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黑龙江省大庆市铁人中学2015-2016学年高一上学期期末试题 数学


数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷(选择题

满分 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 A={1,2}, B={x|ax-2=0}, 若 B?A, 则实数 a 的所有可能值构成的集合为( ) 1 A.{1, } B.{1,2} C.{0,1,2} D.以上都不对 2 2.下列函数中,既是奇函数又存在零点的函数是 ( ) A.y=sin x B.y=cos x C.y=ln x D.y=x 3+1 3. 下列说法正确的是 ( ) → → → → A.向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B.共线向量是在一条直线上的向量 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.零向量长度等于 0 |sin α| cos α 4. 当 α 为第二象限角时, - 的值是 ( ) sin α |cos α| A.1 B.2 C. 0 D.-2 5.下面 4 个实数中,最小的数是 A. sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4 1 π π 6.已知 sin αcos α= 且 <α< ,则 cos α-sin α= ( ) 8 4 2 3 3 3 A.± B.- C. D.不能确定 2 2 2 π 1 π 7.将函数 y=sin(x+ )图像上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将图像向右平移 6 2 3 个单位长 度,那么所得图像的一条对称轴方程为( ) π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 2 4 8 4 8.已知实数 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? A.仅一个零点且位于区间 ? c, ?? ? 内 B.仅一个零点且位于区间 ? ??, a ? 内 C.有两个零点且分别位于区间 ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 D.有两个零点且分别位于区间 ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内 9.在同一个坐标系中画出函数 y=a x,y=sin ax 的部分图像,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图 像中可能正确的是( ) ( )

A

B

C 10.设 α、β 都是锐角,且 cos α= 2 5 A. 25

D 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β 等于( 5 5 2 5 2 5 2 5 B. C. 或 5 25 5 ) D. 5 5 或 5 25

?| lg x |, ? 11. 已知函数 f(x)= ? x 6? , ? ? 2
则 abc 的取值范围是( A. (1,10)
2

0 ? x ? 10, x ? 10.
, 若正实数 a, b, c, 互不相等, 且 f(a)=f(b)=f(c),

) B.(5,6)
2 2

C. (10,12)
2

D. (20,24)

12.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2? x ? a , g ? x ? ? ?x ? 2 ? a ? 2? x ? a ? 8 。设函数

? f ( x), f ( x) ? g ( x) ? g ( x), f ( x) ? g ( x) ,记 H1 ? x ? 的最小值为 H1 ? x ? ? ? , H2 ? x ? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x) ? f ( x), f ( x) ? g ( x)
A, H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B ? (
A. 16 B. ?16 ) C. a ? 2a ? 16
2

D. a ? 2a ? 16
2

第Ⅱ卷

(非选择题

满分 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若一扇形的面积为 80π ,半径为 20 ,则该扇形的圆心角为________。 14.函数 y ? 2 ? a
x ?2

(a ? 0且a ? 1) 的图像必过定点 P , P 点的坐标为________。

π 15.设函数 f(x)=cos x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015) +f(2 016)=________。 3

2 2 sin(2 x ? ) ? ? x ? 2 ? ? 4cos 2 x 4 16. 若函数 f ? x ? ? 的值域为[m,n], 则 m+n= x2 ? 2
2

?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log3 8 ? 2x ? x2 , g ( x) ? 4x ? 2x?2 ? 3 , (Ⅰ)求函数 f ( x) 定义域和值域; (Ⅱ)若函数 f(x)与函数 g(x)定义域相同,求函数 g(x)的值域。

?

?

18(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg?

? 20 ? ? a ? 为奇函数, ? x ? 10 ?

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 0 的解集。

19(本小题满分 12 分) π π 2 2 已知在△ABC 中,0<A< ,0<B< ,sin A= ,tan(A-B)=- ,求: 2 2 10 11 (Ⅰ)tan B 的值; (Ⅱ)A+2B 的大小。

20(本小题满分 12 分) π π ωx 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )+sin(ωx- )-2cos2 ,x∈R(其中实数 ω>0), 6 6 2 (Ⅰ)求函数 f(x)的值域; π (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图像与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 , 求函数 y=f(x)的 2 单调增区间。 21(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=cos 2x+asin x( a ? R ) , (Ⅰ)若 a =6,求 f(x)的最大值及此时 x 的值; π π (Ⅱ)若函数 f (x)在区间 [ , ]上的最小值为 4,求实数 a 的值。 6 2

22(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x)=a(1 ? 2 x ?

1 ) , a 为常数且 a >0 , 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的面积; (Ⅱ)若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 , 且 f (x0 ) ? x0 , 则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点 , 如果

f (x) 有两
个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围。 数学试题参考答案

一、选择题 CADBDB ACDACB 二、填空题
72° (或 2π ) 5 (2,3) 0 2

三、解答题
2 17、解: (Ⅰ) 由 8 ? 2 x ? x ? 0 可得函数 f ( x) 定义域为(-2,4),值域为 (??,2] ; -----6 分

x (Ⅱ)设 t = 2 , t ? ( ,16) 原函数 g(x)转化为 y=t 2-4t+3,

1 4











g(x)









[



1



195)

------10 分 18、解: (Ⅰ)由奇函数定义域关于原点对称得 a =-1, 经验证,此时 f ( x) 定义域为(-10,10),且有 f (? x) ? ? f ( x) ,故实数 a =-1; 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) 定义域为(-10,10),故 f ( x) ? lg -----6

10 ? x ? lg(10 ? x) ? lg(10 ? x) 10 ? x
------12

? f ( x) ? 0 即 lg(10 ? x) ? lg(10 ? x) ,故不等式 f ( x) ? 0 的解集为(-10,0)。


2 7 2 1 ,∴cos A= ,tan A= , 10 10 7 tan A-tan?A-B? 1 ∴tan B=tan[A-(A-B)]= = (用其他方法解答的请酌情给分) -----6 1+tan A· tan?A-B? 3 分 tan A+tan 2B 1 2tan B 3 (Ⅱ)∵tan B= ,∴tan 2B= 故 2B 也是锐角,∴tan(A+2B)= = 2 = , 3 1-tan B 4 1-tan A· tan 2B 19、解: (Ⅰ)∵A,B 是锐角,sin A= 1. π π π 又 0<A< ,0<2B< ,∴0<A+2B< ? ,∴A+2B= 2 2 4 ------12

分 3 1 3 1 sin ωx+ cos ωx+ sin ωx- cos ωx-(cos ωx+1) 2 2 2 2 3 1 π =2( sin ωx- cos ωx)-1=2sin(ωx- )-1.易得函数 f(x)的值域为[-3,1]; -----6 2 2 6 分 2π (Ⅱ)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为 π= π,即 ω=2, ω π π π π π π 所以 f(x)=2sin(2x- )-1,由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 2 6 2 6 3 π π 所以函数 y=f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) ------12 分 6 3 21、解: f (x)=-2sin 2x+acos x+1,设 t=sin x, (Ⅰ)原函数转化为 y=-2t 2+6t+1,t∈[-1,1], 20、解: (Ⅰ)f(x)= 故 t =1,即 x∈ ? x | x ? 2k? ?

? ?

?

? , k ? Z ? 时,函数有最大值为 5; 2 ?

-----6 分

1 (Ⅱ)原函数转化为 y=-2t 2+a t+1,t∈[ ,1],分类如下: 2 a ?1 1 ? 4 ,故符合题意的 a =7; (1)若 a ? 3, 当 t = 时, ymin ? 2 2 (2)若 a ? 3, 当 t =1 时, ymin ? a ?1 ? 4 ,此时不存在符合题意的实数 a ; 综上,符合题意的 a =7 ------12 分

22、解:(I)由题,函数 f ( x) 的图像与 x 轴交于(0,0) , (1,0) ,且有最大值为 a 故所求即为 1 a 2 ------4 分

(Ⅱ)分类讨论如下:
2 ? 1 ? 4 a x, (1)当 0 ? a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? 2 2 ? ?4a (1 ? x),

1 x? , 2 1 x? . 2

所以 f ( f ( x)) ? x 只有一个解 x ? 0 ,又 f (0) ? 0 ,故 0 不是二阶周期点.

1 x? , x , ? 1 2 (2)当 a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? 2 ?1 ? x, x ? 1 . 2
所以 f ( f ( x)) ? x 有解集 ? x | x ? 点都不是二阶周期点.

? ?

1? 1 ? ? , 又当 x ? 时 , f ( x) ? x , 故 ? x | x ? 2? 2 ?

1? ? 中的所有 2?

1 , 4 a ? 4 a 2 x, 1 1 ? ?x? , 2 1 2 a ? 4 a x, 4a 2 (3)当 a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? ? 2 2 ?2a(1 ? 2a) ? 4a x, 1 ? x ? 4a ? 1 , ? 4 a 2 ? 4 a 2 x, 2 4a ? 4a ? 1 x? . 4a x?

2a 2a 4a 2 2a 2a )? , , 所以 f ( f ( x)) ? x 有四个解 0, ,又 f (0) ? 0, f ( , 2 2 1 ? 2a 1 ? 2a 1 ? 4a 1 ? 2a 1 ? 4a
2a 4a 2 2a 2a 4a 4a , f( )? , f( )? ,故只有 是 f ( x ) 的二阶周期点, 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2
综 上 所 述 , 所 求

a













a?

1 2

------12 分



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