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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第1讲


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专题二 第1讲

第 1讲
【高考考情解读】

三角函数的图象与性质

1.对三角函数的图象和性质的考查中,以图象的变换,函数
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的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内 容,并且往往与三角变换公式相

互联系,有时也与平面向 量,解三角形或不等式内容相互交汇. 2.题型多以客观题来呈现,如果设置解答题一般与三角变 换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查,题目难度 为中、低档.

主干知识梳理

专题二 第1讲

1.三角函数定义、同角关系与诱导公式
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(1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 y P(x,y),则 sin α=y,cos α=x,tan α=x.各象限角的三角 函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. sin α 2 2 (2)同角关系:sin α+cos α=1, =tan α. cos α kπ (3)诱导公式: 在 +α, k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变, 2 符号看象限”.

主干知识梳理
2.三角函数的图象及常用性质 函数 y=sin x y=cos x

专题二 第1讲

y=tan x

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图象

π π π 在 [ - π + 2 k π , 在 [ - + 2kπ , + 在(- + 2 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 π 单调 2kπ](k∈Z)上单调递增; kπ , + 2 调递增; 在[2kπ, π 3π 性 在 [ + 2kπ , + 2 2 π + 2kπ](k∈Z) kπ)(k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上单调递减 上单调递减 单调递增

主干知识梳理

专题二 第1讲

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对 称 中 心 : (kπ , 对称中心: π 0)( k ∈ Z) ; ( + kπ , 对 2 对称中心: π 称 对 称 轴 : x = 2 + 0)(k∈Z); kπ ( ,0)(k∈Z) 2 性 kπ(k∈Z) 对称轴: x= kπ(k∈Z)

主干知识梳理
3.三角函数的两种常见变换

专题二 第1讲

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热点分类突破

专题二 第1讲

考点一

三角函数的概念、 诱导公式及同角三角函数的基本关 系问题

本 例 1 (1)如图,为了研究钟表与三角函数的关 讲 栏 系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位 目 ? 3 1? 开 ? 置 P(x,y).若初始位置为 P0? , 关 ? ?,当秒
?

2

2?

针从 P0(此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为________.

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专题二 第1讲

(2)(2012· 山东)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1),此
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时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿 → 正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP的 坐标为________.

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专题二 第1讲

解析

(1)由三角函数的定义可知,

π π 初始位置点 P0 的弧度为 ,由于秒针每秒转过的弧度为- , 6 30 针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1,
本 ? π π? 讲 ? ? 栏 故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可能为 y=sin?-30t+6 ?. 目 开 关 (2)利用平面向量的坐标定义、解三角形

知识以及数形结合思想求解. 设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 2 为 2,∠ABP=1=2. 长

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设 P(x,y),则
? π? x=2-1×cos?2-2?=2-sin ? ?

专题二 第1讲
2,

? π? y=1+1×sin?2-2? ? ?

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=1-cos 2, → ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).

答案

? π π? (1)y=sin?-30t+6? ? ?

(2)(2-sin 2,1-cos 2)

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专题二 第1讲

(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩 天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,
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注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利 用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则, 如化切为 弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

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专题二 第1讲

(1)若
解析

?π ? sin?6-α?=a,则 ? ?

?2π ? -a cos? 3 -α?=________. ? ?

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?2π ? ? ?π ?? cos? 3 -α?=cos?π-?3+α?? ? ? ? ? ??

?π ? =-cos?3+α? ? ?

? π ?π ?? ? =-sin?2-?3+α?? ? ?? ? ? ?π ? =-sin?6-α?=-a. ? ?

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(2)如图,以 Ox 为始边作角 α(0<α<π), 终边与 单位圆相交于点 P,已知点 P 的坐标为 ? 3 4? ?- , ?. ? 5 5? sin 2α+cos 2α+1 求 的值. 本 1+tan α
讲 栏 目 解 由三角函数定义, 开 3 4 关 得cos α=- ,sin α= ,

专题二 第1讲

5

5

2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α =2cos
2

? 3? 18 2 ? ? α=2× -5 =25. ? ?

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专题二 第1讲

考点二

三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及解析式

例 2 如图,它是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,由图中
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条件,写出该函数的解析式.

本题考查已知图象上的点,求三角函数的解析式, 解题的关键是正确理解参数 A,ω,φ 的含义,以及它们对函 数图象的作用,抓住两者联系解决问题.

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专题二 第1讲



由图知 A=5,

T 5π 3π 由2= 2 -π= 2 ,得 T=3π,
?2x ? 2π 2 ∴ω= T =3,此时 y=5sin? 3 +φ?. ? ? 本 讲 下面求初相 φ.

栏 目 开 方法一 关

(单调性法):

∵点(π,0)在递减的那段曲线上,
? π 3π? 2π ∴ 3 +φ∈?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). ? ?



?2π ? sin? 3 +φ?=0 ? ?

2π 得 3 +φ=2kπ+π(k∈Z),

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专题二 第1讲

π ∴φ=2kπ+ (k∈Z). 3 π ∵|φ|<π,∴φ=3.
?2x π? ∴该函数的解析式为y=5sin? 3 +3?. ? ?

本 讲 方法二 (最值点法): 栏 ?π ? ?2x ? 目 开 将最高点坐标?4,5?代入y=5sin? 3 +φ?, ? ? ? ? 关
?π ? 得5sin?6+φ?=5, ? ?

π π ∴6+φ=2kπ+2(k∈Z), π ∴φ=2kπ+3(k∈Z).

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专题二 第1讲

π 又|φ|<π,∴φ= . 3
∴该函数的解析式为

?2x π? y=5sin? 3 +3?. ? ?

(1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解
本 讲 析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊 栏 目 点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点法”中的 开 关 五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象

的升降找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变 换.变换只是相对于其中的自变量 x 而言的,如果 x 的系数不 是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

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(1)(2013· 四川改编)函数 f(x)= π π 2sin(ωx+ φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图 2 2 π 2,-3 . 所示,则 ω,φ 的值分别是________
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专题二 第1讲

3 5π ? π? ∵4T=12-?-3?,T=π,∴ω=2, ? ?

5π π π 又 2×12+φ=2kπ+2,k∈Z,∴φ=2kπ-3,k∈Z.



? π π? π ? ? φ∈ -2,2 ,∴φ=-3. ? ?

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专题二 第1讲

(2)(2013· 山东)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, 7 b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . 9 ①求 a,c 的值;
本 讲 解 ①由余弦定理得: 栏 目 2 2 2 2 2 a + c - b a + c -4 7 开 = = , 关 cos B= 2ac 2ac 9

②求 sin(A-B)的值.

14 ∴(a+c) -2ac-4= ac,∴ac=9. 9 ? ?a+c=6, 由? 得 a=c=3. ? ?ac=9
2

14 即 a +c -4= ac. 9
2 2

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7 ②在△ABC 中,cos B= , 9

专题二 第1讲

∴sin B= 1-cos B=

2

?7? 4 2 2 1-?9? = 9 . ? ?

a b 由正弦定理得: = , sin A sin B 本
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4 2 3× 9 asin B 2 2 ∴sin A= = = . b 2 3 π 1 2 又 A=C,∴0<A< ,∴cos A= 1-sin A= , 2 3
2 2 7 1 4 2 ∴sin (A-B)=sin Acos B-cos Asin B= × - × 3 9 3 9 10 2 = . 27

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考点三 例3
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专题二 第1讲

三角函数的性质

?sin x-cos x?sin 2x (2012· 北京)已知函数 f(x)= . sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.
先化简函数解析式,再求函数的性质.

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专题二 第1讲



(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z),

故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
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?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x
=2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 =
? π? 2sin?2x-4?-1, ? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

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专题二 第1讲

(2)函数 y=sin x
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? π π? 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2 ?(k∈Z). ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 ? ? ? π 3π? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ? ? ?

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专题二 第1讲

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路
本 讲 化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; 栏 目 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y 开 关 =Asin(ωx+φ)+B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

第一步: 先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数

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专题二 第1讲

(1)已知函数 f(x)=sin x+cos x,g(x)=sin x-cos x, 有下列四个命题: π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象; 2 本 讲 ②y=f(x)g(x)是偶函数; 栏 ? π π? 目 - , ?上单调递增; 开 ③f(x)与 g(x)均在区间? ? 4 4? 关 f?x? ④y= 的最小正周期为 2π. g?x? 其中真命题是________.(填序号)

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专题二 第1讲

函数 y=f(x)g(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,
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π 解析 f(x)= 2sin(x+ ), 4 π g(x)=sin x-cos x= 2sin(x- ),显然①正确; 4
其为偶函数,故②正确; π π π π π π 由 0≤x+ ≤ 及- ≤x- ≤0 都可得- ≤x≤ , 4 2 2 4 4 4 π 所以由图象可判断函数 f(x)= 2sin(x+ )和函数 g(x)= 2sin(x 4 π π π -4)在[-4,4]上都为增函数,故③正确; f?x? sin x+cos x 1+tan x π 函数 y= = = =-tan(x+4),由周期性 g?x? sin x-cos x tan x-1 定义可判断其周期为 π,故④不正确.

答案 ①②③

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(2)(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos 正周期为 π. ①求 ω 的值;
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? π? ②讨论 f(x)在区间?0,2 ?上的单调性. ? ? ? π? 解 ①f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4? ? ?

专题二 第1讲
? π? ωx· sin?ωx+4 ?(ω>0)的最小 ? ?

=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2 ? π? =2sin?2ωx+4?+ 2. ? ? 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 2π 从而有2ω=π,故 ω=1.

热点分类突破
? π? ②由①知,f(x)=2sin?2x+4 ?+ ? ?

专题二 第1讲
2.

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π π π 5π 若 0≤x≤ , 则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π 当 ≤2x+ ≤ , 4 4 2 π 即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 8 π π 5π 当 ≤2x+ ≤ , 2 4 4 π π 即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 8 2 ? π? 综上可知,f(x)在区间?0,8?上单调递增, ? ? ?π π ? 在区间?8,2?上单调递减. ? ?

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专题二 第1讲

1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ), 或 y=Atan(ωx +φ))的单调区间
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(1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= T . (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ.

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专题二 第1讲

3.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最 低点. 4.求三角函数式最值的方法
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(1)将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,进而结 合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于sin 5.特别提醒: 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变 换都是变换变量本身. x,cos x的二次函数的形 式,进而借助二次函数的性质求解.

押题精练

专题二 第1讲

1.假设若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函 数为“互为生成函数”.给出下列函数:
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①f(x)=sin x-cos x;②f(x)= 2(sin x+cos x); ③f(x)= 2sin x+2;④f(x)=sin x.

①② .(填序号) 则其中属于“互为生成函数”的是________

押题精练

专题二 第1讲

3 2.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos ωx- (ω>0),直线 2
2

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x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2| π 的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后, 再将得到的图象 8 上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函 数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, π ]上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 2

押题精练
解 1+cos 2ωx 1 3 (1)f(x)= sin 2ωx+ 3× - 2 2 2

专题二 第1讲

1 3 π =2sin 2ωx+ 2 cos 2ωx=sin(2ωx+3),
本 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 讲 栏 目 T= 2π = π =π,所以 ω=2, 开 2ω ω 2 关
? π? ∴f(x)=sin?4x+3?. ? ?

π π

π (2)将 f(x)的图象向右平移8个单位后, π 得到 y=sin(4x-6)的图象,

押题精练

专题二 第1讲

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,
π 纵坐标不变,得到 y=sin(2x- )的图象. 6 π 所以 g(x)=sin(2x- ). 6 π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6 π g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一个实数解, 2 π 5π 即函数 g(t)=sin t 与 y=-k 在区间[- , ]上有且只有一个 6 6
交点.

本 讲 栏 目 开 关

押题精练
如图,

专题二 第1讲

本 讲 栏 目 开 1 1 关 由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1.

2

2

1 1 ∴- <k≤ 或 k=-1. 2 2


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