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学生卷 第31课时 三角函数式的化简与证明


三角函数式的化简与证明(文科) (一)主要知识: 1.三角函数式的化简要求: 通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中: ①所含函数和角的名类或种类最少; ②各项的次数尽可能地低; ③出现的项数最少; ④一般应使分母和根号不含三角函数式; ⑤对能求出具体数值的,要求出值. 2.三角恒等式的证明要求: 利用已知三角公式通过恒等变形,论证所给等式左、右相等, (二)主要方法:

1.三角函数式的化简: 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化 为同角,异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 2.三角恒等式的证明: 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式. ①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等, 使等式两端的“异”化为“同”; ②有条件的等式常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等. (三)例题分析: 例 1.化简: (1)
3 ta n 1 2 ? 3 s in 1 2 ( 4 c o s 1 2 ? 2 )
2 ? ? ?


?
2 )

(2) (c o t (3)

?
2

? ta n

?
2

)(1 ? ta n ? ? ta n


(0 ? ? ? ? ) .

(1 ? s in ? ? c o s ? )(s in 2 ? 2 cos ?

?
2

? cos

?
2

)

例 2. 证明: (1)ta n

2

x ? cot x ?
2

2 (3 ? c o s 4 x ) 1 ? cos 4 x

; (2)

s in ( 2 A ? B ) s in A

? 2 cos( A ? B ) ?

s in B s in A



1

(四)巩固练习与高考回顾: 1.
1 ? s in 4 ? ? c o s 4 ? 1 ? s in 4 ? ? c o s 4 ? ?


( B ) cot 2?
5? 4


( C ) tan ?
3? 2

( A ) cot ?

( D ) tan 2 a

2.已知 f ( x ) ?
( A ) 2 sin ?

1? x

,当 ?

?(

,

)

时,式子 f (sin 2? ) ?
( C ) ? 2 sin ?

f ( ? sin 2? ) 可化简为

( B ) ? 2 cos ?
2

( D ) 2 co s ?

3.
2 ta n (

2 cos ? ? 1

?
4

? ? ) s in (
2

?
4

? ??)



4.(北京春文)

s in ( ? ? 3 0 ? ) ? s in ( ? ? 3 0 ? ) cos?

的值为____________

5.(全国 III 文) 设 0 ? A. 0 ?
x??

x ? 2?

,且
? x ?

1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x
7? 4

,则 D.
?
2 ? x ? 3? 2





B.

?
4

C.

?
4

? x ?

5? 4

6.(全国I文) 当 0 ? (A)2

x ?

?
2

时,函数 f ( x ) ?
3

1 ? c o s 2 x ? 8 s in x
2

的最小值为 (D) 4
3

s in 2 x

(B) 2

(C)4

7. (全国 III 文) A. tan ?

2 sin 2 ? 1 ? cos 2 ?

?

cos

2

?

cos 2 ?

= C.1 D.
1 2





B. tan 2?

8. (江苏文) cot 20 ? cos 10 ? ?

3 sin 10 ? tan 70 ? ? 2 cos 40 ?



2

9.(全国) 已知 ? 为锐角,且 tan ?

?

1 2

,求

sin 2 ? cos ? ? sin ? sin 2 ? cos 2 ?

的值。

10、求 cot 10 ? ? 4 cos 10 ? 的值。

11、求证:

1 ? sin ? ? ? 2 sin
2

1 ? tan

?
2

?
2

=
1 ? tan

?
2

.

12、试证: tan ? (1 ? sin ? )? sin ? = tan ?
tan ? ( 1 ? sin ? )? sin ?

? sin ?

tan ? sin ?

.

13、已知 α、β∈(0, π ) ,3sinβ=sin(2α+β) ,4tan ? =1-tan2 ? .求 α+β
4 2 2

的值.

14、锐角 x、y 满足 sinycscx=cos(x+y)且 x+y≠ π ,求 tany 的最大值.
2

15、在△ABC 中,sinA+cosA=

2 2

,AC=2,AB=3,求 tanA 的值和△ABC 的面积.

3


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