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第十一章 机械波基础


第十一章

机械波基础

§11.1 机械波的形成与传播
[教学要求]
1、 理解机械波的产生条件。 2、 由已知质点的谐振动方程的出平面简谐波函数的方法以及波函数的物理意义。

3、理解波形图线。 [重点难点]
重点:机械波的产生,根据已知指点的谐振动方程建立平面简谐波的波动方程。 难点:

波动方程、波形图线的物理意义。

[教学方法]
通过简化模型以及众多的实例阐述机械波的产生,通过类比的出波形图线的物理意义。

[教学过程]
前面我们讲到了机械振动,即物体在某一位置附近作来回往复的运动。其实振动物体也可以是 一个质量单元。常见的固体、液体和气体都可以看作是由许多可以发生形变的质量单元组成,而且各 质量单元之间存在弹性作用力(弹性介质) 。某时刻,介质中一质元在外界振动源或扰动源作用下振 动时,由于质元间的弹性作用力,该质元的震动必然会带动其附近质元也发生振动,附近质元的振动 又会带动其临近质元振动,这样一来,振动源的振动便由近及远的传播开来,形成机械波。 第十一章 机械波基础 §11.1 机械波的形成与传播 一、机械波 (板书) 1、 形成:振动或场在介质中的传播。条件:波源和媒质。 我们抖动一根绳子,在空间可以形成一列波。

图 11.1.1 从上述分析过程我们可以总结出机械波有如下几个特点: ① 参与波动的质点只在各自的平衡位置附近振动,起本身并不随波迁移。每一质元开 始振动的时刻总比它前面的质元晚一些,但却重复前一质元的振动状态。 ② 波动是振动状态或能量的传播过程。 日常生活中,波动的例子很多。投石与一潭死水可以激起一列水波,声带的振动可以发出声波, 电场、磁场在空间的传播可以形成电磁波,光振动也可以传播,称为光波。 对于众多的波动种类,我们有必要把他们进行分类。 2、 分类: 根据振动方向与传播方向是否一致 横波:振动方向与传播方向垂直,能产生剪切应力的介质如:固体 电磁波 纵波:振动方向与传播方向一致,能产生张应力和压应力的介质如:固、液气体 声波 混合波:振动方向与传播方向不一致,水波、地震波 根据传播的空间维数 一维波:弦振动的波 (板书) 二维波:表面波,涟漪 三维波:

根据波动方程 线性波,非线性波,如冲击波,孤立波 为了形象地描述波在空间的传播,可以先定义一些量: 3、波线、波面和波前 (板书) 波线:沿波的传播方向所作的有箭头的直线。 波面:某一时刻振动相位相同的点连接而成的面,也称同相面。 (板书) 波前:某一时刻波传播到达的最前面,也称波阵面。平面波、球面波

图 11.1.2 波动可以用下面一些物理量来描述。 二、描述波动的物理量 (板书) 1、 波长: 同一波线上振动相位差为 2π 的两质元间距离, 波源完成一次全振动波前进的距离。 反 λ 映波的空间周期性。 2、周期和频率: T:波前进一个波长所需时间,等于波源振动周期, 反映了波的时间周期性。 υ=1/T 频率,等于波源振动频率。 3、波速:振动状态在介质中的传播速度。对机械波,取决于介质性质和环境温度,与波源无关。 u= λ /T (板书) 例如:男女声二重唱,男女声带频率不同但一同一速度传播,故能同时听到。 以下几点需要注意: 波速取决于介质性质对于高频无线电波和光波不适用,光波的传播可以不需要媒质。 一般说来波速还与环境温度有关。 横波和纵波在相同介质中传播的速度是不相同的。 波速不同于介质中质元的振动速度。 三、平面简谐波的表达式平面简谐波:波源做谐振动,波阵面为平面。
? 0 ? A co s(? t ? ? )

在某一时刻 t,P 处质点的位移应该是 O 处质点在时刻 t-△t 的位移。由△t 满足 ?t=x/u, 因此任意时刻 P 处质点的位移为
? ? A co s[? ( t ?
x u ) ? ?0]

若波沿 x 轴负方向传播,应将 u→-u,所以:
? ? A co s[? ( t ?
x u ) ? ?0]

利用相关公式,波函数的表达式还有如下形式 2? ? ? A co s[ (u t ? x ) ? ? 0 ] ?
? ? A co s[ 2 ? (
t T ? x

?

) ? ?0]

? ? A co s[ 2 ? (? t ?

x

?

) ??0]

四、波动表达式的物理意义: 在波函数的表达式 ? ? A co s[? ( t ? 1、 固定 x=x0,上式变为
? ? A co s(? t ? ? 0 ? ? x0
u )

x u

) ? ?0] 中

(板书)

表示位于 x0 处质元的振动方程,其振动相位比原点 O 落后ω x0/u。 2、 固定 t=t0,上式变为 ? ? ? A co s( ? x ? ? t0 ? ? 0 )
u

表示同一时刻不同质元偏离平衡位置的位移,相当于波的一个快照。 3、 若 x,t 都不固定,有
? ( x ? ? x , t ? ? t ) ? A co s[? ( t ? ? t ?
? ( x ? ?x, t ? ?t ) ? ? ( x, t )
x u ? ?x u ) ? ?0]

考虑到?x= u?t 后,有

表明在 t+△t 时刻,x+△x 处质元的位移正好等于 t 时刻,x 处质元的位移。可见,x 处 t 时 刻的振动状态,经过时间△t 传播了△x=u△t 的距离。 (提示学生以后的驻波没有振动状态的传 播) 。 五、波动表达式的复数形式 ? ? ? 2? ? n ? n 也称波数,即 2π 长度下包含波长的数目 引入波矢 k ? u ? 利用
e
? i?

? cos ? ? i sin ?

得到 (板书)

? ? A co s[? ( t ?

x u

) ? ? 0 ] ? R e A ex p [ ? i (? t ? kx ? ? 0 )]

习惯上写为

? ? A ex p [ ? i (? t ? kx ? ? 0 )]

(平面简谐波的复数形式)

前面从波是运动状态的传播,也就是运动学角度得出了简谐行波的表达式。从动力学角度,分析 质元的受力与形变,可以得到描述波动的微分方程,俗称波动方程 六、波动方程 由
? ?
2

? ? A co s[? ( t ?
?
u
2 2

x u

) ? ?0]
x u

得到:
? ?
2

?x

2

? ?A

co s [? ( t ?
2

) ? ?0] ,

?t

2

? ? A? co s [? ( t ?
2 2

x u

) ? ?0]

比较两式可以得到

? ?
2

?x

2

?

1 ? ?
2

u

2

?t

2

称为波动微分方程

(板书)

上式普遍地适应于各种平面线性波, 称作沿 x 轴方向传播的平面波波动微分方程。 它是物理学中 的一个具有普遍意义的方程,不但适应于机械波,也适应于电磁波等。而且不论物理量 是力学量、 电学量或其他量,只要它们随时间 t、位移 x 的关系满足上式,这个物理量就以波的方式传播,系数

倒数的平方根就是波速。 在三维空间内, ? ? ? ( x , y , z , t )
? ?
2

如果介质均匀、各向异性且无吸收,则有:
1 ? ?
2

?x

2

?

? ?
2

?y

2

?

? ?
2

?z

2

?

u

2

?t

2

(板书)

称为描述波动的线性二阶偏微分方程。在特定的边界条件下求解上述方程就可以得到波动传播的 规律。

[教学后记]
引用电脑操作系统的换代巧妙地说明不同位置的质点相位滞后的规律。

§11.2 波的能量、能流和吸收
[教学要求]
1、了解波的能量传播特征 2、了解波的能量密度、能流密度的概念。

[重点难点]
重点:波的能量、能量密度、能流密度的概念以及波的能量传播特性。 难点:波的能量传播特性。

[教学方法]
有部分到整体,结合前面所学过的振动知识阐明能量相关概念及能量传播特性。

[教学过程]
振动具有能量,而波动是振动的传播过程,因此波动也是能量传播过程。 §11.2、波的能量、能流和吸收 一、波的能量、能量密度 (板书) 振动传到的地方就有新的原来不动的质点开始振动,因而具有动能。同时弹性介质也要发生形变 因而具有势能。机械波的能量分为两部分——动能和势能。 抖动一根绳子,便形成一列横波,其表达式为
? ? A co s[? ( t ?
x u ) ? ?0]

设绳的单位长度的质量为 ?,图示线元质量为△m=?△x.线元的速度为 ?? x v ? ? ? A? sin [? ( t ? ) ? ? 0 ]
?t u

动能

Wk ?

1 2

?mv ?
2

1 2

? ? x? A sin [? ( t ?
2 2 2

x u

) ? ?0]

设绳的质量单元发生形变前后长分别为△x,△l,则其伸长量为△l-△x.当绳作小振动时可以认 为绳中张力 T1≈T2=T. 根据能量守恒,该质量单元的势能应该等于张力所作的功。于是
W p ? T (?l ? ?x)

因为
?? ?x

?l ?

(?x) ? (?? ) ? ?x 1 ? (
2 2

)

2

? ?x 1 ? (

?? ?x

) ? ? x [1 ?
2

1 ?? 2 ( ) ] 2 ?x
1 2 ?? ?x ) ?x
2

因此 W p ? T ( ? l ? ? x ) ?
Wp ? 1 2
2 2 2

T(

考虑到 u ?

T

?



? ? x? A sin [? ( t ?

x u

) ??0]

质量单元的机械能
W ? W k ? W p ? ? ? x? A sin [? ( t ?
2 2 2

x u

) ??0]

有上面的推导,我们可以总结出波的能量传播具有如下特征: 1、波的能量传播特性 动能势能任意时刻的值相等并作同相位周期性变化。 (板书)

总能量随时间做周期性变化。 因此波动中介质内质元不断地从前一质元接受能量又向后一质元传递能量。 波动就是通过这种方 式将能量不断向前传播的。像这种有振动状态和能力传播的波称为行波,与之相对的是驻波,在驻波 里面就不存在能量振动状态和相位的传播。 波动与振动的不同还表现在波动存在能量密度的概念。 2、能量密度:单位体积中波的能量 ω (板书)
? ?
W ?V ? ? ? A sin [? ( t ?
2 2 2

x u

) ? ?0]

平均能量密度
? ?
1 T
T

? ? dt ?
0

1 2

?? A
2

2

由于行波在传播时同时伴随着能量的传播,为了描述这种能量 的传播,我们引入能流密度的概念 二、能流密度: (板书) 单位时间内沿波速方向垂直通过单位面积的平均能量。I ? ?u?t ? ?S 1 2 2 I ? ? ? ? u ? ?? A u
?t?S 2

注意: 能流密度是一个矢量, 在各向同性介质中就是波速的方向。 由于他的大小反映了波的强弱, 故也称波的强度,而且这一结论具有普遍意义。
? ? I ? ?u

在实际应用中,我们可以根据能量守恒定律和能流公式求得波的传播方向上振幅的变化。 三、平面波、球面波的振幅: (板书) 对于平面余弦波: S1=S2=S 单位时间内通过的能量
W1 ? I1 S1 ? 1 2

? ? A1 u S , W 2 ? I 2 S 2 ?
2 2

1 2

? ? A2 u S
2 2

因为 S1=S2,由能量守恒得到→ A1=A2 对于球面波: 因为
1 2

(振幅保持不变)

? ? A1 u S 1 ?
2 2

1 2
2

? ? A2 u S 2
2 2

S 1 ? 4? r1 , S 2 ? 4? r2
2

因此 A1r1=A2r2 (振幅与距离成反比) 若令 A1r1=A2r2=..= A0 A0——与波源相距单位长度的振幅 .
A? A0 r

因此球面简谐波的表达式:
? ?
A0 r co s[? ( t ? r u ) ??0]

其实在实际生活中介质总要吸收波的一部分能量,从而使得波的能量沿波的传播方向上逐渐递 减,这称为波的吸收。 四、波的吸收 (板书) 实验表明:平面波通过厚度为 dx 的介质,波的能量增量 dI(<0)满足:

dI ? ?? Idx

α 为常数,与波的频率有关,称吸收系数

I ? I 0e

?? x

波的强度按指数规律递减。

[教学后记]
对比振动说明波的能量传播特性。

§ 11.3 惠更斯原理、波的叠加原理和波的干涉
[教学要求] 1、理解惠更斯原理和波的叠加原理; 2、掌握波的相干条件; 3、能利用相位差和波程差的概念分析和确定相干波叠加后振动加强还是减弱。 [重点难点]
重点:波的相干条件以及相干波叠加后振动加强和减弱的条件。 难点:惠更斯原理及波的叠加原理。

[教学方法]
通过图解阐述惠更斯原理,通过例题和练习巩固波的相干条件的应用。

[教学过程]
我们知道:投石于一潭死水会激起一列水波,水波的波形是一些以投石点为圆心的同心圆。如 果水波没有遇到障碍物,这种波形将保持不变.如果遇到障碍物,波形就会发生一定的变化.而且不但水 波会发生变化,其他一些类型的波也有类似的现象。几天我们来学习描述这种变化的惠更斯原理。 § 11.3 惠更斯原理、波的叠加原理和波的干涉 (板书) 一、惠更斯原理

(板书) (a) (b) (c) 实验发现,不论原来的波面是什么形状,在隔板的右方都出现以小孔为中心的圆形波。隔板小 孔使得隔板左方传来的波只在小孔处引起振动,小孔在这里起着波源的作用。这就是说介质中波传到 的各处的振动质元起到了波源的作用。 早在 17 世纪,荷兰人惠更斯就研究了弹性波的作图法,其中反映了拨传播过程中的这种行为。 后人称这为惠更斯原理。其内容如下: 介质中波传到的各点都可以看作开始发射子波(次级波)的点波源。在往后的任意时刻,这些子 波的包络面就是该时刻的波前。 (板书) 这个原理给出了波传播的一种作图法则。 (列举课本 3 种波面的作图法) 。 这种根据惠更斯原理的作图法称为惠更斯作图法,他是讨论简单波传播的重要手段。此外有关 惠更斯原理,还有几个要注意的地方: (1) 原理中子波假设不涉及子波的振幅相位等问题。 (2) 原理不能说明为什么不出现沿相反方向传播的波。 (3) 原理还不能解释光波通过小孔出现的圆孔衍射条纹。 惠更斯原理回答了单列波在介质中的传播规律,如果空间有 2 列或者多列波相遇时,这时就会发 生波的叠加。 二、波的叠加 (板书) 1、波的独立传播原理;波传播的振动不因为波的相遇而发生相互影响,每列波都保持单独传播 时的振动特性继续传播。 (板书) 波的振动特性包括振幅、频率、波长、振动方向和传播方向。

2、波的叠加原理:在波相遇的地方,介质中质元的振动就是各波列单独传播时在该点振动的合 成。 (板书) 注意:叠加原理只当波的振幅不大的时候成立。对于大振幅的波,如强烈的爆炸声波和强激光相 遇时,两列波便有相互影响。对于真空中传播的电磁波,叠加原理普遍成立。 波的叠加中有两种重要的情形——波的干涉和驻波。 三、波的干涉 (板书) 让两列水波在水波盘里面相遇,在水波叠加的区域,有的地方合振动较强,有的地方合振动较弱 而且振动加强和震动减弱形成稳定分布。这种现象称为波的干涉。 1、 波的干涉:波叠加的区域振动强弱形成稳定分布的现象。 (板书) S1 : ? 10 ? A10 co s(? t ? ? 1 ) S2: ? 2 0 ? A2 0 co s(? t ? ? 2 )
2? x) x)

波 S1 : ? 1 ? A1 co s(? t ? ? 1 ? 波 S2: ? 2 ? A 2 co s(? t ? ? 2 ? P 点的分振动表达式为
? 1 ? A1 co s(? t ? ? 1 ?
2?

? 2?
?

?

r1 )

? 2 ? A 2c o s ? t ? ? 2 ? (
2? ( r2 ? r1 )

2?

?

r2 )

(板书)

P 点的相位差 P 点的合振动

?? ? ? 2 ? ?1 ?

?

? ? ? 1 ? ? 2 ? A cos(? t ? ? ) 其中

A?

A1 ? A 2 ? 2 A1 A 2 co s ? ?
2 2

要发生干涉现象,必须要求干涉项不随时间变化,且各点的合振幅稳定。因此发生干涉的条件 干涉条件:频率相同,振动方向相同,相位差恒定 (两列波的波源稳定,介质状况不变) P 点的强弱主要取决于?φ 2、 振动加强和振动减弱。 2? ? ? ? ?2 ? ?1 ? ( r 2 ? ) ? 2? ? , k r 1 k ? , 1 , 2 . . .A=A1+A2 干涉相长 1 若 ? 2? r 1 ? 2 ? , ? , 1 , A ? . A1 ? A 2 1 2. . 若 ? ? ? ?2 ? ?1 ? ( r 2 ? ) ( ? k 1?) k 干涉相消 ? 一般说来
A1 ? A 2 ? A ? A1 ? A 2

(板书)

?φ 不但取决于波源初相差,还与 P 点与波源的距离之差(波程差)有关。如果 φ2-φ1=0 则 2? 2? ?? ? ( r2 ? r1 ) ? ?r 因此 ? ? 若 ?r ? ? k ? 干涉相长 ? 若 ? r ? ? ( 2k ? 1 ) 干涉相消 (板书)
2

我们可以看到上述条件与我们讲过的同一直线上同频率的谐振动的合成的合振动加强减弱相似。 其根源在于两者实际上都是同一直线上同频率的谐振动的合成, 不同只是波的干涉相位差除初相差外 还有波程差。 波动干涉现象是波动这一运动形式和波动性的重要特征,对声波、光波都有意义。

[教学后记]
依据单列波的行为→两列波的行为→具体实例的线索讲解。

§ 11.4 驻波 半波损失 多普勒效应
[教学要求]
1、 理解驻波的形成条件,了解驻波和行波的区别; 2、 了解多普勒效应及其成因; 3、 了解电磁波的性质

[重点、难点]
重点:驻波的形成条件、多普勒效应及其成因。 难点:驻波的形成条件。

[教学方法]
用实验演示驻波的形成,从生活经验中总结出多普勒效应的规律,再结合理论计算加深理解。

[教学过程]
上次课我们所讲的波的干涉要具备一定条件:频率相同、振动方向相同、相位差恒定。这个个 条件内并没有对波的传播方向进行限制。当传播方向相反的两相干波在空间相遇时,在叠加的区域内 就形成驻波。 § 11.4 驻波 半波损失 多普勒效应 一、驻波 1、形成:传播方向相反的两相干波叠加 (板书) 驻波的形成可以用下面的实验来演示:

A 音叉振动时充当波源; B 支撑劈尖,限制支撑处绳的振动; E 悬挂的砝码使绳中有一定张力。 调节劈尖 B 的位置以改变 AB 间长度。容易看到 AB 间的绳上形成了稳定的振动状态分布。这就 是驻波。我们来分析一下它的特点: 设两列同频率简谐波分别沿 X 轴正、负方向传播。 2? 2? ? 1 ? A co s(? t ? x ), ? 2 ? A co s(? t ? x) ? ? 2? x co s ? t 合位移 ? ? ? 1 ? ? 2 ? 2 A co s 驻波表达式 (板书) ? 2? x 与位置无关,称为振幅因子, cos ? t 与时间有关,称为简谐振动因子。对 式中 2 A co s ? 任意一点来说,上式是振幅为 A ? ? 2 A co s
2?

?

x 角频率为 ω 的谐振动,各点的振幅各不相同。

2、驻波的性质: (1)、振幅 A: 2? 2? ? co s x ? 0, x ? ( 2 k ? 1) 若 时,合振幅始终为 0 ? ? 2 波节: x ?
1 4 ( 2 k ? 1) ? , k ? 0, ? 1, ? 2, ...

称为波节 (板书)

相邻两波节的距离

x k ?1 ? x k ?

?
2

相邻两波节间质元振动的振幅不同, 但振动相位相同。 (同时达位移最大, 同时通过平衡位置) (板 书) 若
co s 2? x ? 1, 2? x ? k?

?

?

时,合振幅始终最大 称为波腹

波腹: x ?

k 2

? , k ? 0, ? 1, ? 2, ...
x k ?1 ? x k ?

(板书)
?
2

相邻两波腹的距离 (2)、相位 ? :

我们从特殊到一般,来求两相临波节间质点的位移: 不妨在波节[ ? / 4 , 3 ? / 4 ]中选两个质点,位置分别为 x 1 ? ? / 2 , x 2 ? 2 ? / 3 ,则
?1 ? 2 A c o s
2?

? c o s? t ? ? A c o s? t ? 3 因此:相临两波节间质元振动相位相同,振幅各不相同。

?2 ? 2Aco s

? 2 2? 2 ?

?

?

c o s? t ? ? 2 A c o s? t

如果我们同样在波腹[ ? / 2 , ? ]中选两个质点,位置分别为 x 1 ? 2 ? / 3 , x 2 ? 4 ? / 5 ,则
? 1 ? 2 A cos
2?

c o s? t ? 5 5 显然:相邻两波腹间的质元振动相位相差 ? (相反),振幅一般也不相同(有时候也相同)。 ?

?2 ? 2Aco s

? 2?

?

2? 3 4?

cos ? t ? ? A cos ? t ? A cos( ? t ? ? ) c o s? t ? 2 A c o s 2?

(3)、驻波的特性: a、驻波表达式不满足 ? ( t ? ? t , x ? ? x ) ? ? ( t , x ) ,因而不是行波; b、沿 x 正方向传播的波满足 y ? f ( t ?
x u

(板书)
x u ) 。但驻波

) ,沿 x 负方向传播的波满足 y ? f ( t ?

的表达式均不满足上述表达式,因而驻波没有振动状态的传播。 (板书) c、驻波的波节处,动能始终为 0,势能随着运动不断变化;当波节两旁指点达最大位移时,波 节处相对形变最大,势能最大。当波节两旁指点达平衡位置时,波节处相对形变为 0,势能为 0。驻 波的势能主要集中在波节附近。驻波的波腹处,势能始终为 0,动能随着运动不断变化;当波节两旁 质点到达最大位置时,波腹处速度为 0,动能为 0;当波节两旁质点到达平衡位置时,波腹处速度最

大,动能最大。动能主要集中在波腹附近。 因此,驻波波节处势能最大时,波腹处动能为 0,波节处势能为 0 时,波腹处动能最大。 总的说来,没有能量通过驻波的波节,在两相临波节之间,动能和势能相互转换,并在波腹、波 节间往返集结,总能量守恒。 4、特别地,若弦两端固定, ,由于固定端只能是波节,因此必须满足下式,振动才可以在弦中激 发。 n
?n
2 ? l ? ?n ? u 2l 2l n nu 2l ?? ? nu 2l ( n ? 1, 2, 3 ...) 其中 u ?

T

?

(板书)

?1 ?

称为基频,? n ?

称为 n 次谐频

二、半波损失 在驻波形成中,如果 B 点固定,则该处只能形成波节。由于波节两侧质元相位差为 π ,因此, 反射波和入射波在 B 点反相。由于 π 的相位差对应着半个波长,我们形象地称入射波 B 点存在半波 损失。 反射波与入射波存在π 的相位突变,相当于损失半个波长。 (板书) 如果反射点不固定,合成的驻波在反射点形成波腹,反射波与入射波之间没有相位突变,不存在 半波损失。 一般说来,波传播时,在介质分界面究竟出现波节还是波腹,主要取决于波的种类、两种介质的 性质和波的入射角。 光密介质 特别地,当波垂直入射时,对于弹性波, ? u 较大的称为波疏介质, ? u 较小的称为波密介质。 波只有从波疏介质入射到波密介质才存在半波损失。而且半波损失不仅存在与机械波,还存在于光波 和电磁波。不同的是对于光波,折射率较大的称为光密介质,反之称为光疏介质,在以后的光学中, 这些还要讲到。 波疏介质→波密介质 产生半波损失 (板书) 三、多普勒效应 波动中还有一种现象:当波源和观察者相对于介质运动时,观察者接受到的频率依赖与波源或观 察者的运动情况。称为多普勒效应。 波源和观察者相对于介质运动时,观察者接受到的频率依赖与波源或观察者的运动情况。(板书) 为了简单起见,我们假设波源、观察者的运动发生在两者连线上。设波源相对于介质的运动速度 为 vS, 观察者相对于介质的运动速度为 vR,波在介质中的传播速度为 u,波源频率为 νS,观察者接受 到的频率为 νR, 介质中波的频率为 νW, 易知 νW=u/λ 当波源、 观察者相对于介质静止时 νR=νS=νW=u/λ 1、波源不动(VS=0) ,观察者以度 vR 相对介质运动。 (板书) ,由于观察者运动而接受到的完 ? v v u 整波的数目为 R ,总的说来,观察者接收到的完整波数目为 ? R ? ? R ,因此 ? ? ?
?R ?
u ? vR u /? W ? (1 ? vR u )? W ? (1 ? vR u )? S

单位时间内由于波动引起的被观察者接收到的完整波数目为

u

当观察者远离波源运动时,用-u 代替 u 得到
? R ? (1 ?
vR u )? S 总结起来 ? R ? (1 ? vR u )? S

(板书) (板书)

2、观察者不动,波源以 v S 相对于介质运动

在一个周期内,波向前传播了一个波长 u T S 由于波源向观察者运动使得观察者实际接收到的波长变为 ? ? ? u T S ? v S T S ? 观察者接收到的频率 ? R ? ? W ?
u 1 1? vS u

u ? vS

?S

??

?

?S

波源远离观察者时,用-u 代替 u 得到

? R ? ?W ?

u

??

?

1 1? vS u

?S

总结起来 ? R ? ? W ?

u

??

?

1 1? vS u

?S

(板书)

3、观察者和波源同时相对介质运动 由于波源运动,介质中波的频率为? W ?
u u ? vS

(板书)
?S
u ? vR u

由于观察者运动他接收到的频率与波的频率有如下关系 ? R ? 因此观察者接收到的频率为
?R ?
u ? vR u ? vS

?W

?S

(板书)

上式中两者相向运动时速度 v R 、 v S 取正值,背向运动时取负值。 注意:若波源和观察者沿着他们连线的垂直方向运动,则 v R = v S ,无多普勒效应。若两者沿着任 意方向运动,则需将速度在他们连线上的分量代入上式即可。 四、电磁波 (板书) 多普勒效应是波动过程的共同特征。在电磁波中同样存在着多普勒效应。由于电磁波与机械波相 比具有以下不同: 1、 不需要介质也可传播; (板书) 2、 频率与波长的关系 c ? ? ? 根据相对性原理和光速不变原理可以证明:当电磁波源和观察者以速度 v1 相互趋近时,观察者 所测得的频率为
?R ?
c ? v1 c ? v1

?S

(板书)

当波源与接收器相互趋近时,v1>0,于是 v R > v S →紫移 当波源与接收器相互远离时,v1<0,于是 v R < v S →红移 (板书)

此外,电磁波还有横向多普勒效应。当电磁波源与观察者的相对速度 vτ 与他们的连线夹角为θ , 那么测得的频率为

1?

v? c

2 2

?R ?
1?

v? c

? S 特别地,当 ? ? 9 0 时,? R ?
?

1?

v? c

2 2

?S

(板书)

co s ?

[教学后记]
特殊干涉→驻波波节处相位突变→半波损失; 波源与接收器的相对运动→多普勒效应→电磁波性质。


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