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第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷


第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、 (23 分)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速度 为零) ,落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定 一照相机,用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片,照相机的曝光时 间极短,可忽略不计。从所拍到的照片发现

,每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃 管底部距离(用 H 表示)的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

二、 (25 分) 如图所示, 一根质量可以忽略的细杆, 长为 2 l , 两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、 D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以一给定速度 v0 沿垂直于 杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。 求刚碰后小球 A,B,C,D 的速度, 并详细讨论以后可能发生的运动 情况。

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三、 (23 分)有一带活塞的气缸,如图 1 所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片, 转轴伸到气缸外,外界可使轴和叶片一起转动,叶片和轴以及气缸壁和活塞都是 绝热的,它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动,而令活塞缓慢移动,则在这种过程中, 由实验测得,气体的压强 p 和体积 V 遵从以下的过程方程式 图 1 pV a ? k 其中 a , k 均为常量, a >1(其值已知) 。可以由上式导出,在此过程中外界对气体做的功为

W?

k ? 1 1 ? ? a ?1 ? a ?1 ? 式中 V2 和 V1 ,分别表示末态和初态的体积。 a ? 1 ? V2 V1 ?

如果保持活塞固定不动,而使叶片以角速度 ? 做匀角速转动,已知在这 种 过 程 中 , 气 体 的 压 强 的 改 变 量 ?p 和 经 过 的 时 间 ? t 遵 从 以

?p a ? 1 ? L ?? ?t V 式中 V 为气体的体积, L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。
图 2 下的关系式 上面并没有说气体是理想气体, 现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的 知识,求出图 2 中气体原来所处的状态 A 与另一已知状态 B 之间的内能之差(结果要用状态 A 、 B 的压 强 p A 、 p B 和体积 V A 、 VB 及常量 a 表示)

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四、 (25 分)图 1 所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能,称为整流倍 压电路。 图中 D1 和 D2 是理想的、 点接触型二极管 (不考虑二极管的电容) , 它们的电容都为 C, 初始时都不带电, G 点接地。 C1 和 C 2 是理想电容器, 现在 A、G 间接上一交变电源,其电压 u A ,随时间 t 变化的图线如图 2 所示. 试分别在图 3 和图 4 中准确地画出 D 点的电压 u D 和 B 点的电压 u B 在 t=0 到 t=2T 时间间隔内随时间 t 变化的图线, T 为交变电压 u A 的周期。

图2

图3

图4

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五、 (25 分)磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统,利用磁力(可由超 导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统,在沿轨道上安装的三相绕组 (线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁场,磁场与固连在车体下端的感应金 属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) ? B0 c o s ? ( t ? kx)
式中 B0 、 ? 、 k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向的分布是 不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面,“×”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸里,“· ”表 示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直的 金属框边 MN 的长度为 l ,与轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d,金属框的电阻为 R,不计金属框的电 感。1.试求在时刻 t,当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻金属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v 。2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

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六、 (23 分)有一种被称为直视分光镜的 光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长 圆筒内。 筒内有: 三个焦距分别为 f1 、 f 2 和 f 3 的透镜 L1 , L2 , L3 , f1 ? f 2 ? f 3 ; 观察屏 P,它是一块带有刻度的玻璃片; 由三块形状相同的等腰棱镜构成的 图1 分光元件(如图 1 所示) ,棱镜分别用折射率不同的玻璃制成,两侧棱镜的质料相同,中间棱镜则与它们 不同,棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝,它与圆筒轴的交点为 S,缝平行于 棱镜的底面.当有狭缝的一端对准筒外的光源时,位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知:当光源是钠光源时,它的黄色谱线(波长为 589.3 nm,称为 D 线)位于圆筒轴与观察屏相 交处。制作棱镜所用的玻璃,一种为冕牌玻璃,它对钠 D 线的折射率 n D =1.5170;另一种为火石玻璃,它 对钠 D 线的折射率 n? D =1.7200。1.试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作 用。2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角 ? 的数值。

图2

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七、 (16 分)串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备,右图 是其构造示意图。S 是产生负离子的装置,称为离子源;中间部分 N 为充有氮气的管道,通过高压装置 H 使其对地有 5.00 ? 10 V 的高压。现将氢气通人离子源 S,S 的作用是使氢分子变为氢原子,并使氢原子
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粘附上一个电子,成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子(其初速度为 0)在静电场的作用下,形成 高速运动的氢负离子束流,氢负离子束射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用,这种作用可使大部分 的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子, 又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为 质子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加 速器的终端靶子 T。试在考虑相对论效应的情况下,求质子到达 T 时的速度 v 。 电子电荷量

q ? 1.60?10?19 C,质子的静止质量 m0 ? 1.673?10?27 kg。

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