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全国新课标2017年高考数学大二轮复习专题整合突破专题五立体几何第二讲点直线平面之间的位置关系课件文


第二编 专题整合突破
专题五 立体几何

第二讲

点、直线、平面之间的 位置关系

主干知识整合

[必记定理] 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理

2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理

[重要结论] 1.三种平行关系的转化

2.三种垂直关系的转化

[失分警示] 1.忽视线面平行判定定理的条件:证明线面平行时, 忽视“直线在平面外”“直线在平面内”的条件. 2.忽视线面垂直判定定理的条件:证明线面垂直时, 忽视“平面内两条相交直线”这一条件. 3.关注面面垂直的性质定理的条件:当题目涉及面面 垂直的条件时,一般用此定理转化为线面垂直,应用时注意 在面面垂直的前提下,过平面内一点,垂直于两平面交线的 直线应在其中一个平面内.

热点考向探究

考点 典例示法 典例 1 正确的是( )

线、面位置关系与命题真假的判断 (1)[2016· 广州五校联考]已知 a, b 是空间中两

条不同的直线,α,β 是空间中两个不同的平面,下列命题中 A.若直线 a∥b,b?α,则 a∥α B.若平面 α⊥β,a⊥α,则 a∥β C.若平面 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥β,a∥b,则 α∥β

[解析]

构造长方体 ABCD-A1B1C1D1.

对于 A,若 AB∥CD,CD?平面 ABCD,但 AB?平面 ABCD,A 错;对于 B,平面 ABB1A1⊥平面 ABCD,AD⊥ 平面 ABB1A1,但 AD?平面 ABCD,B 错;对于 C,若平 面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, B1C1?平面 A1B1C1D1, AB?平 面 ABCD,但 B1C1 不平行于 AB,C 错;对于 D,若 A1B1⊥ 平面 BCC1B1 , AB⊥ 平面 ADD1A1 , AB∥A1B1 ,则平面 BCC1B1∥平面 ADD1A1,D 正确.故选 D.

(2)[2015· 安徽高考]已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面

[解析] A 中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交 也可能平行,故 A 错误;B 中,平行于同一个平面的两条 直线可能平行、相交或异面,故 B 错误;C 中,若两个平 面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平 面平行,故 C 错误;D 中,若两条直线垂直于同一个平面, 则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可 能垂直于同一个平面,故 D 正确.

求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直 的判定定理和性质定理逐项判断. (2)借助空间几何模型, 如从长方体模型、 四面体模型等 模型中观察线面位置关系, 结合有关定理, 进行肯定或否定.

针对训练 1.[2016· 江西南昌调研]已知两个不同的平面 α,β 和两 条不重合的直线 m, n, 则下列四个命题中不正确的是( A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β D.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n 解析 易知 A、B 正确;对于 C,因为 m⊥α,m∥n, 所以 n⊥α,又 n?β,所以 β⊥α,即 C 正确;对于 D,因为 m∥α,α∩β=n,所以 m∥n 或 m 与 n 是异面直线,故 D 不正确. )

2. [2016· 郑州高三质检]如图,矩形 ABCD 中,AB= 2AD, E 为边 AB 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE. 若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下面四 个命题中不正确的是( )

A.BM 是定值 B.点 M 在某个球面上运动 C.存在某个位置,使 DE⊥A1C D.存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE

解析

延长 CB 至 F,使 CB=BF,连接 A1F,可知 MB

1 为△A1FC 的中位线, 即 MB=2A1F, 因为在翻折过程中 A1F 为定值,所以 BM 为定值.点 A1 绕 DE 的中点、以定长为 半径做圆周运动,点 M 运动的轨迹与点 A1 相似,也是圆周 运动,所以点 M 在某个球面上运动.由题知 DE⊥EC,若 DE⊥A1C,则直线 DE⊥平面 ECA1,于是∠DEA1=90° ,又 因为∠DAE=90° ,即∠DA1E=90° ,此时在一个三角形中

1 有两个直角,所以 DE 不可能垂直于 A1C.因为 MB 綊2A1F, 由图可知 A1F 在平面 A1DE 内, 所以存在某个位置使得 MB∥ 平面 A1DE.

考点 典例示法 题型 1 典例 2

空间平行关系的证明

线面平行的判定与性质 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分

别是 AB,BB1 的中点.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2, AB=2 2, 求三棱锥 C-A1DE 的体积.

[解] (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.

由 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1∥DF.

因为 DF?平面 A1CD, BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平 面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1⊥CD.由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得 ∠ACB=90° ,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 VC-A1DE=3×2× 6× 3× 2=1.

题型 2 典例 3

面面平行的判定与性质 如图, 在三棱锥 S-ABC 中, 平面 SAB⊥平

面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F, 点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证:

(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.

[证明] (1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB. 因为 EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,又 AF? 平面 SAB,AF⊥SB,所以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB?平面 SAB,

所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA?平面 SAB,所以 BC⊥SA.

立体几何中证明平行关系的常用方法 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平 行. ②利用平行四边形进行转换. ③利用三角形中位线定理证明. ④利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

(2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的判定定理, 把证明线面平行转化为证 明线线平行. ②利用面面平行的性质定理, 把证明线面平行转化为证 明面面平行. (3)证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条 相交直线与另一个平面平行即可, 从而将证明面面平行转化 为证明线面平行,再转化为证明线线平行.

考点 典例示法 题型 1 典例 4

空间垂直关系的证明

线线、线面垂直的判定与性质 [2016· 山西四校联考 ] 如图,在直三棱柱

ABC-A1B1C1 中,底面是正三角形,点 D 是 A1B1 的中点, AC=2,CC1= 2.

(1)求三棱锥 C-BDC1 的体积; (2)证明:A1C⊥BC1.
[解] (1)依题意,VC-BDC1=VD-BCC1, 过点 D 作 DH⊥C1B1, 垂足为 H, 在直三棱柱中 C1C⊥ 平面 A1B1C1,∴C1C⊥DH, ∴DH⊥平面 BCC1,∴DH 是三棱锥 D-BCC1 在平面 3 BCC1 上的高,∴DH= 2 , 1 1 又 S△BCC1= 2 ×2× 2 = 2, ∴VC- BDC1= VD- BCC1=3 3 6 × 2 × 2= 6 .

(2)证明:取 C1B1 的中点 E,连接 A1E,CE, ∵底面是正三角形,∴A1E⊥B1C1,易知 A1E⊥BC1, Rt△C1CE 中,C1C= 2,C1E=1, C1C C1E Rt△BCC1 中,BC=2,CC1= 2,∴ BC =CC , 1 ∴△CC1E∽△BCC1, ∴∠C1BC=∠ECC1,∠C1BC+∠BC1C=90° , ∴∠ECC1+∠BC1C=90° , ∴CE⊥BC1, ∴BC1⊥平面 A1CE,∴A1C⊥BC1.

题型 2 典例 5

面面垂直的判定与性质 [2015· 山东高考]如图,三棱台 DEF-ABC

中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点.

(1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC, AB⊥BC, 求证: 平面 BCD⊥平面 EGH.

[证明] (1)证法一:连接 DG,CD,设 CD∩GF=M, 连接 MH.在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的 中点,可得 DF∥GC,DF=GC,

所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 M 为 CD 的中点, 又 H 为 BC 的中点, 所以 HM∥BD.

又 HM?平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. 证法二:在三棱台 DEF-ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 HBEF 为平行四边形, 可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB.

又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD?平面 ABED, 所以 BD∥平面 FGH.

(2)连接 HE,GE. 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH∥AB, 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形, 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC. 又 HE,GH?平面 EGH,HE∩GH=H,

所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC?平面 BCD,所以平面 BCD⊥平面 EGH.

立体几何中证明垂直关系的常用方法 (1)证明线线垂直的常用方法 ①利用特殊平面图形的性质, 如利用直角三角形、 矩形、 菱形、等腰三角形等得到线线垂直. ②利用勾股定理逆定理. ③利用线面垂直的性质,即要证明线线垂直,只需证明 一线垂直于另一线所在平面即可.

(2)证明线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理, 把线面垂直的判定转化为 证明线线垂直. ②利用面面垂直的性质定理, 把证明线面垂直转化为证 明面面垂直. ③利用常见结论, 如两条平行线中的一条垂直于一个平 面,则另一条也垂直于这个平面等.

(3)证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, 即证明一个面 过另一个面的一条垂线, 将证明面面垂直转化为证明线面垂 直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线, 则借助中点、高线或添加辅助线解决.

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1.[2016· 全国卷Ⅰ]平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( 3 A. 2 3 C. 3 2 B. 2 1 D.3 )

解析 因为过点 A 的平面 α 与平面 CB1D1 平行,平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,所以 m∥B1D1∥BD,又 A1B∥平 面 CB1D1, 所以 n∥A1B, 则 BD 与 A1B 所成的角为所求角, 3 所以 m,n 所成角的正弦值为 2 ,选 A.

2.[2015· 全国卷Ⅰ]如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD.

(1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120° ,AE⊥EC,三棱锥 E-ACD 的体积 6 为 3 ,求该三棱锥的侧面积.

解 (1)证明: 因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE.故 AC⊥平面 BED. 又 AC?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° ,可 3 x 得 AG=GC= 2 x,GB=GD=2. 3 因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 2 x. 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 2 BE= 2 x.

1 1 由已知得,三棱锥 E - ACD 的体积 VE - ACD = 3 × 2 6 3 6 AC· GD· BE= 24 x = 3 .故 x=2. 从而可得 AE=EC=ED= 6. 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面 积均为 5. 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5.

3. [2016· 全国卷Ⅰ]如图, 已知正三棱锥 P-ABC 的侧面 是直角三角形,PA=6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D, D 在平面 PAB 内的正投影为点 E, 连接 PE 并延长交 AB 于点 G.

(1)证明:G 是 AB 的中点; (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法 及理由),并求四面体 PDEF 的体积.



(1)证明:因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所

以 AB⊥PD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E,所以 AB⊥DE. 又 PD∩DE=D,所以 AB⊥平面 PED,故 AB⊥PG. 又由已知可得,PA=PB,从而 G 是 AB 的中点. (2)在平面 PAB 内, 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F, F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.

理由如下:由已知可得 PB⊥PA,PB⊥PC,又 EF∥PB, 所以 EF⊥PA, EF⊥PC, 又 PA∩PC=P, 因此 EF⊥平面 PAC, 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG, 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D, 所以 D 是正三角形 ABC 的中心,由(1)知,G 是 AB 的中点,所以 2 D 在 CG 上,故 CD=3CG.

由题设可得 PC⊥ 平面 PAB , DE⊥ 平面 PAB ,所以 2 1 DE∥PC,因此 PE=3PG,DE=3PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PE=2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2, 1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V=3×2×2×2×2=3.

[其它省市高考题借鉴] 4. [2016· 浙江高考]已知互相垂直的平面 α, β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则( A.m∥l C.n⊥l B.m∥n D.m⊥n )

解析 因为 α∩β=l,所以 l?β,又 n⊥β,所以 n⊥l. 故选 C.

5.[2015· 广东高考]若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平 面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交线,则下 列命题正确的是( ) A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交

解析

解法一: 如图 1, l1 与 l2 是异面直线, l1 与 l 平行,

l2 与 l 相交,故 A,B 不正确;如图 2,l1 与 l2 是异面直线, l1,l2 都与 l 相交,故 C 不正确,选 D.

解法二:因为 l 分别与 l1,l2 共面,故 l 与 l1,l2 要么都 不相交,要么至少与 l1,l2 中的一条相交.若 l 与 l1,l2 都 不相交,则 l∥l1,l∥l2,从而 l1∥l2,与 l1,l2 是异面直线 矛盾,故 l 至少与 l1,l2 中的一条相交,选 D.

6.[2014· 辽宁高考]已知 m,n 表示两条不同直线,α 表 示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α

解析

A 选项 m、n 也可以相交或异面,C 选项也可以

n?α,D 选项也可以 n∥α 或 n 与 α 斜交.根据线面垂直的 性质可知选 B.



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