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东华高级中学2015届高三重点临界生辅导材料(1)(理数)


东华高级中学 2015 届高三重点临界生辅导材料(1) 数学(理科)
一、选择题 1.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A?B,则实数 c 的取值范围是 ( ) B.[1,+∞)
log 2 3.4

A.(0,1] 2.已知 a= 5 A.a>b>c

r />C.(0,1)

D.(1,+∞) ) D.c>a>b

,b= 5

log 4 3.6

,c=

1 5

log3 0.3

,则(

B.b>a>c

C.a>c>b )

3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b B.a< ab< <b 2

a+b C.a< ab<b< 2 )

a+b D. ab<a< <b 2

4.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)· ex 的判断正确的是( ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. A.①③ B.①②③ C.②

D.①②

5.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 6.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3× 3! B.3× (3!)3 C.(3!)4 D.9! )

二、填空题 b 7.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________. x 8.8.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的 → → 动点,则|PA+3PB|的最小值为________. x+y-2≥0, ? ? 9. 设 z=kx+y, 其中实数 x, y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0.
1

若 z 的最大值为 12, 则实数 k=________.

10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x∈[-2,0] 1 时,f(x)=( )x-1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的 2 实数根,则 a 的取值范围是________. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π 任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8 π? 的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间? ?0,2?上 有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 3 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的 2

12.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2

1 13.已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R). 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 1 1 (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈(0, )∪( ,1),使得 f(x0)=f( ). 2 2 2

2

参考答案
1.已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A? B,则实数 c 的取值范围是 ( ) B.[1,+∞) D.(1,+∞)

A.(0,1] C.(0,1) 答案 B

解析 方法一 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c), 因为 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.应选 B. 方法二 因为 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), 取 c=1,则 B=(0,1), 所以 A? B 成立,故可排除 C、D; 取 c=2,则 B=(0,2),所以 A? B 成立, 故可排除 A,选 B. 2.已知 a= 5 A.a>b>c C.a>c>b 答案 C 解析 a= 5
log 2 3.4

log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

1 ,c= 5

log3 0.3

,则(

)

B.b>a>c D.c>a>b

,b= 5

log 4 3.6

,c=

1 5

log3 0.3

=5

log 3

10 3



又 log23.4>1,log43.6<1,log3 故 b<a,b<c,又 log23.4>log3 因此 b<c<a.

10 >1, 3

10 , 3

3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b B.a< ab< <b 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b D. ab<a< <b 2 答案 B

)

3

解析 ∵0<a<b,∴ ab> a· a=a, b+b a+b ab< b· b=b,b= > , 2 2 a+b a+b 又 ab< ,所以 a< ab< <b,故选 B. 2 2 4.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)· ex 的判断正确的是( ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. A.①③ B.①②③ C.② D.①② 答案 D 解析 f′(x)=[(2x-x2)ex]′ =(2x-x2)ex+ex(2-2x)=ex(2-x2), 令 f′(x)=0,则 x=± 2. 可得当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)<0, 当- 2<x< 2时,f′(x)>0, 据极值概念可得①②是正确的,结合图象可知函数有最大值. )

5.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 利用极值的存在条件判定. 当 x<-2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)>0;
4

当-2<x<1 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)<0; 当 1<x<2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)<0; 当 x>2 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数,在(2,+∞)上是 增函数, ∴函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2). 6 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3× 3! C.(3!)4 答案 C 解析 把一家三口看作一个排列,然后再排列这 3 家, 所以有(3!)4 种. b 7.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________. x 答案 2 b 2 6-r b r 6-r r 12-3r 解析 (ax2+ )6 的展开式的通项为 Tr+1=Cr · ( ) =Cr bx , 6(ax ) 6a x x
6 3 3 令 12-3r=3,得 r=3,由 C3 b =20 得 ab=1, 6a


)

B.3× (3!)3 D.9!

所以 a2+b2≥2 ab=2,故 a2+b2 的最小值为 2.

8.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, → → 则|PA+3PB|的最小值为________. 答案 5 解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. → → 方法二 设DP=xDC(0<x<1), → → ∴PC=(1-x)DC,

5

→ → → → → PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA, 2 → → 5→ → ∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 25 → 5 → → → → → → |PA+3PB|2= DA2+2× × (3-4x)DA· DC+(3-4x)2· DC2=25+(3-4x)2DC2≥25, 4 2 → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.

x+y-2≥0, ? ? 9.(2013· 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. 数 k=________. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示:

若 z 的最大值为 12,则实

1 由图可知当 0≤-k< 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k 2 1 =2(舍去);当-k≥ 时,直线 y=-kx+z 经过点(0,2)时 z 最大,此时 z 的最大值为 2,不合 2 题意;当-k<0 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2, 符合题意.综上可知,k=2. 10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x∈[-2,0] 1 时,f(x)=( )x-1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的 2 实数根,则 a 的取值范围是________. 3 答案 ( 4,2) 解析 由 f(x-2)=f(x+2),知 f(x)是周期为 4 的周期函数,于是可得 f(x)在(-2,6]上的草图 如图中实线所示,

6

而函数 g(x)=loga(x+2)(a>1)的图象如图中虚线所示, 结合图象可知, 要使得方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有 3 个不同的实数根,
? ? ?g(2)<3, ?loga4<3, 3 必需且只需? 所以? 解得 4<a<2. ?g(6)>3. ?loga8>3. ? ?

11.已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π 任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式;

3 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的 2

π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8 π? 的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间? ?0,2?上 有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 1+cos 2ωx 1 3 解 (1)f(x)= sin 2ωx+ 3 - 2 2 2 π? 1 3 = sin 2ωx+ cos 2ωx=sin? ?2ωx+3?, 2 2 π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 π? 2π π π T= = = ,所以 ω=2,所以 f(x)=sin? ?4x+3?. 2ω ω 2 π? π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到 y=sin? ?4x-6?的图象,再将所得图象所有点 8 π? 的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y=sin? ?2x-6?的图象. π? 所以 g(x)=sin? ?2x-6?. π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6 π? g(x) + k =0 在区间? ?0,2? 上有且只有一个实数解,即函数 g(x)=sin t 与 y=-k 在区间

?-π,5π?上有且只有一个交点.如图, ? 6 6?

7

1 1 由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1. 2 2 1 1 所以- <k≤ 或 k=-1. 2 2

12.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2 证明 (1)由 an+1=3an+1 1 1 得 an+1+ =3(an+ ). 2 2 1 3 又 a1+ = , 2 2 1 3 所以{an+ }是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2 3n-1 1 3n an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2 1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 -1 因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1,


1 1 所以 n ≤ - . 3 -1 2× 3n 1 1 1 1 1 1 于是 + +…+ ≤1+ +…+ n-1 a1 a2 an 3 3 3 1 3 = (1- n)< . 2 3 2 1 1 1 3 所以 + +…+ < . a1 a2 an 2

1 13.已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R). 3 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 1 1 (2)当 a<0 时,试讨论是否存在 x0∈(0, )∪( ,1),使得 f(x0)=f( ). 2 2 2
8

解 (1)f′(x)=x2+2x+a 开口向上,Δ=4-4a=4(1-a). ①当 1-a≤0,即 a≥1 时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)在 R 上单调递增. -2- 4(1-a) ②当 1-a>0 时,即 a<1 时,令 f′(x)=0,解得 x1= =-1- 1-a,x2=-1 2 + 1-a. 令 f′(x)>0,解得 x<-1- 1-a或 x>-1+ 1-a; 令 f′(x)<0,解得-1- 1-a<x<-1+ 1-a; 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1- 1-a)和(-1+ 1-a,+∞); f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a). 综上所述:当 a≥1 时,f(x)在 R 上单调递增;当 a<1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1- 1-a)和(-1+ 1-a,+∞),f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a). (2)当 a<0 时,x1=-1- 1-a<0,x2=-1+ 1-a>0. ①当-1+ 1-a≥1 时,即 a≤-3 时,f(x)在(0,1)上单调递减,不满足题意; ②当-1+ 1-a<1 时, 即-3<a<0 时, f(x)在(0, -1+ 1-a)上单调递减, 在(-1+ 1-a, 1)上单调递增, 1 5 所以 f(x)min=f(-1+ 1-a),由题意知-1+ 1-a≠ ,所以 a≠- . 2 4 7 f(x)max=max{f(0),f(1)};f(0)=1,f(1)=a+ . 3 7 4 a.当 a+ ≥1 时,即- ≤a<0 时,f(x)max=f(1). 3 3 1 7 令 f( )<f(0),解得 a<- , 2 12 4 4 7 5 又因为- ≤a<0,所以- ≤a<- 且 a≠- . 3 3 12 4 7 4 b.当 a+ <1 时,即 a<- 时,f(x)max=f(0). 3 3 1 25 4 令 f( )<f(1),解得- <a<- . 2 12 3 综上所述, 当 a∈{a|- 25 5 5 7 1 1 1 <a<- 或- <a<- }时, 存在 x0∈(0, )∪( , 1), 使得 f(x0)=f( ). 12 4 4 12 2 2 2

9


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