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福建省安溪一中、德化一中联考2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)


福建省安溪一中、 德化一中联考 2015 届高三上学期摸底数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项符合要求. 2 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则 (1﹣i) 的值等于() A.2﹣2i B.2+2i C.﹣2i D.2i 2. (5 分)“sinx=1”是“cosx=0”的() A.

充分而不必要条件 C. 充分必要条件 3. (5 分) A.e e dx 的值等于() B.1﹣e C.e﹣1 D. (e﹣1)
x

B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)已知 a,b∈R+且 a+b=1,则 ab 的最大值等于() A.1 B. C.
2

D.

5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n ,则其公差 d 等于() A.2 B. 4 C.±2 D.±4 6. (5 分)某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()

A.f(x)=sinx

B.f(x)=cosx

C.f(x)=

D.f(x)=x

2

7. (5 分)已知(x,y)满足

,则 k=

的最大值等于()

A.

B.

C. 1

D.

8. (5 分)已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体中相互垂直的棱共有()

A.3 对

B. 4 对

C. 5 对

D.6 对

9. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P, 若双曲线的离心率为 5, 则 cos∠PF2F1 等于 () A. B. C. D.

10. (5 分)将 y=lnx 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 θ 后第一次与 y 轴相切,则角 θ 满足 的条件是() A.esinθ=cosθ B.sinθ=ecosθ C.esinθ=l D.ecosθ=1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分)在(1+x) 的展开式中,含 x 的项的系数是. 12. (4 分)已知 1 = ×1×2×3,1 +2 = ×2×3×5,1 +2 +3 = ×3×4×7,1 +2 +3 +4 = ×4×5×9, 则 1 +2 +…+n =(其中 n∈N ) . 13. (4 分)某次测量发现一组数据(xi,yi)具有较强的相关性,并计算得 =x+1,其中数据 (1,y0)因书写不清,只记得 y0 是[0,3]任意一个值,则该数据对应的残差的绝对值不大于 1 的概率为. (残差=真实值﹣预测值) 14. (4 分) 已知△ ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c. 若△ ABC 的面积 S=b +c 2 ﹣a ,则 tanA 的值是.
2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4

15. (4 分)定义在 R 上的函数 f(x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 λ(λ∈R) ,使 得对任意的 x∈R,都有 f(x+λ)=λf(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”,λ 为“倍增系数”,下 列命题为真命题的是(写出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,则 y=f(x)至少有 1 个零点; ②函数 f(x)=2x+1 是倍增函数,且倍增系数 λ=1;

③函数 f(x)=e

﹣x

是倍增函数,且倍增系数 λ∈(0,1) .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻两对 称轴之间的距离为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式. (Ⅱ)若 sinα+f(α)= ,求 的值.

17. (13 分)为适应 2012 年 3 月 23 日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导 意见》 ,某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从 10 个备选测试项目中随机 抽取 4 个,只有选中的 4 个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对 10 个测试项 目测试合格的概率均为 0.8;乙对其中 8 个测试项目完全有合格把握,而对另 2 个测试项目却 根本不会. (I)求甲恰有 2 个测试项目合格的概率; (Ⅱ)记乙的测试项目合格数力 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 18. (13 分)如图,三棱柱 ADF﹣BCE 中,除 DF、CE 外,其他的棱长均为 2,AB⊥AF,平 面 ABCD⊥平面 ABEF,M,N 分别是 AC,BF 上的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ADF; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 ABCD 所成角的大小.

19. (13 分)如图,设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,上顶点为 A,点

B,F2 关于 F1 对称,且 AB⊥AF2 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知 P 是过 A,B,F2 三点的圆上的点,若△ AF1F2 的面积为 ﹣ y﹣3=0 距离的最大值.

,求点 P 到直线 l:x

20. (14 分)已知函数 f(x)=(x﹣e) (lnx﹣1) (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m 是 f(x)的一个极值点,且点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )满足条件: (1﹣ lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1. ①求 m 的值; ②若点 P(m,f(m) ) ,判断 A,B,P 三点是否可以构成直角三角形?请说明理由.

本题 21、22、23 三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分,如果多做,则 按所做的前两题计分.选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)如图,矩形 OABC 和平行四边形 OA1B1C1 的部分顶点坐标为:A(﹣1,0) ,B(﹣ 1,2) ,A1( ,1) ,C1(2,0) . (Ⅰ)求将矩形 OABC 变为平行四边形 OA1B1C1 的线性变换对应的矩阵 M; (Ⅱ) 矩阵 M 是否存在特征值?若存在, 求出矩阵 M 的所有特征值及其对应的一个特征向量; 若不存在,请说明理由.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22. (7 分)在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C(2, ) ,半径为 2.以极点为原点,极轴

为 x 的正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t

为参数) (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设 l 与圆 C 的交点为 A,B,l 与 x 轴的交点为 P,求|PA|+|PB|.

选修 4-5:不等式选讲

23. (Ⅰ)证明二维形式的柯西不等式: (a +b ) (c +d )≥(ac+bd) (a,b,c,d∈R) ; 2 2 2 (Ⅱ)若实数 x,y,z 满足 x +y +z =3,求 x+2y﹣2z 的取值范围.

2

2

2

2

2

福建省安溪一中、德化一中联考 2015 届高三上学期摸底 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项符合要求. 2 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则 (1﹣i) 的值等于() A.2﹣2i B.2+2i C.﹣2i D.2i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由完全平方公式展开化简可得. 2 解答: 解:化简可得(1﹣i) 2 =1﹣2i+i =﹣2i 故选:C 点评: 本题考查复数的代数形式的运算,属基础题. 2. (5 分)“sinx=1”是“cosx=0”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 sin x+cos x=1 可知当 sinx=1 时,可得 cos x=0,而由“cosx=0”可得 sinx=±1,由充 要条件的定义可得答案. 2 2 2 解答: 解:由 sin x+cos x=1 可知,当 sinx=1 时,可得 cos x=0, 即由“sinx=1”可推得“cos x=0”; 2 而由“cosx=0”可得 sin x=1,解得 sinx=±1,故不能推出“sinx=1”, 故可知“sinx=1”是“cosx=0”的充分不必要条件. 故选 A 点评: 本题考查充要条件的判断,涉及三角函数的运算,属基础题. 3. (5 分) A.e e dx 的值等于() B.1﹣e C.e﹣1 D. (e﹣1)
x 2 2 2

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据微积分定理即可得到结论. 解答: 解: e dx=e |
x x



故选:C 点评: 本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,比较基础. 4. (5 分)已知 a,b∈R+且 a+b=1,则 ab 的最大值等于() A.1 B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴ab

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵a,b∈R+且 a+b=1, = ,当且仅当 a=b= 时取等号.

∴ab 的最大值等于 . 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n ,则其公差 d 等于() A.2 B. 4 C.±2 D.±4 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由 Sn=n ,求出 a1,a2,由此能求出公差. 2 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n , ∴a1=1,a2=4﹣1=3, ∴d=3﹣1=2. 故选:A. 点评: 本题考查公差的求法,是基础题,解题时要认真审题. 6. (5 分)某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()
2

A.f(x)=sinx

B.f(x)=cosx

C.f(x)=

D.f(x)=x

2

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据流程图,依次判断 4 个选择项是否满足输出函数的条件即可得到答案. 解答: 解:运行程序,有: A,f(x)=sinx,因为有 f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sinx=﹣f(x) ,且存在零点.故可以输出函 数. B,f(x)=cosx 为偶函数,f(x)+f(﹣x)=0 不成立,由流程图可知,不能输出函数. C,f(x)=
2

没有零点,由流程图可知,不能输出函数.

D,f(x)=x 为偶函数,f(x)+f(﹣x)=0 不成立,由流程图可知,不能输出函数. 故答案为:A. 点评: 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.

7. (5 分)已知(x,y)满足 A. B.

,则 k= C. 1

的最大值等于()

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,则 k 的几何意义为点 P(x,y)到定点 A(﹣1,0) 的斜率,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:k 的几何意义为点 P(x,y)到定点 A(﹣1,0)的斜率, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则由图象可知 AB 的斜率最大, 其中 B(0,1) , 此时 k= 故选:C ,

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用 z 的几何意义是解决本题的关键, 利用数形结合 是解决本题的突破. 8. (5 分)已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体中相互垂直的棱共有()

A.3 对

B. 4 对

C. 5 对

D.6 对

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 探究型;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图可知,该几何体为底面为直角三角形,侧棱垂直于底面的三棱锥,由此 可得结论. 解答: 解:根据三视图可知,该几何体为底面为直角三角形,侧棱垂直于底面的三棱锥, 故侧棱垂直于底面中的三条边有 3 对,底面中的直角边垂直与侧面的直角边与斜边有 2 对, 共5对 故选 C.

点评: 本题考查三视图,考查线面垂直,考查线线垂直,属于基础题.

9. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P, 若双曲线的离心率为 5, 则 cos∠PF2F1 等于 () A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ①,再由 m +n =4c ②,以 及 =5 可得 m=8a,故 cos∠PF2F1 = = ,运算求得结果.
2 2 2

解答: 解:设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ①,且三角形 PF1F2 为直 角三角形, 故有 m +n =4c ②.再由 =5 可得 c=5a.
2 2 2

把①和②联立方程组解得 m=8a,故 cos∠PF2F1 =

=

=

= ,

故选 C. 点评: 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档 题. 10. (5 分)将 y=lnx 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 θ 后第一次与 y 轴相切,则角 θ 满足 的条件是() A.esinθ=cosθ B.sinθ=ecosθ C.esinθ=l D.ecosθ=1 考点: 坐标系的选择及意义;函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 y=lnx 的图象的切线的斜率为 k, 切点坐标为 (x0, y0) , 由题意可得 k= 求得 x0=e.再由 tanθ= = =x0=e,得出结论. = ,

解答: 解:设 y=f(x)=lnx 的图象的切线的斜率为 k,设切点坐标为(x0,y0) , 则由题意可得,切线的斜率为 k= = ,再由导数的几何意义可得 k=f′(x0)= ,



=

,∴x0=e.

再由 θ 的意义可得,lnx 的图象的切线逆时针旋转角 θ 后落在了 y 轴上, 故有 tanθ= = =x0=e,∴sinθ=ecosθ,

故选:B. 点评: 本题主要考查函数的导数的意义及其应用,直线的斜率公式,函数图象的变化,属 于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 6 4 11. (4 分)在(1+x) 的展开式中,含 x 的项的系数是 15.

考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 4,求得 r 的值,即可求得展 4 开式中的含 x 的项的系数. 解答: 解:由于(1+x) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
6

?x ,故含 x 的项的系数是

r

4

=15,

故答案为:15. 点评: 本题主要考查二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12. (4 分)已知 1 = ×1×2×3,1 +2 = ×2×3×5,1 +2 +3 = ×3×4×7,1 +2 +3 +4 = ×4×5×9, 则 1 +2 +…+n =
2 2 2

(其中 n∈N ) .

*

考点: 归纳推理. 专题: 探究型;推理和证明. 分析: 观察所给等式,注意等式的左边与右边的特征,得到猜想 解答: 解:由于所给的等式的左边,是非 0 自然数的平方和,右边是 倍的连续的两个自然 数 n, (n+1)与一个 2n+1 的积, 所以,猜想:1 +2 +3 +…+n = 故答案为: .
2 2 2 2



点评: 本题考查归纳推理,归纳推理推出猜想是解题的关键.

13. (4 分)某次测量发现一组数据(xi,yi)具有较强的相关性,并计算得 =x+1,其中数据 (1,y0)因书写不清,只记得 y0 是[0,3]任意一个值,则该数据对应的残差的绝对值不大于 1 的概率为 . (残差=真实值﹣预测值)

考点: 回归分析. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出预测值,再求出该数据对应的残差的绝对值不大于 1 时 y0 的取值范围,用几何 概型解答. 解答: 解:由题意,其预估值为 1+1=2, 该数据对应的残差的绝对值不大于 1 时,1≤y0≤3, 其概率可由几何概型求得, 即该数据对应的残差的绝对值不大于 1 的概率 P= 故答案为: . = .

点评: 本题考查了几何概型的概率公式,属于基础题. 14. (4 分) 已知△ ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c. 若△ ABC 的面积 S=b +c 2 ﹣a ,则 tanA 的值是 4. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得 数基本关系式即可得出. 解答: 解:∵b +c ﹣a =2bccosA, 又△ ABC 的面积 S=b +c ﹣a , ∴ =2bccosA,
2 2 2 2 2 2 2 2

=2bccosA,再利用同角三角函



化为 tanA=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了 计算能力,属于基础题. 15. (4 分)定义在 R 上的函数 f(x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 λ(λ∈R) ,使 得对任意的 x∈R,都有 f(x+λ)=λf(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”,λ 为“倍增系数”,下 列命题为真命题的是①③(写出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,则 y=f(x)至少有 1 个零点; ②函数 f(x)=2x+1 是倍增函数,且倍增系数 λ=1; ③函数 f(x)=e
﹣x

是倍增函数,且倍增系数 λ∈(0,1) .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,知 f(x﹣2)=﹣2f(x) ,由此得到 y=f (x)至少有 1 个零点,知①正确;由 f(x)=2x+1 是倍增函数,知 2(x+λ)+1=λ(2x+1) , 故由 λ= 由 f(x)=e
﹣x

≠1,知②不正确; 是倍增函数,得到 λ= ∈(0,1)知③正确.

解答: 解:①∵函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数, ∴f(x﹣2)=﹣2f(x) ,当 x=0 时,f(﹣2)+2f(0)=0, 若 f(0) ,f(﹣2)任一个为 0,函数 f(x)有零点; 若 f(0) ,f(﹣1)均不为零,则 f(0) ,f(﹣2)异号, 由零点存在定理,在(﹣2,0)区间存在 x0,f(x0)=0, 即 y=f(x)至少有 1 个零点,故①正确; ②∵f(x)=2x+1 是倍增函数, ∴2(x+λ)+1=λ(2x+1) ,

∴λ=

≠1,故②不正确;
﹣x

③∵f(x)=e 是倍增函数, ﹣(x+λ) ﹣x ∴e =λe , ∴ ∴λ= = ,

∈(0,1) ,故③正确.

故答案为:①③. 点评: 本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意新定义的合理运用, 合理地地进行等价转化. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻两对 称轴之间的距离为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式. (Ⅱ)若 sinα+f(α)= ,求 的值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 综合题. 分析: (I)函数是偶函数,求出 ?,利用图象上相邻两对称轴之间的距离为 π,求出 ω,即 可求得函数 f(x)的表达式. (II)利用两角和的正弦以及弦切互化,化简 ,求出所求结果即可. 解答: 解: (I)∵f(x)为偶函数 ∴sin(﹣ωx+?)=sin(ωx+?) 即 2sinωxcos?=0 恒成立 ∴cos?=0, 又∵0≤?≤π,∴ (3 分) 为 sinαcosα,应用

又其图象上相邻对称轴之间的距离为 π ∴T=2π∴ω=1 ∴f(x)=cosx(6 分) (II) ∵原式= (10 分)

又∵

,∴

(11 分)



,故原式=

(12 分)

点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,同角三角函数基本关系的运用,考查计算能 力,是基础题. 17. (13 分)为适应 2012 年 3 月 23 日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导 意见》 ,某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从 10 个备选测试项目中随机 抽取 4 个,只有选中的 4 个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对 10 个测试项 目测试合格的概率均为 0.8;乙对其中 8 个测试项目完全有合格把握,而对另 2 个测试项目却 根本不会. (I)求甲恰有 2 个测试项目合格的概率; (Ⅱ)记乙的测试项目合格数力 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随 机变量及其分布列. 专题: 综合题. 分析: (I)设甲的测试项目合格数为 X,则 X~B(4,0.8) ,从而可求甲恰有 2 个测试项 目合格的概率为 P(X=2) ; (Ⅱ)记乙的测试项目合格数力 ξ,可能取值为 2,3,4,则 ξ 服从超几何分布,由此可求相 应的概率,即可得到 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 解答: 解: (I)设甲的测试项目合格数为 X,则 X~B(4,0.8) , ∴甲恰有 2 个测试项目合格的概率为 P(X=2)= (Ⅱ)记乙的测试项目合格数力 ξ,可能取值为 2,3,4,则 ξ 服从超几何分布 P(ξ=2)= ∴ξ 的分布列为 ξ P 数学期望 Eξ=2× +3× +4× =3.2. 2 3 4 = ,P(ξ=3)= = ,P(ξ=4)= = = ;

点评: 本题考查二项分布、超几何分布,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查运用 概率知识解决实际问题,属于中档题. 18. (13 分)如图,三棱柱 ADF﹣BCE 中,除 DF、CE 外,其他的棱长均为 2,AB⊥AF,平 面 ABCD⊥平面 ABEF,M,N 分别是 AC,BF 上的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ADF; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 ABCD 所成角的大小.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 AB 中点 G,连接 NG,MG,容易证明平面 MNG∥平面 ADF,所以 MN∥ 平面 ADF; (Ⅱ) 容易说明角 NMG 是直线 MN 与平面 ABCD 所成角, 所以在 Rt△ MNG 中, NG=MG=1, 所以∠NMG=45°. 解答: 证明: (Ⅰ)如图,取 AB 中点 G,连接 MG,NG,∵N 是 BF 中点,∴NG∥AF, 且 NG= ,AF?平面 ADF,∴NG∥平面 ADF;

同理可得 MG∥平面 ADF, NG∩MG=G, ∴平面 MNG∥平面 ADF, MN?平面 MNG, ∴MN∥ 平面 ADF; (Ⅱ) ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, AF⊥AB, AF?平面 ABEF, ∴AF⊥平面 ABCD; ∵NG∥AF,∴NG⊥平面 ABCD; ∴∠NMG 是直线 MN 与平面 ABCD 所成角, 由 (Ⅰ) 知 MG= 中,∠NMG=45°; 即直线 MN 与平面 ABCD 所成角的大小为 45°. , 又 NG=1, ∴在 Rt△ MNG

点评: 考查线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性质,线面角的定义 及求解.

19. (13 分)如图,设椭圆 C: B,F2 关于 F1 对称,且 AB⊥AF2 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,上顶点为 A,点

(Ⅱ)已知 P 是过 A,B,F2 三点的圆上的点,若△ AF1F2 的面积为 ﹣ y﹣3=0 距离的最大值.

,求点 P 到直线 l:x

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由 AB⊥AF2 及勾股定理可知 出椭圆离心率. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知△ AF1F2 是边长为 a 的正三角形,所以 ,解得 ,即 9c +b +a =16c ,由此能示
2 2 2 2

,由此求出△ ABF 的外接圆圆心为 F1(﹣1,0) ,半径 r=2,F1(﹣1,0) 到直线 l 的距离为 d=2,由此能求出 P 到直线 l:x﹣ y﹣3=0 距离的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意, 由 AB⊥AF2 及勾股定理可知 因为 b =a ﹣c ,所以 a =4c ,解得
2 2 2 2 2

…(2 分) ,即 9c +b +a =16c …(4 分) …(6 分)
2 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知△ AF1F2 是边长为 a 的正三角形,所以 解得 …(8 分) 由 AB⊥AF2 可知直角三角形 ABF2 的外接圆以 F1(﹣1,0)为圆心,半径 r=2 2 2 即点 P 在圆(x+1) +y =4 上,…(10 分) 因为圆心 F1 到直线 的距离为 …(12 分)

故该圆与直线 l 相切,所以点 P 到直线 l 的最大距离为 2r=4…(13 分) 点评: 本题考查椭圆的离心率的求法,考查点到直线的距离的最大值的求法,解题时要认 真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用. 20. (14 分)已知函数 f(x)=(x﹣e) (lnx﹣1) (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m 是 f(x)的一个极值点,且点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )满足条件: (1﹣ lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1. ①求 m 的值; ②若点 P(m,f(m) ) ,判断 A,B,P 三点是否可以构成直角三角形?请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)求出导数和切线的斜率,及切点,运用点斜式方程,即可得到切线方程; (Ⅱ)①求出导数,讨论当 0<x<e 时,当 x>e 时,导数的符号,即可判断极值点,求出 P 点; ②讨论若 x1=e,若 x1=x2,与条件不符,从而得 x1≠x2.计算向量 PA,PB 的数量积,即可判 断 PA⊥PB. 解答: 解: (Ⅰ) ,f'(1)=﹣e,又 f(1)=e﹣1,

∴曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣(e﹣1)=﹣e(x﹣1) , 即 ex+y﹣2e+1=0. (Ⅱ)①对于 当 0<x<e 时,lnx<1, 当 x=e 时,f'(x)=1﹣1=0; 当 x>e 时,lnx>1, ,∴ ,定义域为(0,+∞) . ,∴ ;

∴f(x)存在唯一的极值点 e,∴m=e,则点 P 为(e,0) ②若 x1=e,则(1﹣lnx1) (1﹣lnx2)=0,与条件(1﹣lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1 不符, 从而得 x1≠e.同理可得 x2≠e. 若 x1=x2,则 与条件(1﹣lnx1) (1﹣lnx2)=﹣1 不符,从而得 x1≠x2. 由上可得点 A,B,P 两两不重合. ,

=(x1﹣e) (x2﹣e)+(x1﹣e) (x2﹣e) (lnx1﹣1) (lnx2﹣1) =(x1﹣e) (x2﹣e) (lnx1lnx2﹣lnx1x2+2)=0 从而 PA⊥PB,点 A,B,P 可构成直角三角形. 点评: 本题考查导数的综合应用:求切线方程和求极值,考查运用向量的数量积为 0,证明 线段垂直的方法,属于中档题. 本题 21、22、23 三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分,如果多做,则 按所做的前两题计分.选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)如图,矩形 OABC 和平行四边形 OA1B1C1 的部分顶点坐标为:A(﹣1,0) ,B(﹣ 1,2) ,A1( ,1) ,C1(2,0) . (Ⅰ)求将矩形 OABC 变为平行四边形 OA1B1C1 的线性变换对应的矩阵 M; (Ⅱ) 矩阵 M 是否存在特征值?若存在, 求出矩阵 M 的所有特征值及其对应的一个特征向量; 若不存在,请说明理由.

考点: 特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题;矩阵和变换. 分析: (Ⅰ)设 M= 乘法解出 a,b,c,d 即可; (II)由矩阵的特征多项式 f(λ)= 解答: 解: (Ⅰ)设 M= ,令它为 0,即可得到特征值和特征向量. ,依题意得 C(0,2) ,依题意得= ? = ,由矩阵

,依题意得 C(0,2)

依题意得=

?

=





,所以

所以 M=



(II)因为矩阵 M 的特征方程 f(λ)=

=λ + λ+1=0 无解,

2

所以矩阵 M 没有特征值也没有特征向量. 点评: 本题考查矩阵变换与矩阵的求法,考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识, 属于基础题. 选修 4-4:坐标系与参数方程

22. (7 分)在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C(2,

) ,半径为 2.以极点为原点,极轴

为 x 的正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t

为参数) (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设 l 与圆 C 的交点为 A,B,l 与 x 轴的交点为 P,求|PA|+|PB|. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)求出圆的直角坐标方程,利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可得出极坐标方程;
2

(II)把

(t 为参数)代入

得 t =4,可得点 A、B 对应的

参数分别为 t1=2,t2=﹣2,令 ﹣t0|+|t2﹣t0|即可得出.

得点 P 对应的参数为

.利用|PA|+|PB|=|t1

法二:把把

(t 为参数)化为普通方程得

,令 y=0 得点

P 坐标为 P(4,0) ,由于直线 l 恰好经过圆 C 的圆心 C,可得|PA|+|PB|=2|PC|. 解答: 解: (I)在直角坐标系中,圆心的坐标为 ∴圆 C 的方程为 把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入可得: . 即 ,即 , ,

(II)法一:把

(t 为参数)代入

得 t =4,

2

∴点 A、B 对应的参数分别为 t1=2,t2=﹣2, 令 得点 P 对应的参数为 + . = .

∴|PA|+|PB|=|t1﹣t0|+|t2﹣t0|=

法二:把把

(t 为参数)化为普通方程得



令 y=0 得点 P 坐标为 P(4,0) , 又∵直线 l 恰好经过圆 C 的圆心 C, 故 .

点评: 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、参数方程的应用、直线与圆相交弦长问 题,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 选修 4-5:不等式选讲 2 2 2 2 2 23. (Ⅰ)证明二维形式的柯西不等式: (a +b ) (c +d )≥(ac+bd) (a,b,c,d∈R) ; 2 2 2 (Ⅱ)若实数 x,y,z 满足 x +y +z =3,求 x+2y﹣2z 的取值范围. 考点: 二维形式的柯西不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 分析: (I)用作差比较法证明(a +b ) (c +d )≥(ac+bd) 成立. 2 (II)利用柯西不等式求得 (x+2y﹣2z) ≤27,可得 x+2y﹣2z 的取值范围. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (I)证明:∵(a +b ) (c +d )﹣(ac+bd) =a d ﹣2adbc+b c =(ad﹣bc) ≥0, 2 2 2 2 2 ∴(a +b ) (c +d )≥(ac+bd) 成立,当且仅当 ad=bc 时取得等号. 2 2 2 2 2 2 2 (II)∵(x+2y﹣2z) ≤(x +y +z ) (1 +2 +(﹣2) ) 3×9=27, ∴ . 点评: 本题主要考查用作差比较法证明不等式,柯西不等式的应用,属于基础题.


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