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东华高级中学2015届高三重点临界生辅导材料(1)(理数)


东华高级中学 2015 届高三重点临界生辅导材料(1) 数学(理科)
一、选择题 1.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A?B,则实数 c 的取值范围是 ( ) B.[1,+∞)
log 2 3.4

A.(0,1] 2.已知 a= 5 A.a>b>c

r />C.(0,1)

D.(1,+∞) ) D.c>a>b

,b= 5

log 4 3.6

,c=

1 5

log3 0.3

,则(

B.b>a>c

C.a>c>b )

3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b B.a< ab< <b 2

a+b C.a< ab<b< 2 )

a+b D. ab<a< <b 2

4.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)· ex 的判断正确的是( ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. A.①③ B.①②③ C.②

D.①②

5.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 6.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3× 3! B.3× (3!)3 C.(3!)4 D.9! )

二、填空题 b 7.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________. x 8.8.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的 → → 动点,则|PA+3PB|的最小值为________. x+y-2≥0, ? ? 9. 设 z=kx+y, 其中实数 x, y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0.
1

若 z 的最大值为 12, 则实数 k=________.

10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x∈[-2,0] 1 时,f(x)=( )x-1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的 2 实数根,则 a 的取值范围是________. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π 任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8 π? 的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间? ?0,2?上 有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 3 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的 2

12.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2

1 13.已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R). 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 1 1 (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈(0, )∪( ,1),使得 f(x0)=f( ). 2 2 2

2

参考答案
1.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A? B,则实数 c 的取值范围是 ( ) B.[1,+∞) D.(1,+∞)

A.(0,1] C.(0,1) 答案 B

解析 方法一 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c), 因为 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.应选 B. 方法二 因为 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), 取 c=1,则 B=(0,1), 所以 A? B 成立,故可排除 C、D; 取 c=2,则 B=(0,2),所以 A? B 成立, 故可排除 A,选 B. 2.已知 a= 5 A.a>b>c C.a>c>b 答案 C 解析 a= 5
log 2 3.4

log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

1 ,c= 5

log3 0.3

,则(

)

B.b>a>c D.c>a>b

,b= 5

log 4 3.6

,c=

1 5

log3 0.3

=5

log 3

10 3



又 log23.4>1,log43.6<1,log3 故 b<a,b<c,又 log23.4>log3 因此 b<c<a.

10 >1, 3

10 , 3

3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b B.a< ab< <b 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b D. ab<a< <b 2 答案 B

)

3

解析 ∵0<a<b,∴ ab> a· a=a, b+b a+b ab< b· b=b,b= > , 2 2 a+b a+b 又 ab< ,所以 a< ab< <b,故选 B. 2 2 4.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)· ex 的判断正确的是( ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. A.①③ B.①②③ C.② D.①② 答案 D 解析 f′(x)=[(2x-x2)ex]′ =(2x-x2)ex+ex(2-2x)=ex(2-x2), 令 f′(x)=0,则 x=± 2. 可得当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)<0, 当- 2<x< 2时,f′(x)>0, 据极值概念可得①②是正确的,结合图象可知函数有最大值. )

5.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 利用极值的存在条件判定. 当 x<-2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)>0;
4

当-2<x<1 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)<0; 当 1<x<2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)<0; 当 x>2 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数,在(2,+∞)上是 增函数, ∴函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2). 6 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3× 3! C.(3!)4 答案 C 解析 把一家三口看作一个排列,然后再排列这 3 家, 所以有(3!)4 种. b 7.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________. x 答案 2 b 2 6-r b r 6-r r 12-3r 解析 (ax2+ )6 的展开式的通项为 Tr+1=Cr · ( ) =Cr bx , 6(ax ) 6a x x
6 3 3 令 12-3r=3,得 r=3,由 C3 b =20 得 ab=1, 6a


)

B.3× (3!)3 D.9!

所以 a2+b2≥2 ab=2,故 a2+b2 的最小值为 2