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2015-2016学年江西省南昌三中高一上学期期中考试数学试题


南昌三中 2015—2016 学年度上学期期中考试 高一数学试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? 2 ? x ? 3}, B ? {x x ? ?1或x ? 4} ,则 A ? (CU B) ? ( )

A. {x ? 2 ? x ? 4}

B. {x x ? 3或x ? 4}

C. {x ? 2 ? x ? ?1}
( )

D. {x ?1 ? x ? 3}

2 2.函数 y ? log2 (5 ? 4x ? x ) 的递增区间是

A. (??,?2]

B. [?5,?2]
( ). B. D.

C. [ ?2,1]

D. [1,??)

3.下列大小关系正确的是 A. C.

0.43<30.4<log4 0.3 log4 0.3<0.43<30.4
2 1 1 1

0.43<log4 0.3<30.4 log4 0.3<30.4<0.43
( )

4.化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( A. ? 9 a

5 1 1 6 6 的结果 ab ) 3

B. ? a

C. 6 a )

D. ?9a

2

1 5 已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lnx,则 f(f( 2))的值为( e 1 A. ln2 1 B.- ln2 C.-ln2 D.ln2

6.设 m,n,p 均为正数,且 3m=lo A.m>p>q B.p>m>q

m, C.m>q>p

=log3p,

=lo D.p>q>m

q,则(

)

7、若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有一个 实数根,则 f(0)·f(4)的值( A.大于 0 B.小于 0 ) D.无法判断

C.等于 0

y(m 2 ) 8. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m 2 )与时间 t (月)的关系: 8 y = at ,有以下叙述:① 这个指数函数的底数是 2;② 第 5 个月时,浮

萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是( ). 4 A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①② 2 9.函数 y= 的图像大致是( )

O 12 3

t( 月 )

10. 下列命题中不 正确的是 . A. loga b? logb c? logc a = 1 (a,b,c 均为不等于 1 的正数) B.若 x log3 4 = 1 ,则 4 x + 4- x =

(

)

10 3

C.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a + b) = f (a)?f (b) (a, b > 0) D.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a? b) = f (a) + f (b) (a, b > 0) 11. 已知函数y=f(x),对任意的两个不相等的实数 x1 , x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成

立,且f(0)≠0,则f(-2015)?f(-2014) ?…f(-1)f(0)f(1)… ?f(2014) ?f(2015) 的值是 ( ) A.0 B. 1 C.2006 D. 2006
2

12. 函数 f(x)对于任意的 x∈R 恒有 f(x)<f(x+1),那么( ) A、f(x)是 R 上的增函数 B、f(x)可能不存在单调的增区间 C、f(x)不可能有单调减区间 D、f(x)一定有单调增区间 二:填空题:(本大题共 4 小题,每小 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=
2

+lg(2x+3)的定义域为

.

14. 若函数 f(x)=x ln(x+ a ? x2 )为奇函数,则 a= 15. 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的范围是 16 设 f(x)=-x, g ( x) ? ? .

??2 ( x ? 0) ? 则方程 f[g(x)]-2=0 的解是________. 2 ? ?? x ( x ? 0)
x

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (10 分) 设全集 U={不大于 20 的质数}, 且 A∩(C∪B)={3,5},(C∪A)∩B={7,19}, (C∪A)∩(C∪B)={2,11}, 求集合 A、B.

18、(12 分)化简求值: (lg 5) 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 20 ? 4 (?4) 2 ? 6 125 ? 2

1 (1? log2 5) 2

19、(12 分)某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水 60 吨,若蓄水池向居民小区不间断地供水,且 t 小时内供水量为 120 6t 吨(0≤t≤24).问 (1)供水开始几小时后,蓄水池中的水量最少?最少水量为多少吨? (2)若蓄水池中的水量少于 80 吨,就会出现供水紧张现象,试问在一天的 24 小时内,有 多少小时会出现供水紧张现象,并说明理由.

20(12 分).函数 y = a2 x + 2a x - 1(a > 0且a ? 1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值。

21(12 分)已知幂函数 f ( x) ? x?2m

2

? m ?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在 (0,??) 上是增函数.

(1)求 f ( x) 的解析式;(2)若 g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) 在区间 (2,3) 上为增函 数,求实数 a 的取值范围.

22、 (12 分) 定义在 D 上的函数 f ( x ) , 如果满足: 对任意 x ? D , 存在常数 M ? 0 , 都有 f ( x) ? M

成 立 , 则 称 f ( x) 是 D 上 的 有 界 函 数 , 其 中 M 称 为 函 数 f ( x) 的 一 个 上 界 . 已 知 函 数

5 1? x ?1? ?1? . (1)求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1 3 ?2? ?4? 2 x ?1 成的集合;(2)若函数 f ( x ) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

x

x

南昌三中高一上数学期中考试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? 2 ? x ? 3} , B ? {x x ? ?1或x ? 4} ,则 A ? (CU B) ? ( )

A. {x ? 2 ? x ? 4}

B. {x x ? 3或x ? 4} C. {x ? 2 ? x ? ?1}
2

D. {x ?1 ? x ? 3}


D

2.函数 y ? log2 (5 ? 4x ? x ) 的递增区间是



A. (??,?2]
3.下列大小关系正确的是 A. C.

B. [?5,?2]
( B. D.
1 3

C. [ ?2,1]

D. [1,??)

B

).

0.43<30.4<log4 0.3 log4 0.3<0.43<30.4
2 3 1 2 1 2

0.43<log4 0.3<30.4 log4 0.3<30.4<0.43
( ) D. ?9a
2

C

5 1 1 6 6 4.化简 ( a b )(?3a b ) ? ( a b ) 的结果 3

A. ? 9 a

B. ? a

C. 6 a

A )

1 5 已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lnx,则 f(f( 2))的值为( e 1 1 A. B.- C.-ln2 D.ln2 C ln2 ln2 6.设 m,n,p 均为正数,且 3 =lo
m

m,

=log3p,

=lo

q,则(

)

A.m>p>q B.p>m>q C.m>q>p D.p>q>m D 7、若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有一个实数 根,则 f(0)·f(4)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.无法判断 D 2 8. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m )与时间 t (月)的关系: y = at , y(m 2 ) 有以下叙述:① 这个指数函数的底数是 2;② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 8 30m 2 ; ③ 浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积 都相等.其中正确的是( ). A. ① ② ③ B. ① ② ③ ④ C. ② ③ ④ D. ① ② 4 D 2

O 12 3
9.函数 y= 的图像大致是( )

t( 月 )

C 10. 下列命题中不 正确的是 . A . loga b? logb c? logc a = 1 (a,b,c 均 为 不 等 于 1 的 正 数 ) ( )

B . 若 x log3 4 = 1 , 则

4 x + 4- x =

10 3 C.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a + b) = f (a)?f (b) (a, b > 0) D.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a? b) = f (a) + f (b) (a, b > 0)

C

11 .已知函数y=f(x),对任意的两个不相等的实数 x1 , x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成
2

立 , 且 f(0) ≠ 0, 则 f(-2015) ? f(-2014) ? … f(-1)f(0)f(1) … ? f(2014) ? f(2015) 的 值 是 ( )A.0 B.1 C.2006 D. 2006 B 12. 函数 f(x)对于任意的 x∈R 恒有 f(x)<f(x+1),那么( ) A、f(x)是 R 上的增函数 B、f(x)可能不存在单调的增区间 C、f(x)不可能有单调减区间 D、f(x)一定有单调增区间 二:填空题:(本大题共 4 小题,每小 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=
2

B

+lg(2x+3)的定义域为
2

. 答案: 答案 1 答案:(1,+∞).

14. 若函数 f(x)=x ln(x+ a ? x )为奇函数,则 a=
x

15. 若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的范围是 16 设 f(x)=-x, g ( x ) ? ?

??2 x ( x ? 0) ? 则方程 f[g(x)]-2=0 的解是______.答案 x ? 2 2 ? ?? x ( x ? 0)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分)

17、 (10 分) 设全集 U={不大于 20 的质数}, 且 A∩(C∪B)={3,5},(C∪A)∩B={7,19}, (C∪A)∩(C∪B)={2,11}, 求集合 A、B. 解:∪={2,3,5,7,11,13,17,19} 由(C∪A)∩(C∪B)=C∪(A∩B)={2,11}知 A∪B={3,5,7,13,17,19},将它们及已知条件的有关数据填 入 Venn 图中. 由图可知: A={3,5,13,17} B={7,13,17,19} 18、(12 分)化简求值: (lg 5) ? lg 2 ? lg 5 ? lg 20 ? (?4) ? 125 ? 2
2 4 2 6 1 (1? log2 5) 2

解:原式 ? lg 5(lg5 ? lg 2) ? lg 20 ? 2 5 ? 2 ? 2

log2 5

? lg 5 ? lg 20 ? 2 5 ? 2 5

?2

19、(12 分)某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水 60 吨,若蓄水池向居民小区不间断地供水,且 t 小时内供水量为 120 6t 吨(0≤t≤24).问 (1)供水开始几小时后,蓄水池中的水量最少?最少水量为多少吨? (2)若蓄水池中的水量少于 80 吨,就会出现供水紧张现象,试问在一天的 24 小时内,有多少小时 会出现供水紧张现象,并说明理由. 解:(1)设 t 小时后蓄水池中水量为 y 吨, 则 y ? 400 ? 60t ?120 6t ,令 6t ? x ,则 0≤x≤12. ∴y=400+10x -120x=10(x-6) +40. 当 x=6,则 t=6 时, ymin ? 40 ,即从开始供水 6 小时后蓄水池中水最少,最少水量为 40 吨. (2)由 400+10x -120x<80,得 4<x<8. 即 4 ? 6t ? 8 ,∴
2 2 2

8 32 32 8 ?t ? ? ? 8, ,∵ 3 3 3 3
2x x

∴在一天的 24 小时内,有 8 小时供水紧张. 20(12 分).函数 y = a + 2a - 1(a > 0且a ? 1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值。 [解] ? y = a + 2a - 1 = (a + 1) - 2 当 a > 1时,x ? [ 1,1], 有
2x x x 2

1 #a x a

a.则ymax = (a + 1) 2 - 2 = 14
当 0 < a < 1时,x ? [ 1,1], 有a #a

\ a + 1= 4

\

a = 3或a = - 5(舍去)

1 ymax = ( + 1) 2 - 2 = 14. a 1 述: a = 3或a = . 3

\

1 + 1 = ? 4. a

\

1 ,则: a 1 1 1 = 3或 = - 5 (舍去) \ a = 综上所 a a 3
x

21(12 分)已知幂函数 f ( x) ? x

?2 m2 ? m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在 (0,??) 上是增函数.

(1)求 f ( x ) 的解析式;(2)若 g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) 在区间 (2,3) 上为增函数,求 实数 a 的取值范围.

解:(1)? f ( x) ? x ?2m

2

? m ?3

在 (0,??) 增,? ?2m2 ? m ? 3 ? 0 ,? ?1 ? m ?

3 . 2

又 m ? Z , m ? 0或m ? 1 ,………4 分 而 f ( x) 为偶函数,? m ? 1, f ( x) ? x 2 …………6 分 (2) g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) 在 (2,3) 上为增函数,

g ( x) ? loga ( x2 ? ax) 由 y ? loga u 和 u ? x 2 ? ax 复合而成,
当 0 ? a ? 1 时, y ? loga u 减函数, u ? x 2 ? ax 在 (2,3) 为增函数,复合为减,不符

? a ?1 ? a ?? ? 2 , 1 ? a ? 2 ……………………………………………………………12 分 2 ? ?4 ? 2a ? 0 22、 (12 分) 定义在 D 上的函数 f ( x ) , 如果满足: 对任意 x ? D , 存在常数 M ? 0 , 都有 f ( x) ? M 成 立 , 则 称 f ( x) 是 D 上 的 有 界 函 数 , 其 中 M 称 为 函 数 f ( x) 的 一 个 上 界 . 已 知 函 数
5 1? x ?1? ?1? . (1)求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1 3 ?2? ?4? 2 x ?1 的集合;(2)若函数 f ( x ) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 1? x 1? x 5 22. 解(1) g ( x) ? log1 ,函数 g ( x) ? log1 在区间 [ ,3] 上单调递增, x ?1 x ?1 3 2 2 1? x 5 所以函数 g ( x) ? log1 在区间 [ ,3] 上的值域为 [ ?2,?1] , x ?1 3 2 5 所以 g ( x) ? 2 ,故函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成集合为 [2,??) .………5 分 3
x x

?1? ?1? ?1? (2)由题意知, f ( x) ? 3在 [0,??) 上恒成立. ? 3 ? f ( x) ? 3 , ? 4 ? ? ? ? a? ? ? 2 ? ? ? . ?4? ? 2? ?4? ?1? ?1? ? ?4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? ? 2? ? 2? x x ? ? ?1? ? ?1? ? x ? a ? ?2 ? 2 x ? ? ? ? 在 [0,??) 上恒成立.? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ……………8 分 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? max ? ? min 1 1 x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? [0,??) 得 t ? 1 t t ? t1 ? t2 ?? 2t1t2 ? 1? ? 0 (t ? t )(4t1t2 ? 1) 设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ? 1 2 , ? 0 , p(t1 ) ? p(t2 ) ? t1t2 t1t2 所以 h(t ) 在 [1,??) 上递减, p(t ) 在 [1,??) 上递增,………………………………10 分 h(t ) 在 [1,??) 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p(t ) 在 [1,??) 上的最小值为 p(1) ? 1 . 所以实数 a 的取值范围为 [?5,1] ………………………………………………………12 分
x x x

x

x

x



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