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1.2.1排列(课件)


1.2.1 排 列

㈠复习:
①什么是分类计数原理,分步计数原理。 ②从甲村到乙村有2条旱路,一条水路,从乙村到丙村有南、北两条路,当 从甲村走水路到乙村时,再从乙村到丙村就只能走南路,问从甲村经过乙 村到丙村共有多少种不同的走法?

解:不同的走法分为两类:第 一类由甲村走水路到乙村,再 由乙村到丙村:只有1种走法。 第二类

由甲村走旱路到乙村, 再由乙村到丙村:有 2×2=4种走法。

答:共有5种不同的走法。 由分类计数原理:1+4=5

分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1 种不同的方法,在第2类 办法中有m2 种不同的方法,…,在第n 类办法中有mn 种不同的方法,那 么完成这件事共有:

N=m1 +m 2 + ? +m n

种不同的方法.
分步计数原理(乘法原理)

完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m1 种不同的方法,做第2步 有m2 种不同的方法,…,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事 共有:

N=m1 m 2 ? m n

种不同的方法.

分类计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中 任何一种方法都可以完成这件事; 分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各 个步骤都完成了,这件事才算完成.

问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,
其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多 少种不同的方法?

我们把上面问题中被取的对象叫做元素.于是所提出的问题 就是从3个不同的元素中任取2个,按照一定的顺序排成一列,

求一共有多少种不同的排法.

问题2 从a、b、c、d这四个字母中,取出3个按照顺序排成
一列,共有多少种不同的排法?
解决这个问题,需分3个步骤: 第1步,先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4种方法; 第2步,确定中间的字母,从余下的3个字母中去取,有3种方法; 第3步,确定右边的字母,只能从余下的2个字母中去取,有2种方法. 根据分步计数原理,共有4×3×2=24

一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列. 注意: 1.我们所研究的排列问题,是不同元素的排列,这里既没有 重复元素,也没有重复抽取相同的元素. 2.排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定顺序排列”.“一定顺序”就是与位置有关,这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志. 3.根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当这两个排列的元 素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同.也就是说,如 果两个排列所含的元素不完全一样,那么就可以肯定是不同的 排列;如果两个排列所含的元素完全一样,但摆的顺序不同, 那么也是不同的排列. 4.如果m<n,这样的排列(也就是只选一部分元素作排列), 叫做选排列;如果m=n,这样的排列(也就是取出所有元素 作排列),叫做全排列.

【总结提炼】

排列问题,是取出m个元素后,还要按一定的顺
序排成一列,取出同样的m个元素,只要排列顺序不 同,就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不同 的排列). 由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也

就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题.当元
素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列.

练习 1:下列问题是排列问题吗?
(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法, 其不同选择有多少种? 不是排列
(2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法, 其不同选择有多少种? 是排列 (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标, 可得多少个不同的点的坐标? 是排列 (4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最 多可确定多少条射线?可确定多少条直线? 是排列 不是排列 (5)10个学生排队照相,则不同的站法有多少种?
(从中归纳这几类问题的区别)

是排列

练习2:在A、B、C、D四位候选人中,选举正、副班 长各一人,共有几种不同的选法?写出所有可能的选 举结果.
AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC

练习3:写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的 所有排列.
解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列,共20个. 若把这题改为:写出从5个元素.a,b,c,d,e中任取4个 元素的所有排列,结果如何呢?

方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”.
研究一个排列问题,往往只需知道所有排列的个数而无需一一 写出所有的排列,那么能否不通过一一写出所有的排列而直接 “得”出所有排列的个数呢?这一节课我们将来共同探讨这个 问题:排列数及其公式.

1.排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作

A

m n

注意区别“一个排列”与“排列数”的不同: “一个排列”是指“从n个不同元素中,任取m个元素按 照一定的顺序排成一列”,不是数; “排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排 列的个数”,是一个数.因此符号只代表排列数,而不表示 具体的排列.


2.排列数公式
m n

选排列数

A =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)

A

m n

n! ? (n ? m)!

这里m、n ? N * 且m<n,这个公式叫做排列数公式.它有以 下三个特点: (1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1. (2)最后一个因数是n-m+1. (3)共有m个因数.

当m=n时

A =n(n-1)(n-2)? 3 ? 2 ? 1
n n

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n! 表示。

A

n n

? n!

规定0!? 1

例1. 计算 (1) A 3

16

(2)A 6 6

(3)A 6

4

3 解:(1) A16

? 16 ? 15 ? 14 ? 3360

6 A (2) 6 ? 6 ! ? 720

(3)

A64 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360

化简:( 1 ) 5? 4 !,(2)(5 ? 4)! 答:( 1 ) 5 ! (3) 42 ? 5 !,(4)(n ? m)( n ? m ? 1)! (2)20!
(3)7! (4)( n ? m)!

例2 计算:

(1) A
(2)

3

16

;

16?15?14 ? 3360
12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ?5 12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6

A A

8

12 7 12

;

(3)

A.
6

6

6!=6×5×4×3×2×1=720

例3 某年全国足球甲级(A组)联赛共有 14队参加,每队都要与其余各队在主客场 分别比赛一次,问一共进行多少场比赛?
2 A14 ? 14 ?13 ? 182(场)

例4 (1)有5本不同的书,从中选3本送 给3名同学,每人各一本,共有多少种不 3 A 同的送法? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60(种) 元素不可重复 (2) 有5种不同的书,要买3本送给3名同 学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
53 ? 125(种) 元素可重复

注意区分“本”与“种”

练习 有5名男生,4名女生排队。

(1)从中选出3人排成一排,有多少 3 种排法? A9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 504. (2)全部排成一排,有多少种 9 A 9 排法?
(3)排成两排,前排4人,后排5人, 有多少种排法? A94 ? 5!? A99 注:与(2)同解

例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗 从上到下挂在竖直的旗杆上表示信 号,每次可以任挂一面、二面或三 面,并且不同的顺序表示不同的信 号,一共可以表示多少种不同的信 号?
即有分类,又有分步
1 3 A3 ? A32 ? A3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 15(种)

例5 用 0 到 9 这十个数字,可以组 成多少个没有重复数字的三位数?

解法一:对排列方法分步思考。
百位
1 1 1

十位

个位

? ? ? 9 ? 9 ? 8 ? 648 A9 A9 A8
百位是“特殊位置”, 特殊位置要特殊(优先)处理。

或 A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648

1

2

解法二:对排列方法分类思考。 符合条件的三位数可分为两类:
分析:由0的位置分类:
1类:0在个位
百位 十位 个位

2类:0在十位
百位 十位 个位

3类:0不在个.十位
百位 十位 个位

0

0

根据加法原理

A

2

9
3 9 2

A
9

2

9

A

3 9

A ? 2A

? 648

0是“特殊元素”,特殊元素要特殊(优先)处理。

解法三:间接法. 求总数: 从0到9这十个数字中任 3 取三个数字的排列数为 10 ,

A

求以0为排头的排列数为
3
2

A

2

9

.

∴ 所求的三位数的个数是

A ? A ? 10? 9?8 ? 9?8 ? 648.
10
9

从总数中去掉不合条件的排列的种数

例6: 5个人站成一排. (l)共有多少种不同的排法? (2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法? (3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法? (4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? 5 解:(1)由于没有条件限制,5个人可作全排列,有 A 5 (2)由于甲的位置已确定,其余4人可任意排列,有 A 4 (3)因为甲、乙两人必须相邻,可视甲、乙在一起为一个元 2 素与其他3人排列有 A 4 A 而甲、乙又有 4 2 4 2 根据分步计数原理共有 A 4 A 2 ? 48 (捆绑法) (4)甲、乙两人外的其余3人先排有 A 3 2 要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置,有 A 4 3 2 所以共有 A 3 A 4 ? 72 种排法 (插空法)
3 4

或用(1)-(3)(间接法)

(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6)其中甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同的排法? (5)甲、乙两人不站排头和排尾,则这两个位置可从其余3 2 2 3 人中选2人来站有 A 3 , 剩下的人有 A 3 共有 A A ? 36 3 3 3 (特殊位置) 或:甲、乙两人不站排头和排尾,则这两人可从中间3个位 2 3 2 3 A A 置中选2个来站有 3 , 剩下的人有 3 共有 A 3 A 3 ? 36 (特殊元素) (6)甲站排头有 A 4 种排法,乙站排尾有 A 4 种排法,但两种 4 4 A3 情况都包含了“甲站排头,乙站排尾”的情况,有 种排法, 3 故共有 A 5 ? 2A 4 ? A 3 ? 78 (间接法)
5 4 3

思考:用直接法如何解?

例7.解方程

A

3 2x

? 100Ax

2

解:原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 例8.证明: 经检验x=13 是原方程的根。
m 。 n+1

A

=A +mA


m n

m-1 n

n! n! ?m? 证明:右边 ? (n ? m )! (n ? m ? 1)! n !? (n ? m ? 1) ? n !? m (n ? 1)n ! ? ? (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)! (n ? 1)! ? m ? A ? 左 [(n ? 1) ? m ]! n ?1

n! A = (n-m)!
m n

【演练反馈】 1.4辆不同公交车,有4位司机,4位售票员,每辆车上配一 位司机和一位售票员,问有多少种不同的搭配方案?

A A

4 4 4 4

? 576

2.由数字1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复数字 的正整数?
1 3 5 A6 ? A62 ? A6 ? A64 ? A6 ? A66 ? 1956

3.20位同学互通一封信,那么通信的次数是多少?
2 A20 ? 380

4. 7人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐4人,不同的坐 法有多少种? 把两排看作一排来处理

A77 ? 5040

5、在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要 退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场比赛? 99 6、一条铁路原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个 车站,客运 车票增加了62种,问原有多少个车站,现有多 少个车站? A 2 ? A 2 ? 62
n ?m n

(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62 m(2n+m-1)=31

m ? 2,n ? 15

【演练反馈】 1.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、 音乐六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,一 共有多少种不同的排法?

A ? 2A ? A ? 504
6 6 5 5 4 4

A ? A A A ? 504
5 5 1 1 4 4 4 4

①认真审题,根据题意分析它属什么数学问题,题目

中的事件是什么,有无限制条件,通过怎样的程序完成这
个事件,用什么计算方法; ②弄清问题的限制条件,注意研究问题,确定特殊元 素和特殊的位置。考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置 优先,必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助

思考。
③恰当分类,合理分步。

一个问题是否为排列问题,关键是看与元素的顺序是否有 关,在计算中除运用排列数公式外,还要结合分类计数原理与 分步计数原理.

A =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)
n! A = (n-m)!
m n

m n

看下面的问题: 6个队员排成一列进行操练,其中新队员甲不能站排头,也 不能站排尾,问有多少种不同的站法? 分析:这是一个有限制条件的问题,需要在正确理解题意的 前提下,细致地分析与考察可能的情况,进行恰当的算法设 计.

6个队员排成一列进行操练,其中新队员甲不能站排头,也不能站排尾,问 有多少种不同的站法?

分析1:要使甲不在排头和排尾,可先让甲在中间4个位置中任 1 A 然后对其余5人在另外5个位置上作 选1个位置,有 4 种站法; 5 全排列有 A5 种站法。 1 5 根据分步计数原理,共有站法 A4 A5 ? 480 分析2:由于甲不站排头和排尾,这两个位置只能在其余5个人 2 4 对于中间的四个位置,4个人有A4 中选2个人站,有 A5 种站法; 种站法。 根据分步计数原理,共有站法 A52A44 ? 480 分析3:若对甲没有限制条件,共有 A6 种站法,这里面包含 下面三种情况:(1)甲在排头;(2)甲在排尾;(3)甲不 在排头,也不在排尾. 5 5 A A 甲在排头有 5 种站法;甲在排尾有 5 种站法, 这都不符合题 设条件,从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数, 共有 A 6 ? 2A 5 ? 480
6 5
6

排列问题与元素的位置有关,解排列
应用题时应从元素或位置出发去分析,结 合框图去排列,同时注意分类计数原理与 分步计数原理的运用.


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