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高中数学模块过关专题讲座练习:第二讲 余弦定理


必修五第二讲
一、知识回顾
新知 1 余弦定理: 三角形中任何一边的 的积的两倍.

余弦定理
的和减去这两边与它们的夹角的

等于其他两边的

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b2 ?

c2 ?

新知

2 余弦定理的变式: b2 ? c 2 ? a 2 , cos B ? , cos C ? cos A ? 2bc [理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

二、典型例题
例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.

变式:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A.

三、课堂练习
1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为( A. ).

34 2

B.

34

C.

22 2

D.

22
).

2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( A. 60? B. 75? C. 120? D. 150?

3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 5 ? x ? 13 C. 2<x< 5 B. 13 <x<5 D. 5 <x<5

).

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? 4. 在△ABC 中, AB |=3, AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |=________. | |

5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 b2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,则∠C 等于



四、总结提升
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角.

五、课后作业
1. 在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=

13 ,求最大角的余弦值. 14

??? ??? ? ? 2. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.


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