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河南省郑州市2017届高三第三次质量预测 数学文


2017 年高中毕业年级第三次质量预测 文科数学试题卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、 选择题: 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? x x ? x 2 ? 0 , B ? x ? x ? 1?? m ? x ? ? 0 ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的(

?

?

?

?



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.为了解 600 名学生的视力情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 20 的样本,则需要分 成几个小组进行抽取( ) A.20 B.30 C.40 D.50 3.已知 z ? m ? 1 ? ? m ? 2? i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是( A. ? ?1,2? B. ? ?2,1? C. ?1, ?? ? D. ? ??, ?2? )

4.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载 的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放 形式有纵横两种形式,如下表:

表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需 要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例 如 6613 用算筹表示就是: A. C. ,则 5288 用算筹式可表示为( B. D. ) D. ?
1 2



?? 1 ? ?? ? 5.已知 cos ? ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? 的值等于( 3? 2 ? ?6 ?
A.
3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

6.已知 f ' ? x ? ? 2 x ? m ,且 f ? 0? ? 0 ,函数 f ? x ? 的图象在点 A?1, f ?1?? 处的切线的斜率为 3,数列

·1·

? ? 1 ? ? ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2017 的值为( f n ? ? ? ? ? ?
A.



2017 2014 2015 B. C. 2015 2016 2018 7.如图是某个几何体的三视图,则这个几何体体积是(

D. )

2016 2017

A. 2 ?

?
2

B. 2 ?

?
3

C. 4 ?

?
3

D. 4 ? ) D.16

?
2

8.已知等比数列 ?an ? ,且 a6 ? a8 ? 4 ,则 a8 ? a4 ? 2a6 ? a8 ? 的值为( A.2 B.4 C.8

9.若实数 a 、 b 、 c ? 0 ,且 ? a ? c ? ? ? a ? b ? ? 6 ? 2 5 ,则 2 a ? b ? c 的最小值为(



A. 5 ? 1 B. 5 ? 1 C. 2 5 ? 2 D. 2 5 ? 2 2 2 x y 10.椭圆 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? a 与椭圆相交于点 M , N ,当 △ FMN 的周长最大时, 5 4 △ FMN 的面积是( ) A.
5 5

B.

6 5 5

C.

8 5 5

D.

4 5 5

11.四面体 A ? BCD 中, AB ? CD ? 10 , AC ? BD ? 2 34 , AD ? BC ? 2 41 ,则四面体 A ? BCD 外接球的表面积为( ) A. 50? B. 100? C. 200? D. 300? 12.已知函数 f ? x ? ? A. ?2014

? x ? 1?

2

? ln

?

1 ? 9 x2 ? 3x cos x x ?1
2

?

,且 f ? 2017 ? ? 2016 ,则 f ? ?2017 ? ? ( D. ?2017



B. ?2015

C. ?2016

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
·2·

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.设变量 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
? ? 14.已知向量 a ? ? m,3? , b ?



?

? ? 3,1 ,若向量 a , b 的夹角为 30 ? ,则实数 m ?

?



5 15.在 △ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 b ? a , A = 2B ,则 8 cos A ? . ??? ? ??? ? ???? ? ? 上一动点,且 16.在 △ ABC 中, ?A ? , O 为平面内一点,且 OA ? OB ? OC , M 为劣弧 BC 3 ???? ? ??? ? ???? . OM ? pOB ? qOC ,则 p ? q 的取值范围为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
17.已知数列 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 2 ,且 a 3 是 a 2 与 a4 ? 1 的等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? n ? 3? ? an ? 2 ?

18.按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》 ,规定:PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米, 国家环保部门在 2016 年 10 月 1 日到 2017 年 1 月 30 日这 120 天对全国的 PM2.5 平均浓度的监测数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5 浓度(微克/立方米) 频数(天) 32 64 16 8

? 0,35?
? 35,75?

? 75,115?
115 以上

(1)在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天? (2)在(1)中所抽取的样本 PM2.5 的平均浓度超过 75(微克/立方米)的若干天中,随机抽取 2 天,求恰好有一天平均浓度超过 115(微克/立方米)的概率. 19.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面
△ ABC 是等腰直角三角形,且斜边 AB ? 2 ,侧 棱 AA1 ? 2 ,点 D 为 AB 的中点,点 E 在线段 AA1 上, AE ? ? AA1 ( ? 为实数). (1)求证:不论 ? 取何值时,恒有 CD ? B1 E ;

·3·

1 (2)当 ? ? 时,求多面体 C1 B ? ECD 的体积. 3
20.已知点 P 是圆 F1 : ? x ? 1? ? y 2 ? 8 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称,线段 PF2 的垂直平
2

分线分别与 PF1 , PF2 交于 M , N 两点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; ? 1? (2)过点 G ? 0, ? 的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A , B 两点,在 y 轴上是否存在定点 Q ,使 ? 3? 以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 h ? x ? ? ? x ? a ? ex ? a . (1)若 x ? ? ?1,1? ,求函数 h ? x ? 的最小值;
2 (2)当 a ? 3 时,若对 ?x1 ? ??1,1? , ?x2 ??1,2? ,使得 h ? x1 ? ? x2 ? 2bx2 ? ae ? e ?

15 成立,求 b 的 2

范围. 22.以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,

1 ? ? x ? ? t cos? 已知直线 l 的参数方程为 ? , ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 2 ? ? y ? t sin ?

? sin 2 ? ? 2cos ? ? 0 .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值. 23.已知函数 f ? x ? ? x ? 5 ? x ? 2 . (1)若 ?x ? R ,使得 f ? x ? ? m 成立,求 m 的范围; (2)求不等式 x2 ? 8x ? 15 ? f ? x ? ? 0 的解集.

·4·

2017 年高中毕业年级第三次质量预测 数学(文科)
一、选择题 AABCD; AADDC;CA. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.4; 三、解答题
17.解:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 由 a1 ? 2 ,且 a3 是 a2 与 a4 ? 1 的等比中项得:

参考答案

14. m ? 3;

15.

7 ; 25

16. 1 ? p ? q ? 2.

(2 ? 2d )2 ? (2 ? d )(3 ? 3d ),

? d ? 2 或 d ? ?1,
当d ? ?1时,a3 ? 2 ? 2d ? 0 与 a3 是 a2 与 a4 ? 1 的等比中项矛盾,舍去. ?an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n .
(II)? bn ?

2 2 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), (n ? 3)(an ? 2) (n ? 3)(2n ? 2) (n ? 3)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 3 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? 2? 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 3 ? ?
1 1 1 1 1 ( ? ? ? ) 2 2 3 n?2 n?3

? Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
?

?

5 2n ? 5 ? . 12 2(n ? 2)(n ? 3)

18.解:(Ⅰ)这 120 天中抽取 30 天,应采取分层抽样, 第一组抽取 32 ?

30 30 ? 8 天;第二组抽取 64 ? ? 16 天; 120 120 30 30 ? 4 天;第四组抽取 8 ? ? 2 天. 120 120
·5·

第三组抽取 16 ?

(Ⅱ)设 PM2.5 的平均浓度在 ? 75,115? 内的 4 天记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,PM2.5 的平均浓度在 115 以 上的两天记为 B1 , B2 . 所以 6 天任取 2 天的情况有:

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 B1 , A1 B2 , A2 A3 , A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 , A3 A4 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 ,

B1 B2 共 15 种.
记“恰好有一天平均浓度超过 115(微克/立方米)”为事件 A ,其中符合条件的有:

A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 共 8 种,
所求事件 A 的概率: P ? A? ?

8 . 15

19(I)证明:? ?ABC 是等腰直角三角形,点 D 为 AB 的中点,? CD ? AB.

? AA1 ? 平面ABC, CD ? 平面ABC, ? AA1 ? CD.
B1 B D C
C1 A1

E

A

又? AA 1 ? 平面ABB 1A 1 , AB ? 平面ABB 1A 1 , AA 1 ? AB ? A, ?CD ? 平面ABB 1A 1. 又? B1E ? 平面ABB1 A 1 , ?CD ? B 1E. (II) ? ?ABC 是等腰直角三角形,且斜边 AB ? 2, ? AC ? BC ? 1.

VC1 ?CBE ? VE ?C1BC ? VD ? BEC ? VE ?CDB

1 1 1 1 AC ?S?C1BC ? ? ?1?1? 2 ? , 3 3 2 3 1 1 1 1 2 1 1 1 7 ? AE ?S?DBC ? ? ? ?1?1? ? , ? V ? ? ? . 3 3 2 2 3 18 3 18 18

20.解:(I)由题意得 MF1 ? MF2 ? MF1 ? MP ? F1P ? 2 2 ? F1F2 ? 2,

? 点 M 的轨迹 C 为以 F1 , F2 为焦点的椭圆
·6·

x2 ? 2a ? 2 2, 2c ? 2, ? 点 M 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 2
(II)直线 l 的方程可设为 y ? kx ?

1 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 3

1 ? y ? kx ? , ? ? 3 联立 ? 2 可得 9(1 ? 2k 2 ) x2 ? 12kx ?16 ? 0. ? x ? y 2 ? 1, ? ?2
由求根公式化简整理得 x1 ? x2 ? ?

4k 16 , x1 x2 ? ? , 2 3(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k 2 )

假设在 y 轴上是否存在定点 Q(0, m) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点,则

??? ? ??? ? ? AQ ? BQ 即 AQ ? BQ ? 0.

??? ? ??? ? ? AQ ? (?x1, m ? y1 ), BQ ? (?x2 , m ? y2 ),
1 1 AQ ? BQ ? x1 x2 ? (m ? y1 )( m ? y 2 ) ? x1 x2 ? (m ? kx1 ? )( m ? kx 2 ? ) 3 3 1 2 m 1 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? 3 3 9

1 12k 2 ( ? m) 16(1 ? k 2 ) 2m 1 3 ?? ? ? m2 ? ? 2 2 3 9 9(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k )

(18m2 ? 18)k 2 ? (9m2 ? 6m ? 15) ? ? 0. 9(1 ? 2k 2 )
?18m2 ? 18 ? 0, ? ?? 2 求得 m ? ?1. 9 m ? 6 m ? 15 ? 0, ? ?
因此,在 y 轴上存在定点 Q(0,?1) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点. 21.解:(I) h?( x) ? ( x ? a ? 1)e x ,令 h?( x) ? 0 得 x ? a ? 1 . 当 a ? 1 ? ?1 即 a ? 0 时,在 [?1,1] 上 h?( x) ? 0 , h( x) 递增, h( x) 的最小值为

h(?1) ? a ?

1? a . e
·7·

当 ? 1 ? a ? 1 ? 1 即 0 ? a ? 2 时,在 x ? [?1, a ? 1] 上 h?( x) ? 0 ,h( x) 为减函数,在 x ? [a ? 1,1] 上 h?( x) ? 0 , h( x) 为增函数. ∴ h( x) 的最小值为 h(a ? 1) ? ?e a ?1 ? a . 当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时,在 [?1,1] 上 h?( x) ? 0 , h( x) 递减, h( x) 的最小值为

h(1) ? (1 ? a )e ? a .
综上所述,当 a ? 0 时 h( x) 的最小值为 a ?

1? a ,当 a ? 2 时 h( x) 的最小值为 (1 ? a )e ? a ,当 e

0 ? a ? 2 时, h( x) 最小值为 ? e a ?1 ? a .
(II)令 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? ae ? e ?

15 , 2
2

由题可知“对 ?x1 ???1,1? , ?x2 ??1, 2? ,使得 h( x1 ) ? x 2 ? 2bx 2 ? ae ? e ? 等价于“ f ( x ) 在 ?1, 2? 上的最小值不大于 h( x) 在 ??1,1? 上的最小值”. 即 h( x)min ? f ( x)min . 由(I)可知,当 a ? 3 时, h( x) min ? h(1) ? (1 ? a)e ? a ? ?2e ? 3 .

15 成立” 2

15 15 ? ( x ? b) 2 ? b 2 ? 2e ? , x ??1,2?, 2 2 17 , ①当 b ? 1 时, f ( x) min ? f (1) ? ?2b ? 2e ? 2 17 11 由 ? 2e ? 3 ? ?2b ? 2e ? 得b ? ,与 b ? 1 矛盾,舍去. 2 4 15 ②当 1 ? b ? 2 时, f ( x) min ? f (b) ? ?b 2 ? 2e ? , 2 15 9 2 2 由 ? 2e ? 3 ? ?b ? 2e ? 得 b ? ,与 1 ? b ? 2 矛盾,舍去. 2 2 23 , ③当 b ? 2 时, f ( x) min ? f (2) ? ?4b ? 2e ? 2 17 23 . 由 ? 2e ? 3 ? ?4b ? 2e ? 得b ? 2 8
当 a ? 3 时, f ( x) ? x 2 ? 2bx ? 2e ? 综上, b 的取值范围是 ?

?17 ? , ?? ? . ?8 ?

22.解: (I)由 ? sin 2 ? ? 2cos ? ? 0 由,得 ? 2 sin 2 ? ? 2? cos ? .

? 曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2x
·8·

(II)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 2 x ,得 t 2 sin 2 ? ? 2t cos ? ? 1 ? 0. 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 则 t1 ? t2 ?

2 cos ? 1 , t1 ? t2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?
当? ?

4cos2 ? 4 2 . ? 2 ? 4 sin ? sin ? sin 2 ?

?
2

时, AB 的最小值为2.

x ? 2, ?3, ? 23.解: (I) f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 2 |? ?7 ? 2 x, 2 ? x ? 5, ??3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 7 ? 2 x ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. ∴ m ? ?3

(II)即 ? f ( x) ≥ x 2 ? 8 x ? 15 由(I)可知, 当 x ? 2时, ? f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5 时, ? f ( x) ? x 2 ? 8x ? 15即 x 2 ? 10x ? 22 ? 0 ,?5 ? 3 ? x ? 5 ; 当 x ? 5 时, ? f ( x) ? x 2 ? 8x ? 15即 x 2 ? 8 x ? 12 ? 0 ,? 5 ? x ? 6 ; 综上,原不等式的解集为 x 5 ? 3 ? x ? 6 .

?

?

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·9·


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