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第16届全国中学生物理竞赛预复赛试卷及答案


第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷 第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1999 年

全卷共九题,总分为 140 分。
一、 (10 分) 1.到 1998 年底为止,获得诺贝尔物理学奖的华人共有_______人,他们的姓名是______ __________________________________________________

_____________________________。 2.1998 年 6 月 3 日,美国发射的航天飞机“发现者”号搭载了一台α磁谱仪,其中一个 关键部件是由中国科学院电工研究所设计制造的直径 1200mm、高 800mm、中心磁感强度为 0.1340T 的永久磁体。用这个 α 磁谱仪期望探测到宇宙中可能存在的_____________。 3.到 1998 年底为止,人类到达过的地球以外的星球有_______________,由地球上发射 的探测器到达过的地球以外的星球有__________________。

二、 (15 分)一质量为 M 的平顶小车,以速度 v0 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一 质量为 m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为 ? 。 1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下,则该车顶最少要多长? 2. 若车顶长度符合 1 问中的要求,整个过程中摩擦力共做了多少功?

三、 (15 分)如图预 16-3 所示,两个截面相同的圆柱形容器,右边容器高为 H ,上端封闭, 左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连通, 容器、活塞和细管都是绝热的。开始时,阀门关闭,左边 容器中装有热力学温度为 T0 的单原子理想气体, 平衡时活 塞到容器底的距离为 H , 右边容器内为真空。 现将阀门缓 慢打开,活塞便缓慢下降,直至系统达到平衡。求此时左 边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。

3 提示:一摩尔单原子理想气体的内能为 RT ,其中 R 为摩尔气 2 体常量, T 为气体的热力学温度。
四、 (20 分)位于竖直平面内的矩形平面导线框 abcd 。 ab 长为 l1 , 是水平的, bc 长为 l2 ,线框的质量为 m ,电阻为 R .。其下方有一匀 强磁场区域,该区域的上、下边界 PP ' 和 QQ ' 均与 ab 平行,两边界 间的距离为 H , H > l2 ,磁场的磁感应强度为 B ,方向与线框平面垂 直,如图预 16-4 所示。令线框的 dc 边从离磁场区域上边界 PP ' 的距 离为 h 处自由下落,已知在线框的 dc 边进入磁场后, ab 边到达边界 PP ' 之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到 dc 边刚刚到 达磁场区域下边界 QQ ' 的过程中,磁场作用于线框的安培力做的总功为多少?

1

五、 (15 分)一平凸透镜焦距为 f ,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2 f 处,垂直于主 轴放置一高为 H 的物,其下端在透镜的主轴上(如图预 16-5) 。 1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 2. 用计算法求出此像的位置和大小。

六、 (15 分)如图预 16-4-1 所示,电阻 R1 = R2 = 1 k? ,电动势 E = 6 V ,两个相同的二极管 D 串联在电路中,二极管 D 的 I D ? U D 特性曲线如图预 16-6-2 所示。试求: 1. 通过二极管 D 的电流。 2. 电阻 R1 消耗的功率。

七、 (15 分)将一根长为 100 多厘米的均匀弦线,沿水平的 x 轴放置,拉紧并使两端固定。现 对离固定的右端 25cm 处(取该处为原点 O ,如图预 16-7-1 所示)的弦上一点施加一个沿垂 直于弦线方向(即 y 轴方向)的扰动,其位移随时间的变化规律如图预 16-7-2 所示。该扰动 将沿弦线传播而形成波(孤立的脉冲波) 。已知该波在弦线中的传播速度为 2.5 cm/s ,且波在 传播和反射过程中都没有能量损失。 1. 试在图预 16-7-1 中准确地画出自 O 点沿弦向右传播的波在 t = 2.5 s 时的波形图。 2. 该波向右传播到固定点时将发生反射,反射波向左传播,反射点总是固定不动的。这 可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加,使反射点的位移始终为零。由此观点出发, 试在图预 16-7-1 中准确地画出 t = 12.5 s 时的波形图。 3. 在图预 16-7-1 中准确地画出 t = 10.5 s 时的波形图。

2

八、 (15 分)1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际天文学会上,德国 Max Planck 学会的一个研 究组宣了他们的研究成果:银河系的中心可能存在一个在黑洞。他们的根据是用口径为 3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据,他们 发现,距离银河系中心约 60 亿公里的星体正以 2000 km/s 的速度围绕银河系中心旋转。根据 上面的数据,试在经典力学的范围内(见提示 2) ,通过计算确认,如果银河系中心确实存在 黑洞的话,其最大半径是多少。 (引力常数 G = 6.67 × 10-20 km3 ? kg-1 ? s-2 ) 提示:1. 黑洞是一种密度极大的天体,其表面的引力是如此之强,以至于包括光在内的 所有物质都不了其引力作用。 2.计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型,在这种模型中,在黑洞表面上的所有 物质,即使初速度等于光速 c 也逃脱不了其引力的作用。

九、 (20 分)一个大容器中装有互不相溶的两种液体,它们的密度分别为 ρ1 和 ρ2 ( ρ1 < ρ 2 ) 。

1 现让一长为 L 、密度为 ( ρ1 + ρ 2 ) 的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离两液体 2 3 分界面的距离为 L ,由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运 4 动而产生的液体阻力可以忽略不计,且两液体都足够深,保证木棍始终都在液体内部运动, 未露出液面,也未与容器相碰。

3

第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答
一、参考解答 1. 五,杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦 2. 反物质 3. 月球,月球、火星

二、参考解答 1. 物块放到小车上以后,由于摩擦力的作用,当以地面为参考系时,物块将从静止开始 加速运动,而小车将做减速运动,若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度, 则物块就刚好不脱落。令 v 表示此时的速度,在这个过程中,若以物块和小车为系统,因为水 平方向未受外力,所以此方向上动量守恒,即

Mv0 = (m + M )v

(1)

从能量来看,在上述过程中,物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功,即

1 2 mv = ? mgs1 2
其中 s1 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功,即

(2)

1 1 2 Mv 2 ? mv0 = ? ? mgs2 2 2
其中 s2 为小车移动的距离。用 l 表示车顶的最小长度,则

(3)

l = s2 ? s1
由以上四式,可解得

(4)

l=

2 Mv0 2? g (m + M ) 2 Mv0 。 2? g (m + M )

(5)

即车顶的长度至少应为 l =

2.由功能关系可知,摩擦力所做的功等于系统动量的增量,即

1 1 2 W = (m + M )v 2 ? Mv0 2 2 由(1)、(6)式可得 W =?
2 mMv0 2(m + M )

(6)

(7)

三、参考解答 设容器的截面积为 A ,封闭在容器中的气体为ν 摩尔,阀门打开前,气体的压强为 p0 。
4

由理想气体状态方程有

p0 AH = ν RT0

(1)

打开阀门后,气体通过细管进入右边容器,活塞缓慢向下移动,气体作用于活塞的压强 仍为 p0 。活塞对气体的压强也是 p0 。设达到平衡时活塞的高度为 x ,气体的温度为 T ,则有

p0 ( H + x) A = ν RT
根据热力学第一定律,活塞对气体所做的功等于气体内能的增量,即

(2)

3 p0 ( H ? x) A = ν R (T ? T0 ) 2 由(1)、(2)、(3)式解得 2 x= H 5 7 T = T0 5

(3)

(4) (5)

四、参考解答 设线框的 dc 边刚到达磁场区域上边界 PP ' 时的速度为 v1 ,则有

1 2 mv1 = mgh (1) 2 dc 边进入磁场后,按题意线框虽然受安培力阻力作用,但依然加速下落.设 dc 边下落到
离 PP ' 的距离为 ?h1 时,速度达到最大值,以 v0 表示这个最大速度,这时线框中的感应电动势 为

E = Bl1v0
线框中的电流

E Bl1v0 = R R 作用于线框的安培力为
I=

B 2l12 v0 R 速度达到最大的条件是安培力 F = mg F = Bl1 I =
由此得

(2)

v0 =

mgR B 2l12

(3)

在 dc 边向下运动距离 ?h1 的过程中,重力做功 WG = mg ?h1 ,安培力做功 WF ,由动能定 理得

WG + WF =

1 2 1 2 mv0 ? mv1 2 2
5

将(1)、(3)式代入得安培力做的功

WF = ?mg ?h1 +

m3 g 2 R 2 ? mgh 2 B 4l14

(4)

线框速度达到 v0 后,做匀速运动.当 dc 边匀速向下运动的距离为 ?h2 = l2 ? ?h1 时,ab 边 整个线框进入磁场. 在线框 dc 边向下移动 ?h2 的过程中, 重力做功 WG′ , 到达磁场的边界 PP ' , 安培力做功 WF ′ ,但线框速度未变化,由动能定理

WG′ + WF ′ = 0 WF ′ = ?WG′ = ?mg ?h2 = ?mg (l2 ? ?h1 )
零,安培力做的功也为零,线框只在重力作用下做加速运动。 所以,整个过程中安培力做的总功 (5)

整个线框进入磁场后,直至 dc 边到达磁场区的下边界 QQ ' ,作用于整个线框的安培力为

W = WF + WF ′ = ?mg (l2 + h) +
〔编注:此题命题有不严密之处。由微分方程

m3 g 2 R 2 2 B 4l14

(6)

mg ?
的解

B 2l12v dv =m R dt
B 2l 2

1 B 2l12v - mR ?t mg ? =l R

可知,只有当 t → ∞ 时, v 才能趋向极限速度 v0 =

mgR (即线框下落无穷长的距离,速度才 B 2l12

能趋向 v0 )。原题说 ab 边未进入磁场即达到最大速度是不确切的。〕

五、参考解答 1. 用作图法求得物 AP ,的像 A ' P ' 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明:平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的组合 LM ,如图预解16-5所示.图中 O 为 L 的光心, AOF ' 为主轴, F 和 F ' 为 L 的两个焦点, AP 为物,作图时利用了下列三条特征光线:

6

(1) P 射向 O 的入射光线, 由 它通过 O 后方向不变, 沿原方向射向平面镜 M , 然后被 M 反射,反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为 α 。反射线射入透镜时通过光心 O ,故由透 镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ' . (2) P 发出已通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR , 由 它经过 L 折射后的出射线与主轴平 行,垂直射向平面镜 M ,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L ,经 L 折 射后的出射线通过焦点 F ,即为图中的 RFP . (3)由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦点 F ' ,即沿图中的 QF ' 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ' 对称的 F 点,即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 的辅助线 S ' OS ,

S ' OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点,由于入射平行光线经透镜后相交于焦 面上的同一点,故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出
射光线。 上列三条出射光线的交点 P ' 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A ' 即 A 的像点.由图 可判明, A ' P ' 是倒立实像, 像 只要采取此三条光线中任意两条即可得 A ' P ' , 即为正确的解答。 2. 按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的伙置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 = 2 f ,由成像公式可得像距 v1 = 2 f ,即像在平向 镜后距离 2 f 处,像的大小 H ' 与原物相同, H ' = H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。 第一像在反射镜 M 后 2 f 处, M 来说是虚 对 物,成实像于 M 前 2 f 处。像的大小 H ′′ 也与原物相同, H ′′ = H ′ = H 。 第二像作为物,而经透镜 L 而成的像为第三像,这时因为光线由 L 右方入射,且物(第二 像)位于 L 左方,故为虚物,取物 u3 = ?2 f ,由透镜公式

1 1 1 + = 可得像距 u3 v3 f

v3 =

fu3 2 = f >0 u3 ? f 3

上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离

2 f 处,像的大小 H ′′′ 可 3



H ′′′ v3 1 = = 求得,即 H ′′ u3 3 1 1 H ′′′ = H ′′ = H 3 3
7

1 像高为物高的 。 3

六、参考解答 解法一: 设二极管 D 两端的管压为 U D ,流过二极管的电流为 I D 。则有

? 2U D ? 2U D = E ? ? I D + ? R1 R2 ? ?
代入数据解得 U D 与 I D 的关系为

(1)

U D = (1.5 ? 0.25 I D × 103 ) V
这是一在图预解16-6中横轴上截距为1.5, 纵轴上 截距为 6、斜率为-4的直线方程(称为二极管的负载 线)因管压 U D 与流过二极管电流 I D 还受二极管 D 的

(2)

I D ~ U D 特性曲线的限制,因而二极管就工作在负载
线 与 ID ~ UD 特 性 曲 线 的 相 交 点 P 上 ( 如 图 预 解 16-6).由此得二极管两端的管压和电流分别为

UD = 1 V ,
电阻 R1 上的电压

I D = 2 mA

(3)

U1 = E ? 2U D = 4 V
其功率

P= 1
解法二:

U12 = 16 mW R1

(4)

设两个二极管用一个等效二极管 D′ 代替,当流过等效二极管的电流为 I D′ 时,等效二极管 的管压为 U D′ = 2U D 。 即有

U D′ = E ? ( I D′ +
代入数据解得 U D′ 与 I D′ 的关系为

U D′ ) R1 R2

(1′)

8

U D′ = (3 ? 0.5I D′ × 103 ) V

(2′)

这是一在横轴上截距为3、 纵轴上截距为6、 斜率为-2的负载线方程, 二极管 D′ 的 I D′ ? U D′ 特性曲线只要将图预解16-6的横坐标增大1倍即可.用作图法,求出负载线与管 D′ 的特性曲线 相交的 P 点得

U D′ = 2 V ,
电阻 R1 上的电压

I D′ = 2 mA

(3′)

U1 = E ? U D′ = 4 V
其功率

P= 1

U12 = 16 mW R1

(4′)

七、参考解答 t = 10.5 s 和 t = 12.5 s 的波形如图预解16-7-1所示。

其中10.5 s 时的波形, 如果没有固定点应如 AB 所示, 以固定点 D 对称作出反射波 B ' C ' , 再和 AC 合成,形成了 AED (图预解16-7-2)。12.5 s 的波形,如果没有固定点应如 AB 所 示,以固定点对称作出反射波 A ' B ' (图预解16-7-3).

9

八、参考解答 首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件.按照黑洞的定义,包括以光速运动 的光子也不能脱离黑洞的吸引,即不能逃离黑洞的表面.而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看 做是以光速 c 运动的某种粒子.我们知道,物体在引力作用下的势能是负的,物体恰能逃离引 力作用,表示物体运动到无限远的过程中,其动能恰好全部用于克服引力做功.物体在无限 远处时,动能和势能都等于零.这意味着该物体处在引力源表面处时,其动能与势能之和亦 等于零.物体不能逃离引力作用,表示该物体尚未到达无限远处,其动能已全部用于克服引 力做功,但引力势能仍是负的.这意味着它在引力源表面处时,其动能与势能之和小于零.若 某引力源的质量为 M ,半径为 rB ,质量为 m 的粒子在引力源表面的速度等于光速,但它仍不 能逃离引力作用,则按牛顿力学的观点应有下列关系:

1 2 Mm mc ? G <0 2 rB


(1)

rB <

2GM c2

(2)

2GM c2 时才会在其表面产生足够强的引力,使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用.对 光而言,人们将无法通过光学测量看到它,这就是把它叫做黑洞的原因. 现在再来根据观测数据确定存在于银河系中心的大黑洞的半径.设位于银河系中心的引 力源的质量为 M ,绕银河系中心旋转的星体的质量为 m ,该星体做圆周运动时, 有下列关系:
这就是说,对于质量为 M 的引力源,只有其半径 rB (叫做黑洞的引力半径)小于

v2 mM rv 2 =G 2 即 M= (3) r G r r 为轨道半径.若该引力源为黑洞,则其质量分布球的半径应满足(2)式,即 m rB < 2G v 2 r v2r =2 2 c2 G c
(4)

根据观测数据, v = 2 × 103 km/s=2 × 106 m/s , r = 60 × 108 km=6 × 1012 m ,而 c = 3 × 108 m/s , 把这些数据代入(4)式,得

rB < 5.3 × 108 m=5.3 × 105 km

(5)

这说明,对质量由(3)式决定的引力源来说,半径小于 5.3 × 105 km 时才是黑洞,大于这 个数值则不是黑洞.所以如果银河系中心存在黑洞的话,该黑洞的半径小于 5.3 × 105 km .

九、参考解答 1.用 S 表示木棍的横截面积,从静止开始到其下端到达两液体交界面为止,在这过程中,

1 木棍受向下的重力 ( ρ1 + ρ 2 ) ? LSg 和向上的浮力 ρ1LSg 。由牛顿第二定律可知,其下落的加 2 速度

10

a1 =

ρ 2 ? ρ1 g ρ1 + ρ 2

(1)

用 t1 表示所需的时间,则

3 1 L = a1t12 4 2
由此解得

(2)

t1 =

3L( ρ1 + ρ 2 ) 2( ρ 2 ? ρ1 ) g

(3)

2.木棍下端开始进入下面液体后,用 L ' 表示木棍在上面液体中的长度,这时木棍所受重

1 力不变,仍为 ( ρ1 + ρ 2 ) ? LSg ,但浮力变为 ρ1L′Sg + ρ 2 ( L ? L′) Sg .当 L = L ' 时,浮力小于 2
重力;当 L ' = 0 时,浮力大于重力,可见有一个合力为零的平衡位置.用 L0′ 表示在此平衡位 置时,木棍在上面液体中的长度,则此时有

1 ( ρ1 + ρ 2 ) ? LSg = ρ1L0′ Sg + ρ 2 ( L ? L0′ ) Sg 2
由此可得

(4)

L (5) 2 即木棍的中点处于两液体交界处时,木棍处于平衡状态,取一坐标系,其原点位于交界面上, 竖直方向为 z 轴,向上为正,则当木棍中点的坐标 z = 0 时,木棍所受合力为零.当中点坐标 为 z 时,所受合力为 L0′ =

1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ( ρ1 + ρ 2 ) ? LSg + ? ρ1 ? L + z ? Sg + ρ 2 ? L ? z ? Sg ? = ?( ρ 2 ? ρ1 ) Sgz = ? kz 2 ? ?2 ? ? ? ?2
式中

k = ( ρ 2 ? ρ1 ) Sg

(6)

这时木棍的运动方程为

1 ? kz = ( ρ1 + ρ 2 ) LSaz 2 a z 为沿 z 方向加速度 a z = ?2
( ρ 2 ? ρ1 ) gz = ?ω 2 z ( ρ1 + ρ 2 ) L
(7)

ω2 = 2

( ρ 2 ? ρ1 ) g ( ρ1 + ρ 2 ) L

由此可知为简谐振动,其周期

T=



ω

= 2π

( ρ1 + ρ 2 ) L 2( ρ 2 ? ρ1 ) g
11

(8)

为了求同时在两种液体中运动的时间,先求振动的振幅 A .木棍下端刚进入下面液体时, 其速度

v = a1t1
由机械能守恒可知

(9)

1 ?1 ? 2 1 2 1 2 ? 2 ( ρ1 + ρ 2 ) SL ? v + 2 kz = 2 kA 2? ?
式中 z =

(10)

1 L 为此时木棍中心距坐标原点的距离,由(1)、(3)、(9)式可求得 v ,再将 v 2 和(6)式中的 k 代人(10)式得 A= L (11) 由此可知, 从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达 坐标原点所走的距离是振幅的一半,从参考圆(如图预解 16-9)上可知,对应的 θ 为30°,对应的时间为 T /12 。因此 木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的 L L 时间,即棍中心从 z = 到 z = ? 所用的时间为 2 2
t2 = 2 T π = 12 3

( ρ1 + ρ 2 ) L 2( ρ2 ? ρ1 ) g

(12)

3.从木棍全部浸入下面液体开始,受力情况的分析和1 中类似,只是浮力大于重力,所以做匀减速运动,加速度的数值与 a1 一样,其过程和1中情况 相反地对称,所用时间

t3 = t1
4.总时间为

(13)

t = t1 + t2 + t3 =

6 6 + 2π 6

( ρ1 + ρ 2 ) L ( ρ 2 ? ρ1 ) g

(14)

12

第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题
1999 年

全卷共六题,总分为 140 分。
一、 分) (20 一汽缸的初始体积为 V0 , 其中盛有 2 mol 的空气和少量的水 (水的体积可以忽略) 。 平衡时气体的总压强是 3.0 atm ,经做等温膨胀后使其体积加倍,在膨胀结束时,其中的水刚 好全部消失,此时的总压强为 2.0 atm 。若让其继续作等温膨胀,使体积再次加倍。试计算此 时: 1.汽缸中气体的温度; 2.汽缸中水蒸气的摩尔数; 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。

二、 (25 分)两个焦距分别是 f1 和 f 2 的薄透镜 L1 和 L2 ,相距为 d ,被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该入射光线应满足什么条件? 2. 根据所得结果,分别画出各种可能条件下的光路示意图。

三、 (25 分)用直径为 1 mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5 cm 的圆环。圆环处于超 导状态,环内电流为 100 A 。经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于 10-6 A 。试 估算该超导材料电阻率数量级的上限。 ? I 提示:半径为 r 的圆环中通以电流 I 后,圆环中心的磁感应强度为 B = 0 ,式中 B 、 I 、 2r -7 -2 r 各量均用国际单位, ? 0 = 4π × 10 N ? A 。

四、 (20 分)经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它 们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个 星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很 远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 M ,两者 相距 L 。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期 T计算 。 2. 若实验上观测到的运动周期为 T观测 , T观测 : T计算 = 1: N ( N > 1) 。 且 为了解释 T观测 与

T计算 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。
作为一种简化模型,我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质,而 不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

五、 (25 分)六个相同的电阻(阻值均为 R )连成一个电阻环,六个接点依次为 1、2、3、4、 5 和 6,如图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1 、 D2 、┅ D5 。 现将 D2 的 1、3、5 三点分别与 D1 的 2、4、6 三点用导线连接,如图复 16-5-2 所示。然 后将 D3 的 1、3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将 D5 的 1、 3、5 三点分别连接到 D4 的 2、4、6 三点上。 1.证明全部接好后,在 D1 上的 1、3 两点间的等效电阻为
13

724 R。 627

2.求全部接好后,在 D5 上的 1、3 两点间的等效电阻。

六、 (25 分)如图复 16-6 所示, z 轴竖直向上, xy 平 面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在 A( x0 ,0,0) 处放一 带电量为 ? q (q > 0) 的小物块, 该物块与一细线相连, 细 线的另一端 B 穿过位于坐标原点 O 的光滑小孔,可通过 它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场,场强方向垂 直与 x 轴,与 z 轴夹角为 θ (如图复 16-6 所示) 。设小 物块和绝缘平面间的摩擦系数为 ? = tan θ ,且静摩擦系 数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来 牵引小物块,使之移动。在牵引过程中,我们约定:细 线的 B 端只准沿 z 轴向下缓慢移动,不得沿 z 轴向上移 动;小物块的移动非常缓慢,在任何时刻,都可近似认 为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是 一条二次曲线,试求出此轨迹方程。

14

第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、参考解答 1 只要有液态水存在,平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之 和:

p总0 = p空0 + p饱 = 3.0 atm
第一次膨胀后

(1)

V1 = 2V0 p总1 = p空1 + p饱 = 2.0 atm
(2)

由于第一次膨胀是等温过程,所以

p空0V0 = p空1V1 = 2 p空1V0
解(1)、(2)、(3)三式,得

(3)

p饱 = 1.0 atm p空0 = 2.0 atm p空1 = 1.0 atm
由于 p饱 = 1.0 atm ,可知汽缸中气体的温度

(4) (5) (6)

T0 = 373 K
根据题意,经两次膨胀,气体温度未改变。

(7)

2 设水蒸气为 γ 水 mol .经第一次膨胀,水全部变成水蒸气,水蒸气的压强仍为 p饱 ,这 时对于水蒸气和空气分别有

p饱V1 = γ 水 RT0 p空1V1 = γ 空 RT0 = 2 RT0
由此二式及(5)(6)式可得 、

(8) (9)

γ 水 = 2 mol
3. 在第二次膨胀过程中,混合气体可按理想气体处理,有

(10)

p总2V2 = p总1V1
由题意知, V2 = 4V0 , V1 = 2V0 ,再将(2)式代入,得

(11)

p总2 = 1.0 atm

(12)

15

二、参考解答 l. 在所示的光路图 (图复解16-2-1) 人射光 AB 经透镜 L1 折射后沿 BC 射向 L2 , L2 中, 经 折射后沿 CD 出射. AB 、 BC 、 CD 与透镜主轴的交点分别为 P 、 P′ 和 P′′ ,如果 P 为物点, 因由 P 沿主轴射向 O1 的光线方向不变,由透镜性质可知, P′ 为 P 经过 L1 所成的像, P′′ 为 P′ 经 L2 所成的像,因而图中所示的 u1 、 v1 、 u2 、 v2 之间有下列关系:

1 1 1 + = u1 v1 f1 1 1 1 + = u2 v2 f 2 d = u2 + v1

(1)

(2)

(3)

当入射光线 PB 与出射光线平行时,图中的 α = α ′ ,利用相似三角形关系可求得

h′ v2 = , h u1
从而求得

h′ u 2 = h v1
(4)

v2 u2 = u1 v1

联立方程(1)、(2)、(3)、(4),消去 v1 、 u2 和 v2 ,可得

u1 =

f1d d ? ( f1 + f 2 )

(5)

由于 d 、 f1 、 f 2 均已给定,所以 u1 为一确定值,这表明:如果入射光线与出射光线平行, 则此入射光线必须通过主轴上一确定的点, 它在 L1 的左方与 L1 相距 u1 =

f1d 处, 又由 d ? ( f1 + f 2 )

16

于 u1 与 α 无关,凡是通过该点射向 L1 的入射光线都和对应的出射光线相互平行. 2.由所得结果(5)式可以看出,当 d > f1 + f 2 时, u1 > 0 ,此情况下的光路图就是图复 解16-2-1. 当 d = f1 + f 2 时, u1 → ∞ ,α = 0 ,此时入射光线和出射光线均平行于主轴,光路如图复 解16-2-2.

当 d < f1 + f 2 时, u1 < 0 ,这表明 P 点在 L1 的右方,对 L1 来说,它是虚物.由(1)式可 知,此时 v1 > 0 ,由 u2 = 图如图复解16-2-3.

f2 u v v1 可知, u2 > 0 ,又由 2 = 1 < 0 可知, v2 < 0 ,所以此时的光路 v2 u2 f1

三、参考解答 根据题中所给的条件,当圆环内通过电流 I 时,圆环中心的磁感应强度

2 r 穿过圆环的磁通量可近似为

B=

?0 1

π Ir 2 根据法拉第电磁感应定律,电流变化产生的感生电动势的大小 ?φ ? 0 ?I E= = πr ?t 2 ?t E ? π r ?I 圆环的电阻 R= = 0 I 2 I ?t
根据题设条件

φ ≈ BS =

?0

(1)

(2) (3)

r = 0.05 m , ? 0 = 4π × 10-7 N ? A-2 , I = 100 A ,

?I ≤ 10-6 A/s ≈ 3 × 10-14 A/s ,代入(3)式得 ?t

R ≤ 3 × 10-23 ?
17

(4)

由电阻与电阻率 ρ 、导线截面积 S 、长度 L 的关系

L S 及已知导线的直径 d = 1 mm ,环半径 r = 5 cm ,得电阻率 R=ρ

ρ=R

S d2 =R = 7.5 × 10-29 ? ? m L 8r

(5)

四、参考解答 1.双星均绕它们的连线的中点做圆周运动,设运动速率为 v ,向心加速度满足下面的方 程:

M

v2 GM 2 = 2 L/2 L

(1)

v=
周期

GM 2L

(2)

T计算=

2π ( L / 2) 2L =πL v GM

(3)

2.根据观测结果,星体的运动周期 1 T观察= T <T (4) N 计算 计算 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力,故它一定还受到其他指向中心的作用力, 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量 M ′ 位于中点处的质量点相同.考虑暗物质作用后双星的速度 即为观察到的速度 v ,则有 观
2 v观

M

L/2

=

GM 2 MM ′ +G 2 L ( L / 2) 2

(5)

v观=

G ( M + 4M ′) 2L

(6)

因为在轨道一定时,周期和速度成反比,由(4)式得

1 1 1 = v观 N v
把(2)、(6)式代入(7)式得

(7)

N ?1 M 4 设所求暗物质的密度为 ρ ,则有 M′=
N ?1 4 ? L? π? ? ρ= M 3 ? 2? 4

18
3

(8)

ρ=

3( N ? 1) M 2π L3

(9)

五、参考解答 解法一: 1.(1)电阻图变形. 此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示. 现将电阻环改画成三角形,1、3、5三 点为顶点,2、4、6三点为三边中点,如图 预解1—5-2与图预解16-5-3所示.整个连好 的线路相当于把 Dn 的三个顶点分别接到

Dn ?1 的三个中
点上,图预解 16-5-1 变 为 图 预解16-5-4. 这 样第1问归结 为求图预解 16-5-4 中 最 外 层三角环任意 两顶点间的等 效电阻。

(2)递推公式. 为使图形简化,讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为 r 的电阻 构成一个三角环,将其顶点接在另一由六个阻值为 R 的电阻构成的三角环的中点上(如图预 解16-5-5所示)。 图预解16-5-6是由六个阻值为 R′ 的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电 阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等,我们称图预解16-5-6中的 R′ 为等效单环电阻.
19

用符号“//”表示电阻的并联,如

RA // RB =

1 (1/ RA ) + (1/ RB )

由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻 R 1, 3 等于图 预解16-5-7中1、0间的电阻 R 1, 0 的2倍,即

R 1, = 2 R 1, 0 3 = 2{[ R // r //(2r )] + R}// R 1 ? ? + R? // R = 2? 1 1 1 ? + + ? ? R r 2r ? 2 4rR + 3R // R =2 2 r + 3R 1 4 r + 3R R = 3 r+R

1 = R + r // R 3
同理,图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻 R 1, 3 为

(1)

4 R′ 3 由(1)、(2)式得等效单环电阻 R′ 为 3 1 R′ = R + r // R 4 4 2. 第一问 R 1, 3 = 2[(2 R′) // R′] =

(2)

(3)

现在考虑把 D1 、D2 、D3 、D4 、D5 按相反的次序, 由内向外依次连接的情况. 首先将 D4 接在 D5 外面,求双环 D4 ? D5 的等效单环电阻 R (2) 〔即(3)式中的 R′ 〕.这时 r = R .由(3)
20

式得到 R (2) 为

R (2) =

3 1 7 R + R // R = R 4 4 8

其次, 在双环 D4 ? D5 外面接上 D3 , 这时 r = R (2) . 三环 D3 ? D4 ? D5 的等效单环电阻 R (3) 为

R (3) =

3 1 3 1 ? 7 ? 13 R + R // R (2) = R + R // ? R ? = R 4 4 4 4 ? 8 ? 15
( s +1)

由此可得一般公式, ( s + 1) 环的等效单环电阻 R

可由 R (s ) 求出 (4)

R ( s +1) =
于是

3 1 R + R // R (s ) 4 4

R ( 4) =

3 1 3 1 13 97 R + R // R (3) = R+ R // ? R ? = R ? ? 4 4 4 4 ? 15 ? 112 3 1 3 1 97 ? 181 R + R // R (4) = R+ R // ? R? = R ? 4 4 4 4 ? 112 ? 209

R (5 ) =

由 ( 2 ) 式 R 1, 3 = (4 / 3) R′ 得 出 由 一 个 环 ( D5 ) 、 两 个 环 ( D5 ? D4 ) 直 至 五 个 环 ( D5 ? D4 ? D3 ? D2 ? D1 )构成的线路1、3点间的电阻为
(1) R 1, 3 =

4 4 R' = R 3 3

4? 7? 7 (2) R 1, 3 = ? ? R = R 3? 8? 6 4 ? 13 ? 52 (3) R 1, 3 = ? ? R = R 3 ? 15 ? 45 4 ? 97 ? 97 (4) R 1, 3 = ? R ?R = 3 ? 112 ? 84 4 ? 181 ? 724 (5) R 1, 3 = ? R ?R = 3 ? 209 ? 627
答:所求的五个环的1与3间的等效电阻确为

724 R .证毕。 627

3. 第二问 根据五个 D 组成的圆柱形网络的对称性, D5 的l、3两点等价于 D1 的2、4两点.等价线路 如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示.设二图等价,求图预解16-5-9中的 R′′ 即可.

21

图复解 16-5-8

图复解 16-5-9

R′′ = (2 R ) //(2 R (4) ) =
所以
(5) R 2, 4 = R′′ // 2 R′′ =

1 194 = R 1 56 209 + 2 R 97 R

2 388 R′′ = R 3 627

答:所求值为

388 R。 627

解法二: 第一问 图预解16-5-3可看做 D5 的接线图,其一半如图预解16-5-10所示,竖直粗线为一短路
(1) (1) 线. 一个环 D5 ) ( 构成线路的1与0点间的阻值用 R 1, 0 表示, 根据对称性,R 1, 0 =

1 (1) 2 R 1, 3 = R 。 2 3

当 D5 接入 D4 后,由两个环(类似图预解16-5-5)构成线路图的一半如图预解16-5-11所 示.三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形( 2 ? 0'? 0 )中的2与 0' 间的阻值就是图预解
(1) 16-5-10中1与0间的阻值 R 1, 0 。其等效电路如图预解16-5-12所示.图预解16-5-11(或图预解 (1) 16-5-12)中的l与0点间的阻值用 R 1, 0 表示.有

22

?? 2 ? ? 7 (2) (1) R 1, 0 = [( R // R 1, 0 ) + R ]// R = ?? R // R ? + R ? // R = R 3 ? 12 ?? ?
再将双环 D5 ? D4 接入 D3 ,其一半如图预解16-5-13所示, 三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻,其2
(2) 与 0' 间的阻值就对应为 R 1, 0 ,参看图预解16-5-12的等效电路,


(3) (2) R 1, 0 = [( R // R 1, 0 + R )]// R

?? ? 7 ? = ?? R // R ? + R ? // R 12 ? ?? ? 26 = R 45
同理,得

?? 26 ? ? 97 (4) (3) R 1, 0 = [( R // R 1, 0 + R )]// R = ?? R // R ? + R ? // R = R 45 ? 168 ?? ?

?? 97 ? ? 362 (5) (4) R 1, 0 = [( R // R 1, 0 + R )]// R = ?? R // R ? + R ? // R = R 168 ? 627 ?? ?
由此得
(5) (5) R 1, 3 = 2 R 1, 0 =

724 R 627

第二问 五个电阻环构成线路后,最外层环( D1 )上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12
(1) (4) 求得,将图中 R 2, 0' 换成 R 2, 0' ,五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得:


(5) (4) R 2, 0' = 2 R // R 1, 0 // R = 2 R //

97 194 R // R = R 168 627


(5) (5) R 2, 4 = 2 R 2, 0' =

388 R 627

六、参考解答 设 所 加 匀 强 电 场 的 场 强 为 E , 它 在 y 方 向 和 z 方 向 的 分 量 分 别 为 E y = ? E sin θ ,

E z = E cosθ 。
由于物块带负电,电场作用于物块的电力的两个分量分别为

23

Fy = ?qE y = qE sin θ
Fz = ? qE z = ? qE cosθ

(1) (2)

Fy 在 xy 平面内,方向沿 y 轴正方向. Fz 垂直于 xy 平面,被绝缘平面的支持力所平衡,
故物块对绝缘平面的正压力的大小 N 和 Fz 的大小相等,即

N = qE cosθ
绝缘平面作用于物块的摩擦力

f = ? N = qE tan θ cosθ = qE sin θ = Fy

(3)

f 的方向决定于物块移动的方向. 根据题意,物块在 xy 平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动.作用于物块的
三个力 Fy 、 f 和线的拉力 T 都在 xy 平面内. 物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图预解 16-6所示。 ? 为细线与 x 轴的夹角。把 T 沿 x 和 y 方向分解得

Tx = ?T cos ? , Ty = ?T sin ?
用 f x 和 f y 表示 f 的两个分量,物块平衡时, 有

Fy ? T sin ? + f y = 0

(4) (5)

?T cos ? + f x = 0
由(4)(5)式得 、

( Fy ? T sin ? ) 2 + T 2 cos 2 ? = f 2
注意到(3)式,得

T (T ? 2 Fy sin ? ) = 0


T = 0 或 T = 2 Fy sin ?

(6)

因要小物块缓慢移动,需要细线牵引, T = 0 不符合题意,应舍去.因 0 < ? < π ,

T = 2 Fy sin ? > 0 ,将 T 代入(4)、(5)式,


f y = T sin ? ? Fy = ? Fy cos 2 ? f x = T cos ? = Fy sin 2?
摩擦力方向的斜率

24

k=

fy fx

= ? cot ?

(7)

k 是摩擦力方向与 x 轴夹角的正切,即摩擦力方向的斜率,因摩擦力始终沿轨道的切线方 向,故 k 也就是轨道切线的斜率.下面,通过对(7)式的分析来寻找轨道方程. 当中一0,k-co即在起点A时,轨道的切线与x轴垂直 当 ? = 0 , k = ∞ ,即在起点 A 时,轨道的切线与 x 轴垂直。
, k = ∞ ,一种情况是小物块运动到 y 轴上后,沿 y 轴做直线运动到 O 点,但这 2 与题设轨迹移动是一条二次曲线不符,因而它一定表示轨道在 O 点的切线与 x 轴垂直. 在二次曲线中,曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆.又因为 A 、 O 两点的切线与 它们的连线相垂直,这连线应为曲线的轴线,且在 Ox 轴上,另一轴在它的垂直平分线上且与 当? =

π

y 轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为0.代入(7)式得 ? =
方程为

π
4

,故该曲线为圆,其

x ? x2 ? x ? 0 ? + y2 = 0 ? 2? 4 ?

2

(8)

25


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