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解三角形中相关的取值范围问题


解决与三角形相关的取值范围问题
例 1:在锐角 ABC 中, A ? 2 B ,则 的取值范围是
c b

例 2:若 ABC 的三边 a, b, c 成等比数列, a, b, c 所对的角依次为 A, B, C , 则 sin B ? cos B 的取值范围是

,c cos A 例 3:在 ABC 中,角 A, B,

C 的对边分别为 a, b, c ,且 a cos C, bcos B

成等差数列。 (1)求 B 的大小。 (2)若 b ? 5 ,求 ABC 周长的取值范围。

例 4:在 ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,若 ABC 的外接圆半径为
ABC 的面积的最大值为

2 3

3 2 ,则 2

例 5: (2008,江苏)满足 AB ? 2, AC ? 2BC 的 ABC 的面积的最大值是

例 6 :已知角 A, B, C 是 ABC 三个内角, a, b, c 是各角的对边,向量
A? B 5 A? B 9 m ? (1? cos( A ? B ), cos ) n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? , 2 8 2 8

(1)求 tan A ? tan B 的值。 (2)求
ab sin C 的最大值。 a ? b2 ? c2
2

通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力,是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。 巩固练习 1.在 ABC 中, a ? 2, c ? 1 ,则 ?C 的取值范围为 2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边 长的比值为 m ,则 m 的取值范围是 3.在 Rt ABC 中,C ?
?
2

,且 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 a ? b ? xc ,则实

数 x 的取值范围为 4.在锐角 ABC 中, A ? 2 B , AC ? 1 ,则 BC 的取值范围是 5.在锐角 ABC 中,三个内角 A, B, C 成等差数列,记 M ? cos A cos C , 则 M 的取值范围是 6.已知锐角三角形的边长分别为 1,3, a ,则 a 的取值范围是 7 . 已 知 ABC 外 接 圆 的 半 径 为 6 , 若 面 积 S
sin B ? sin C ? 4 ,则 sin A ? 3
ABC

? a2 ? (b ? c)2 且

,S

ABC

的最大值为

8.在 ABC 中, m ? (sin A,cos C), n ? (cos B,sin A) ,且 m ? n ? sin B ? sin C (1)求证: ABC 为直角三角形 (2)若 ABC 外接圆的半径为1 ,求 ABC 的周长的取值范围 9.在 ABC 中 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2 sin A ? 3cos A (1)若 a2 ? c2 ? b2 ? mbc ,求实数 m 的值 (2)若 a ? 3 ,求 ABC 面积的最大值。

解决与三角形相关的取值范围问题
例 1:在锐角 ABC 中, A ? 2 B ,则 的取值范围是 解析:由 0 ? A ? 2 B ? 且0 ? C ? ? ? A ? B ?
2

?

c b

?

2 ? ? c sin C sin 3B sin 2 B cos B ? cos 2 B sin B ? ? ? 4 cos 2 B ? 1 , 得 ? B ? ,所以 ? 6 4 b sin B sin B sin B

又 cos B ? (

c 2 3 , ) 所以 ? 4 cos 2 B ? 1? (1, 2) b 2 2

点评:①本题易错在求 B 的范围上,容易忽视“ ABC 是锐角三角形” 这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系,考察边角互化,化多 元为一元,体现了解题的通性通法。 例 2:若 ABC 的三边 a, b, c 成等比数列, a, b, c 所对的角依次为 A, B, C , 则 sin B ? cos B 的取值范围是 解 析 : 由 题 设 知
cos B ?
b2 ? ac

, 又 余 弦 定 理 知

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

所 以 0?B?
2 s i Bn ? ( ? 4

?
3

, 又 s i Bn?

cBo ?s

?

? ? ?7 B 2 ?s且 i n ( ?B ) ? 4 4 4

? 所 以 1 2

?

cos ) 即 ( sin 1 , B ?2 ] B 的取值范围是 (1, 2] 。

点评:本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起 来,有利于提高学生解题的综合能力。
,c cos A 例 3:在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a cos C, bcos B

成等差数列。 (1)求 B 的大小。 (2)若 b ? 5 ,求 ABC 周长的取值范围。 解析: (1)由题意知 a cos C ? c cos A ? 2b cos B , 由正弦定理得 sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos B

所以 sin( A ? C) ? 2sin B cos B ,于是 cos B ? , B ? (2)由正弦定理
a?b?c ?

1 2

?
3

a b c 10 ,所以 ? ? ? sin A sin B sin C 3

10 10 10 2? 10 ? sin A ? 5 ? sin C ? 5 ? sin( ? A) ? sin A ? 5 ? 10sin( A ? ) 3 6 3 3 3 3

又由 0 ? A ?

?
2

得 ? A?
6

?

?
6

?

a ? b ? c ? 5 ? 10sin( A ? ) ? (10,15] 。 6

?

2? ,所以 3

点评:对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公 式以及恒等变换式等实施变形,达到化简、求值域的目的。 例 4:在 ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,若 ABC 的外接圆半径为
ABC 的面积的最大值为

2 3

3 2 ,则 2

解 析 : 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? a b及 余 弦 定 理 得 c o sC ?
sin C ? 2 2 , 3

2 3

a2 ? b 2 ? c 2 1 ? ,所以 2ab 3

又由于 c ? 2 R sin C ? 4 ,所以 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 即 16 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab 所以 ab ? 12 ,又由于 S ? ab sin C ? 时, ABC 的面积取最大值 4 2 点评: 先利用余弦定理求 cos A 的大小, 再利用面积公式结合基本不等 式,求面积的最大值,要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。 例 5: (2008,江苏)满足 AB ? 2, AC ? 2BC 的 ABC 的面积的最大值是 解析:设 BC ? x ,则 AC ? 2 x , 根据面积公式得 S
ABC

2 3

1 2

2 ab ? 4 2 ,故当且仅当 a ? b ? 2 3 3

?

1 AB ? BC sin B ? x 1 ? cos 2 B ① 2

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 4 ? x 2 ? ( 2 x)2 4 ? x 2 由余弦定理得 cos B ? ? ? 2 AB ? BC 4x 4x

代入①式得 S

ABC

? x 1? (

4 ? x2 2 128 ? ( x2 ?12) 2 ) ? 4x 16

由三角形三边关系有 2x ? x ? 2且x ? 2 ? 2x ,所以 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 , 故当 x ? 2 3 时, S
ABC

取得最大值 2 2 。

点评:本题结合函数的知识,以学生熟悉的三角形为载体,考察了面 积公式、余弦定理等知识,是一道考察解三角形的好题。 例 6 :已知角 A, B, C 是 ABC 三个内角, a, b, c 是各角的对边,向量
A? B 5 A? B 9 m ? (1? cos( A ? B ), cos ) n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? , 2 8 2 8

(1)求 tan A ? tan B 的值。
ab sin C 的最大值。 a ? b2 ? c2 A? B 5 A? B 9 ) , n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? 得 解析:由 m ? (1 ? cos( A ? B), cos 2 8 2 8 5 A? B 9 [1 ? cos( A ? B)] ? cos 2 ? ,所以 4cos( A ? B) ? 5cos( A ? B) , 8 2 8 1 即 cos A cos B ? 9sin A sin B ,所以 tan A ? tan B ? 9 ab sin C ab sin C 1 ? tan C ,而 (2)由余弦定理得 2 2 2 ? a ?b ?c 2ab cos C 2 tan A ? tan B 9 9 3 tan( A ? B) ? ? (tan A ? tan B) ? ? 2 tan A tan B ? 1 ? tan A tan B 8 8 4 3 即 tan( A ? B) 有最小值 ,又 tan C ? ? tan( A ? B) , 4 3 1 所以 tan C 有最大值 ? (当且仅当 tan A ? tan B ? 时取等号) 4 3 ab sin C 3 所以 2 2 2 的最大值为 ? a ?b ?c 8

(2)求

2

通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的

综合运用能力,是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。 巩固练习 1.在 ABC 中, a ? 2, c ? 1 ,则 ?C 的取值范围为 2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边 长的比值为 m ,则 m 的取值范围是 3.在 Rt ABC 中,C ? 数 x 的取值范围为 4.在锐角 ABC 中, A ? 2 B , AC ? 1 ,则 BC 的取值范围是 5.在锐角 ABC 中,三个内角 A, B, C 成等差数列,记 M ? cos A cos C , 则 M 的取值范围是 6.已知锐角三角形的边长分别为 1,3, a ,则 a 的取值范围是 7 . 已 知 ABC 外 接 圆 的 半 径 为 6 , 若 面 积 S
sin B ? sin C ? 4 ,则 sin A ? 3
ABC

?
2

,且 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 a ? b ? xc ,则实

? a2 ? (b ? c)2 且

,S

ABC

的最大值为

8.在 ABC 中, m ? (sin A,cos C), n ? (cos B,sin A) ,且 m ? n ? sin B ? sin C (1)求证: ABC 为直角三角形 (2)若 ABC 外接圆的半径为1 ,求 ABC 的周长的取值范围 9.在 ABC 中 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2 sin A ? 3cos A (1)若 a2 ? c2 ? b2 ? mbc ,求实数 m 的值 (2)若 a ? 3 ,求 ABC 面积的最大值。 参考答案

1. sin C ? sin A ? , C ? (0, ]
6

1 2

1 2

?

2. (2, ??) 3. (1, 2] 4
BC ?







1



?
6

?B?

?
4













AC sin A sin 2 B ? ? 2 cos B ? ( 2, 3) sin B sin B ? 2? 2? 5.易知 B ? , A ? C ? ,则 M ? cos A cos C ? cos A cos( ? A) 3 3 3

1 3 cos A ? 1 3 1 ? 1 ? ? cos2 A ? sin A cos A ? ? ? sin 2 A ? sin(2 A ? ) ? 2 2 4 4 2 6 4


1 M? s 2



0? A?

? 1 i A ? n ?( ? 2? 6 4

2? 3


1 ) 2


1 4 (



? ,

?
6

2A ? ]

?7
6

?

? , 6

?



6. 设 1,3, a 所 对 的 角 分 别 为 A, B, C , 由 三 角 形 三 边 关 系 有
1 ? 3 ? a,1 ? a ? 3且3 ? a ? 1 ,故 2 ? a ? 4 ,易知 B ? A ,要保证 ABC 为锐角

三角形,只需 cos B ? 0, cosC ? 0,即
2 2 ? a ? 10

12 ? a 2 ? 32 12 ? 32 ? a 2 ? 0且 ? 0 ,解得 2 ?1 ? a 2 ?1 ? 3

sin A ? 2) 2 sin A ? 2 cos A ,易得 A 为 由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,故有 2 ? 2

7.由 S

ABC

? a2 ? (b ? c)2 ,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc(

锐角, 且 4 ? 2sin A ?

sin 2 A ? 4cos 2 A , 1 7 i s 即n 4
4 3

2 n 8 i s A? 0

A? , 故有 sin A ?

8 , 17

则 b ? c ? 2 R(sin B ? sin C ) ? 12 ? ? 16
S
ABC

1 sin A b ? c 2 4 256 ? bc sin A ? ( ) ? ? 64 ? (当且仅当 b ? c ? 8 时取等 2 2 2 17 17

号) 即S
ABC

的最大值为

256 17

8. (1)由 m ? (sin A,cos C), n ? (cos B,sin A) ,且 m ? n ? sin B ? sin C

得 sin A cos B ? sin A cos C ? sin B ? sin C , 由正弦定理得 a cos B ? a cos C ? b ? c , 由余弦定理得 a ?
a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? a? ?b?c 2ac 2ab

整理得 (b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ) ? 0 又由于 b ? c ? 0 ,故 a2 ? b2 ? c2 ,即 ABC 是直角三角形 (或者:由 sin A cos B ? sin A cos C ? sin B ? sin C 得,
sin A cos B ? sin A cos C ? sin( A ? C ) ? sin( A ? B)

化简得 cos A(sin B ? sin C) ? 0 ,由于 sin B ? sin C ? 0 ,故 cos A ? 0 , 即 ABC 是直角三角形) (2)设 ABC 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 由于 ABC 外接圆的半径为 1 , A ?
?
2

,所以 a ? 2 R sin A ? 2 ,
?
4

所以 b ? c ? 2 R(sin B ? cos B) ? 2(sin B ? cos B) ? 2 2 sin( B ? ) 又0 ? B ?
?
2

,故 ? B ?
4

?

?
4

?

3? ? ,因而 2 2 sin( B ? ) ? (2, 2 2] 4 4

故4 ? a?b?c ? 2?2 2 即 ABC 的周长的取值范围为 (4, 2 ? 2 2] 9. (1)由 2 sin A ? 3cos A 两边平方得 2sin 2 A ? 3cos A 即 (2cos A ?1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 由 a2 ? c2 ? b2 ? mbc 得 即 cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 m ? 2bc 2
1 2

m 1 ? ,所以 m ? 1 2 2
1 2

(2)由(1)知 cos A ? ,则 sin A ?

3 , 2



b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,所以 bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 ,即 bc ? a 2 , 2bc 2

故S

ABC

1 1 3 3 3 ? bc sin A ? a 2 ? ? 2 2 2 4


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