 则 AP ? ( x,2 3 ? 3x,?2) . 10 分

∵ AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? x ?

4 1 ? BP ? BC . 3 3

∴在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE. 12 分. 考点:线面平行及线线垂直. 21. (1)EX=3.439; (2) 0.3439 【解析】 试题分析: (1)求随机变量的分布列的主要步骤:一是明确随机变量的取值,并确定随机变 量服从何种概率分布;二是求每一个随机变量取值的概率,三是列成表格; (2)求出分布列 后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确; (3) 求解离散随机变量分布列和 数学期望,首先要理解问题的关键,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出 相对应的概率,写成随机变量的分布列,正确运用均值公式进行计算. (4)产品合格与不合 格是对立事件,只要求出合格的概率,再用 1 减去它就得到不合格的概率 试题解析: (1)由题意得,X 的可能值为 1,2,3,4,则有
1 9 1 9 , P( x ? 2) ? ? ? , 10 10 10 100 9 9 1 81 729 P ( X ? 3) ? ? ? ? , P ( X ? 4) ? 10 10 10 1000 1000 P ( X ? 1) ?

分布列略。 EX=3.439. (2)认为该批产品合格的概率是
9 9 9 9 ?9? ? ? ? ?? ? 10 10 10 10 ? 10 ?
4

从而该批产品不合格的概率是

p ? 1? (

9 4 ) ? 0.3439 . 10

考点:分布列及期望与概率.
2 2 4 22. (Ⅰ) x ? y ? 1 (Ⅱ) C ?1, 0 ? (Ⅲ)存在 ? ?

4

3

3

【解析】
答案第 8 页,总 11 页

试题分析: (1)设椭圆的方程,利用已知条件求出 a 2 , b 2 的值; (2)解决直线和椭圆的综合 问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设 条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭 圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计算一元二 次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.
2 2 试题解析: (Ⅰ) 设椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0? 的焦点是 ? ?1, 0 ? ,故 c ? 1 ,又 c ? 1 ,

a

b

a

2

所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为 x ? y ? 1 .
4 3

2

2

4分

(Ⅱ)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4, t ? ,则切线方程分别为
x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的坐 4 3 4 3 3 3

标都适合方程 x ? t y ? 1 , 故直线 AB 的方程是 x ? t y ? 1 , 显然直线 x ? y ? 1 恒过点 (1,0) ,
3 3

t 3

故直线 AB 恒过定点 C ?1, 0 ? .

9分

(Ⅲ)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得
3
? t2 ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , ? 3 ? ?3 ?
2

所以 y1 ? y2 ?
AC ?

6t ?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

? x1 ? 1?

2

2 ? t2 ? t 2 ? 9 ,同理 BC ? ? t ? 9 y , ? y12 ? ? ? 1? y12 ? y1 2 3 3 ?9 ?

12 分

y ?y 1 1 ? 3 3 所以 1 ? 1 ? 3 ? ? ? 2 1 ?? ? ? ? ?? 2 2 2 AC BC t ? 9 ? y1 y2 ? t ? 9 y1 y2 t ?9

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 , ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12

2

即 AC ? BC ? 4 AC ? BC ,
3

13 分.

考点:求椭圆的方程即直线与椭圆的综合问题. 23. (Ⅰ) b ? 0 (Ⅱ)? a ? ?1 (Ⅲ)存在 【解析】 试题分析: (1)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.知道函数的最值时,要先 求函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 内使 f ??x ? ? 0 的点,再计算函数 y ? f ?x ? 在区间内所有使

f ??x ? ? 0 的点和区间端点处的函数值,最后比较即得; (2)对于恒成立的问题,常用到以
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下两个结论: (1)a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2)a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min ; (3)对于是否存在问题先假设存在,如推出矛盾则不存在,若不矛盾则存在 试题解析:(Ⅰ)解:由 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? b ,得得 f′(x)=-3x +2x=-x(3x-2),令 f′
2

(x)=0,得 x=0 或 x ?

2 3

当 x 变化时(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? ? ? ,1? 上的最大值为

? 1 ? ? 2 ?

3 ,求实数 b 的值列表如下: 8

x

?

1 2

1 ( ? ,0 ) 2
0

0

2 (0, ) 3
+

2 , 3
0

2 ( ,1) 3
-

f′(x)

f(x)

1 f (? ) 2

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

1 3 2 4 1 2 ? f ( ? ) ? ? b, f ( ) ? ? b,? f (? ) ? f ( ) 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,? b ? 0 2 8 8
(2)由 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x ,得 ( x ? ln x)a ? x 2 ? 2 x
3

? x ? ?1, e?, ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取得,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0
?a ? x 2 ? 2x x 2 ? 2x ) min 恒成立,即 a ? ( x ? ln x x ? ln x

x 2 ? 2x ( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) , x ? ?1, e? ,则 t ?( x) ? 令 t ( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

1, e?, x ? 1 ? 0, ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ?( x) ? 0 当 x ??
? t ( x) 在 ?1, e? 上为增函数,? t ( x) min ? t (1) ? ?1,

? a ? ?1
(3)由条件 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 ? g ( x), x ? 1

假设曲线 y=F(x)上是否存在两点 P、Q 满足题意,则 P,Q 只能在 y 轴的两侧,不妨设

P(t , F (t ))(t ? 0) 则 q(?t , t 3 ? t 2 )(t ? 0) ,? ?POQ 是以 O(O 是坐标原点)为直角顶点的
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直角三角形,?OP ? OQ ? 0,? ?t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 是否存在 P, Q 等价于该方程 t>0 且

t ? 1 是否有根
当 0 ? t ? 1 时,方程可化为 ? t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0, 化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0, 此方程无 解; 若

t ?1









? t 2 ? a ln t (t 3 ? t 2 ) ? 0



1 ? (t ? 1) ln t , a



1 h(t ) ? (t ? 1) ln t , (t ? 1) h ?(t ) ? ln t ? ? 1, (t ? 1) ,显然,当 t ? 1 时 h?(t ) ? 0 ,即 h(t ) 在 t
(1,??) 上是增函数, h(t ) 值域是 (h(1),??) ,即 (0,??) ,所以当 a ? 0 时方程总有解,即
对于任意正实数 a 曲线 y=F(x)上总存在两点 P、Q,使得△POQ 是以 O(O 为坐标原点)为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 考点:求参数,恒成立问题,是否存在问题.

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