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高中数学必修5第一单元测试卷1(含答案)


《解三角形》测试题
一、选择题: 1.(2014· 沈阳二中期中)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 1 asinBcosC+csinB· cosA=2b,且 a>b,则∠B=( π A.6 [答案] [解析] A 1 因为 asinBcosC+csinBcosA=2b, π B.3 2π C. 3 5π D. 6 )

/>sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0.又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形,选 A. π 4.(理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 A=3,a= 3, b=1,则 c 等于( A.1 C. 3-1 [答案] [解析] B a b 3 1 解法 1:由正弦定理sinA=sinB得, π=sinB, sin3 ) B.2 D. 3

1 所以 sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=2sinB, 1 5π π 即 sin(A+C)=2,a>b,所以 A+C= 6 ,B=6,故选 A. 2.(文)(2013· 呼和浩特第一次统考)在△ABC 中,如果 sinA= 3sinC,B=30° , 角 B 所对的边长 b=2,则△ABC 的面积为( A.4 [答案] C [ 解析] 据正弦定理将角化边得 a = 3 c,再由余弦定理得 c2 + ( 3 c)2 - 2 3 B.1 C. 3 D.2 )

1 ∴sinB=2,故 B=30° 或 150° . 由 a>b 得 A>B,∴B=30° . 故 C=90° ,由勾股定理得 c=2,选 B. π 解法 2:由余弦定理知,3=c2+1-2ccos3, 即 c2-c-2=0,∴c=2 或-1(舍去). 1 5.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1,BC= 2,则 AC=( A.5 C.2 [解析] ) B. 5 D.1 1 由题意知 S△ABC=2AB· BC· sinB,

1 c2cos30° =4,解得 c=2,故 S△ABC=2×2×2 3×sin30° = 3. c 3. (文)(2013· 合肥二检)△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若b<cosA, 则△ABC 为( ) B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

A.钝角三角形 [答案] [ 解析 ] A

sinC 依题意得 sinB <cosA , sinC<sinBcosA ,所以 sin(A + B)<sinBcosA ,即
1

1 1 2 即2=2×1× 2sinB,解得 sinB= 2 . ∴B=45° 或 B=135° .

2 当 B=45° 时,AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB=12+( 2)2-2×1× 2× 2 =1. 此时 AC2+AB2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意; ? 2? 当 B=135° 时, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB=12+( 2)2-2×1× 2×?- ? ? 2? =5,解得 AC= 5.符合题意.故选 B. [答案] B

[解析]

因为 a2<b2+c2,所以 cosA=

b2+c2-a2 >0,所以∠A 为锐角,又因为 2bc

?π π? a>b>c,所以∠A 为最大角,所以角 A 的取值范围是?3,2?. ? ? [答案] C π 8.(文)(2013· 东北三省四市二联)若满足条件 AB= 3,C=3的三角形 ABC 有两 个,则边长 BC 的取值范围是( A.(1, 2) C.( 3,2) [答案] C ) B.( 2, 3) D.( 2,2)

π 6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,∠B=6,∠C π =4,则△ABC 的面积为( A.2 3+2 C.2 3-2 [解析] ) B. 3+1 D. 3-1

[解析] =

3 BC 解法一: 若满足条件的三角形有两个, 则 2 =sinC<sinA<1, 又因为sinA

?π π? 7π ∠A=π-(∠B+∠C)=π-?6+4?= , ? ? 12

AB =2,故 BC=2sinA, sinC 所以 3<BC<2,故选 C. π 解法二:由条件知,BCsin3< 3<BC,∴ 3<BC<2. 9. (2014· 长春市调研)△ABC 各角的对应边分别为 a, b, c, 满足 b c + ≥1, a+c a+b

a b 由正弦定理得sinA=sinB, bsinA 则 a= sinB = 7π 2sin12 π = 6+ 2, sin6

1 1 2 ∴S△ABC=2absinC=2×2×( 6+ 2)× 2 = 3+1. 答案:B 7.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a>b>c,a2<b2 +c2,则角 A 的取值范围是( ?π ? A.?2,π? ? ? ?π π? C.?3,2? ? ? ) ?π π? B.?4,2? ? ? π? ? D.?0,2? ? ?
2

则角 A 的取值范围是( π A.(0,3] [答案] [解析]
2 2

) π C.[3,π) π D.[6,π)

π B.(0,6]

A 由 b c + ≥1 得:b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得:b2+ a+c a+b

b2+c2-a2 1 1 π c -a ≥bc , 同除以 2bc 得, 2bc ≥2, 即 cosA≥2, 因为 0<A<π, 所以 0<A ≤3, 故选 A.

10. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 且满足 csinA= 3acosC, 则 sinA+sinB 的最大值是( A.1 C. 3 [解析] 由 csinA= 3acosC, ) B. 2 D.3

[解析]

∵C=60° ,∴a2+b2-c2=ab,

∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), ∴ a b + =1. b+c a+c

13.(理)(2014·吉林九校联合体联考)在△ABC 中,C=60° ,AB= 3,AB 边上 4 的高为3,则 AC+BC=________. [答案] [解析] 11 1 4 1 由条件2× 3×3=2AC· BC· sin60° ,

所以 sinCsinA= 3sinAcosC,即 sinC= 3cosC, π 2π 所以 tanC= 3,C=3,A= 3 -B, ?2π ? 所以 sinA+sinB=sin? 3 -B?+sinB ? ? π? ? = 3sin?B+6?, ? ? 2π π π 5π π π ∵0<B< 3 ,∴6<B+6< 6 ,∴当 B+6=2, π 即 B=3时,sinA+sinB 的最大值为 3.故选 C. [答案] C

8 ∴AC· BC=3, 由余弦定理知 AC2+BC2-3=2AC· BC· cos60° , ∴AC2+BC2=3+AC· BC, ∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC· BC=3+3AC· BC=11,∴AC+BC= 11. 14.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA =5sinB,则角 C=__________. [解析] ∵3sinA=5sinB,

二、填空题
11.(文)(2014·河南名校联考)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满 足(a+b) -c =4,且 C=60° ,则 ab 的值为________. 4 [答案] 3 [解析] 4 ∵(a+b)2-c2=4,∴a2+b2-c2=4-2ab=2abcos60° ,∴ab=3. a b + b+c c+a
2 2

∴3a=5b.① 又 b+c=2a,② 5 7 ∴由①②可得,a=3b,c=3b,
2 ?5 ?2 ?7 ?2 b? -? b? b2+a2-c2 b +? ?3 ? ?3 ? ∴cosC= 2ab = 5 2×3b2

12.(文)在△ABC 中,C=60° ,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,则 =________. [答案] 1

1 =-2.

3

2 ∴∠C=3π. 2 [答案] 3π

1 1 3 3 (1 + cos2 A ) - (1 + cos2 B ) = sin2 A - 2 2 2 2 sin2B, 1 3 1 3 ∴2cos2A- 2 sin2A=2cos2B- 2 sin2B, π π 即 sin(-6+2A)=sin(-6+2B), π π π π ∴-6+2A=-6+2B 或-6+2A-6+2B=π, 2π 即 A=B 或 A+B= 3 , 2π π ∵a≠b,∴A+B= 3 ,∴∠C=3. 3 1 (2)由(1)知 sinC= 2 ,cosC=2, ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= a c 由正弦定理得:sinA=sinC, 4 8 又∵c= 3,sinA=5.∴a=5. 18+8 3 1 ∴S△ABC=2acsinB= 25 . 17. 3 3+4 10

三、解答题
15. (2014· 安徽理)设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c 且 b=3,c=1, A=2B. (1)求 a 的值; π (2)求 sin(A+ )的值. 4 [解析] (1)因为 A=2B, 所以 sinA=sin2B=2sinBcosB, a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· , 2ac 因为 b=3,c=1, 所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cosA= = =- , 2bc 6 3 由于 0<A<π,所以 sinA= 1-cos A= π π π 故 sin(A+ )=sinAcos +cosAsin 4 4 4 = 2 2 2 1 2 4- 2 × +(- )× = . 3 2 3 2 6
2

1 2 2 1- = , 9 3

16.(理)(2014· 浙江理)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3,cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA=5,求△ABC 的面积. [解析] (1)由已知 cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB 得. 如图,甲船在 A 处观察到乙船,在它的北偏东 60° 的方向,两船相距 10 海里,
4

乙船正向北行驶.若乙船速度不变,甲船是乙船速度的 3倍,则甲船应朝什么方向 航行才能遇上乙船?此时甲船行驶了多少海里? [解析] 设到 C 点甲船遇上乙船,

所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π (2)由 f(B)=3 得 2sin(2B+6)+1=3,解得 B=6. →· → =9知 accosB=9,所以 ac=3 3. 又由BA BC 2 2 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=(3+ 3)2-2×3 3-2×3 3 × 3 =3,所以 b= 3. 2

则 AC= 3BC,B=120° , 由正弦定理,知 BC AC =sinB, sin∠CAB

1 3 1 即 =sin120° ,sin∠CAB=2.又∠CAB 为锐角, sin∠CAB ∴∠CAB=30° . 又 C=60° -3 0° =30° ,∴BC=AB=10, 又 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos120° , ∴AC=10 3(海里), 因此甲船应取北 偏东 30° 方向航行才能遇上乙船,遇上乙船时甲船行驶了 10 3 海里.

18.已知 a=(2cosx+2 3sinx,1),b=(y,cosx),且 a∥b. (1)将 y 表示成 x 的函数 f(x),并求 f(x)的最小正周期; →· → =9, (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(B)=3,BA BC 2 且 a+c=3+ 3,求边长 b. 解:(1)由 a∥b 得 2cos2x+2 3sinxcosx-y=0, π 即 y=2cos2x+2 3sinxcosx=cos2x+ 3sin2x+1=2sin(2x+6)+1,所以 f(x)= π 2sin(2x+6)+1, 2π 2π 又 T= ω = 2 =π,
5


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