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3、二元一次不等式与线性规划(精)


二元一次不等式与线性规划
(1)二元一次不等式表示平面区域: 先讨论在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x ? y ? 1 > 0 的解为坐标的点的集合

{( x, y) | x ? y ? 1 ? 0} 所在的平面区域.由 x ? y ? 1 ? 0 得 y ? ? x ? 1 ,令 y ? y0 ? ? x0 ? 1 ,
则点 ( x0 , y0 ) 在直线 y ? ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 上,点 ( x0 , y) 在点 ( x0 , y0 ) 的上方,即在直线

x ? y ? 1 ? 0 的上方.所以在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x ? y ? 1 ? 0 的解为坐
标的点的集合 {?x, y ? | x ? y ? 1 ? 0} 是在直线 x ? y ? 1 ? 0 右上方的平面区域. 一般地 , 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平面区域. 说明 :①二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某 一 侧 所 有 点 组 成 的 平 面 区 域 且 包 括 边 界 ; 事 实 上 ,
{( x, y) | Ax ? By ? C ? 0} ? {( x, y) | Ax ? By ? C ? 0} ? {( x, y) | Ax ? By ? C ? 0}

②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 推导:举例说明. ① 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法 1:记住下列一般性结论: (1)若 B ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 上方的平面区域.

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 下方的平面区域.
(2)若 B ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 下方的平面区域.

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 上方的平面区域.
(3)若 B ? 0, A ? 0 ,则 Ax ? C ? 0 表示直线 Ax ? C ? 0 右侧的平面区域.

Ax ? C ? 0 表示直线 Ax ? C ? 0 左侧的平面区域.
若 B ? 0, A ? 0 ,则 Ax ? C ? 0 表示直线 Ax ? C ? 0 左侧的平面区域.

Ax ? C ? 0 表示直线 Ax ? C ? 0 右侧的平面区域.
方法 2:取特殊点检验; 原 因 : 由 于对在 直线 Ax ? By ? C ? 0 的 同一 侧的所 有点 ( x, y ) , 把它 的坐标 ( x, y ) 代 入

Ax ? By ? C , 所得到的实数的符号 都相同 , 所以只需在此直 线的某一侧 取一个特殊点

( x0 , y0 ) ,从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域.
②特殊地,当 C ? 0 时,常取原点检验. 对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是 不等式组表示的平面区域. 求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤: ①先依不等式作直线,注意虚实; ②取点:在直线的某一侧取一点; ③确定符号,即确定直线某一侧的符号; ④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分. (2)线性规划问题: 引例: 已知 f ( x) ? px ? q 且 ? 4 ? f (1) ? ?1,?1 ? f (2) ? 5 ,求 f (3) 的取值范围.
2

错解: 由 ?

?? 4 ? p ? q ? ?1 ? 0 ? p ? 3,1 ? q ? 7 ??1 ? 4 p ? q ? 5

而 f (3) ? 9 p ? q 利用不等式性质得 ? 7 ? f (3) ? 9 p ? q ? 26 .

? ?? ? ?p? 3 ? f (1) ? p ? q ? ? 正解: 由 ? ?? ? ? 4? ? f (2) ? 4 p ? q ? ? ?q ? 3 ?
而 ? 4 ? ? ? ?1,?1 ? ? ? 5, f (3) ? 9 p ? q ? 所以 f (3) ? [?1,20] 错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今 天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了. ① 基本概念: 设 z ? 2 x ? y ,式中变量满足下列条件:

8 5 ?? ? 3 3

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?
线性规划的基本概念: 1.线性约束条件: (由不等式或不等式组构成的关于变量 x1 , x2 ,?, xn 的限制条件称为 约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量 x , y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x , y 的一次不等式,故又称线性约束条件. 2.线性目标函数:

(关于变量 x1 , x2 ,?, xn 达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于 x , y 的一次式

z ? 2 x ? y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x, y 的解析式,叫线性目标函数.(例
如关于 x , y 的解析式: z ? 2 x ? y, z ? x ? y 等等的叫做目标函数).
2 2

3.线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问 题. 4.可行解、可行域和最优解: a. 满足约束条件的解 ( x, y ) 叫可行解. b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个 多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值 ,最优解一般就是多边形的某个顶点 , 确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是 ; 二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线 l1 , l 2 ,?, l n 的斜率为

k1 , k 2 ,?, k n ,而且目标函数的直线的斜率为 k ,则当 ki ? k ? ki ?1 时,直线 l i 与 li ?1 相
交的顶点一般是最优解 ; 特别的 , 当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行 ( k ? ki )时,其最优解可能有无数个. c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 5.线性规划问题: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ② 用图解法解决线性规划的一般步骤: 1.画: 画出约束条件表示的可行域; 2.移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置; 3.求: 根据直线方程求解出最优解; 4.算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值); 5.特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格. ③实际问题中的线性规划: (1)建模: 注意审题,根据题意列出线性规划模型; (2)求解: 利用图解法求解模型(注意实际意义).

【经典例题】
【例 1】设变量 x , y 满足约束条件 ? A.1 B.2 C.3

? x ? y ? 3, ,则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为( ? x ? y ? ?1



D.4 ;

2 2 【例 2】设 x, y ? R, 且满足 x ? y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为

若 x , y 又满足 y ? 4 ? x, 则

y 的取值范围是 x

.

? x ? 4 y ? ?3 ? 【例 3】设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?
? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ??? ? ??? ? ? 【例 4】设 O 为坐标原点, A(1,1) ,若点 B 满足 ?1 ? x ? 2, ,则 OA ?OB 的 ?1 ? y ? 2 ?
最小值为 A. 2 B.2 C.3 D. 2 ? 2

? x ? y ? 1, ? 【例 5】已知不等式组 ? x ? y ? ?1, 表示的平面区域为 M ,若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 ?y ? 0 ?

M 有公共点,则 k 的取值范围是( A ) 1 1 1 A. [ ? , 0] B. ( ?? , ] C. (0, ] 3 3 3

D. ( ?? , ? ]

1 3

【易错题】
? 0 ? x ? 2, ? 【例 1】已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为 ?kx ? y ? 2 ? 0 ?

A.1 C.1 或 ?3 【答案】A

B. ?3 D.0

ì x ≥ 0, ? ? ? 【例 2】不等式组 í x - y - 1 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积等于 ? ? ? ? ? 3x - 2 y - 6 ≤ 0

.

ì y ≥ 0, ? ? ? 【例 3 】设变量 x , y 满足 í x - y - 1 ≥ 0, 则该不等式组所表示的平面区域的面积等 ? ? ? ? ? 3 x - 2 y - 6 ≤ 0,
于 ; .

z = x + y 的最大值为

?x ? y ? 3 ? 0 ? 【例 4】目标函数 z ? 2 x ? y 在约束条件 ? 2 x ? y ? 0 下取得的最大值是________ . ?y ? 0 ? ?x ? 0 ? ( k为常数) , 若 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k =_____ 【例 5】已知 x, y满足 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

【课堂练习】
? x ? y ? 0, ? 1. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 所表示的平面区域的面积是 9,则实数 a 的 ? x?a ?
值为 .

? x ? y ? 0, ? 2.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3, ?
A. 9 B. 3 C. 0

) D. ?3 )

? y ? x ? 1, ? 3.若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ? y ? 0, ?
A. ?

7 2

B. ?2

C. 1

D.

5 2


? y ? 0, ? 4.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1, 则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是( ? x ? 4 y ? 3, ?
A. [3, ?? ) B. [-8, 3] C. (??,9]

D. [-8,9]

?y ? 0 ? 5.在平面上有两个区域 M 和 N , 其中 M 满足 ? x ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ?

,N 由 t ≤ x ≤ t ? 1

确定, 当t ? 0

时, M 和 N 公共部分的 面 积是 和 N 的公共部分面积的最大值为

;当 0 ? t ? 1 时, M .

【课后作业】
? x ? 0, ? 1、不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 所表示的平面区域的面积等于 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

.

? y ? 2x ? 2、点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域内,则 z ? x ? y 的最大值为_______. ?x ? 2 ?
3、已知 a ? b ,则下列不等式正确的是 A.

1 1 ? a b

B. a 2 ? b 2

C. 2 ? a ? 2 ? b

D. 2 ? 2
a

b

? x ? 2, ? 4 、平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0, 的点 ( x , y ) 形成的区域为 D ,则区域 D 的面积为 ?x ? y ? 6 ? 0 ?
________;设区域 D 关于直线 y ? 2 x ? 1 对称的区域为 E ,则区域 D 和区域 E 中距离最近 的两点的距离为________.

?x ? y ? 0 ? 5、若满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 的整点 ( x, y ) 恰有 9 个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的 ?y ? a ?
点,则整数 a 的值为 A. ? 3 B.

?2

C. ?1

D. 0

? x ? y ? 0, ? 6、若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为 ?0 ? x ? 3, ?
A. 9 B. 3 C. 0 D. ?3 )

? x ? y ? 0, ? 7、若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 | x ? 3 y | 的最大值为( ?0 ? x ? 1, ?
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

? y ? x ? 1, ? 8、若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ? y ? 0, ?
A. ?

7 2

B. ?2

C. 1

D.

5 2

? y ? x, ? 9、若点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 ?
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 ;

? y ? 0, ? 10、设 x , y 满足约束条件 ? y ? x, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ? 0, ?
使 z 取得最大值时的点 ( x, y ) 的坐标是 .


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