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空间几何体的表面积和体积教案


卓越个性化教案
学生姓名
课题

GFJW0901

年级
空间几何体的表面积和体积

授课时间

教师姓名

课时

2

教学目标 重 难 点 点

①了解柱锥台球的表面积公式 及表面积公式的推导过程 ②会球简单组合体的表面积和体积 空间几何体表面积和体积公式的应用 空间几何体表面积和体积公式的应用

【知识点梳理】 二、空间几何体的表面积和体积 1、旋转体的表面积 名称 圆柱 图形 表面积 S=2π r(r+ l )

圆锥

S=π r(r+ l )

圆台



S =4? R 2

2、几何体的体积公式 (1)设棱(圆)柱的底面积为 S,高为 h,则体积 V=Sh;

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(2)设棱(圆)锥的底面积为 S,高为 h,则体积 V= 1 Sh;
3

(3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为 S’ ,S,高为 h,则体 积 V= 1 ( S ' +
3

S' S +S)h;
3

(4)设球半径为 R,则球的体积 V= 4 π

R3 。

注:对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法,转化成已 知体积公式的几何体进行解决。

3 方法指导 1、几何体的表面积,除球以外,都是利用展开图求 得的。利用了空间问题平面化的思想。把一个平面图形折叠成一个几 何体,再研究其性质,是考查空间想象能力的常用方法,所以几何体 的展开与折叠是高考的一个热点; 2、几何体的展开图 (1)多面体的展开图; ①直棱柱的侧面展开图是矩形; ②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的, 底面 是正多边形; ③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的, 底面是 正多边形。 (2)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长是底面圆周长,宽是圆柱 的母线长; ②圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线长,弧长 是圆锥的底面周长;

2

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③圆台的侧面展开图是扇环, 扇环的上、 下弧长分别为圆台的上、 下底面周长。 注:圆锥中母线长 l 与底面半径 r 和展开图扇形中半径和弧长间 的关系及符号容易混淆。

※链接高考 1、高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中,借以考查 空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体的结构,准确应用面 积公式,就可以顺利解决; 2、多面体的表面积是各个面的面积之和。圆柱、圆锥、圆台的 侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表 面积是侧面积与底面圆的面积之和; 3、组合体的表面积应注意重合部分的处理。

【典型例题分析】 例1 圆柱的轴截面是边长为 5 的正方形 ABCD, 从 A 到 C 圆柱侧 面上的最短距离为

变式

长 方 体 ABCD-

A1B1C1D1 中 交 于 顶 点

A 的 三 条 棱 长 AD=3 , )

AA1 ? 4, AB ? 5, 则从
A.5 2

A 点沿长方体表面到 C1 点的最短距离为( C. 4
5

B. 74

D3

10

3

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例 2 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图 扇形的圆心角为( A
1200

) C
1800

B

1500

D

2400

变式

圆台的上下底面半径分别为 1 和 2,它的侧面展开图扇环的圆

心角为 1800, 则圆台的表面积为

例3

若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中,量的水面的

高度为 6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中, 则水面的高度是( A
6 3cm

) C
2 3 18cm

B 6cm

D

3 3 12 cm

变式

将一钢球放入底面半径为 4cm 的圆柱形玻璃器皿中,水面上

升 9cm,则钢球的半径为

4

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例4
?ABC 的三边之长分别是

AC=3,BC=4,AB=5,现以 AB 所在的直

线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积

例5 圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面 半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比

5

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例 6 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,求该几何体的表面 积和体积

变式(广东省深圳高级中学·2010 届高三上二模(文) )一个空间几 何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的、直角边为 1 的等腰直角三 角形(如右图) ,那么这个几何体的体积为( A.1
1 B. 2 1 C. 3


1 D. 6

6

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例 7、 (2010 上海文数) 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼, 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底 上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得 并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的,底面半径为 0.3 米的灯笼,请作出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). 最大值? 先要制作 4 丝,再用 S 面 (不安装

课堂小结:

【课堂练习】 1、 (2010 全国卷 2 理数) (9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 么当该棱锥的体积最大时,它的高为( (A)1 (B)
3

3 ,那

) (C ) 2 (D)3

2(10 福建理数) .若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所 示,则其表面积等于 .

7

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3.长方体的全面积是 11,十二条棱长的和是 24,则它的一条对角线 长是 A. 2 3 . B. C. 5 D.6 14 2 4. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程 x ? 9x ? 18 ? 0 的两根,其侧 面积等于两底面积的和,则其斜高与高分别为 A. 5 与 2 B.2 与 3 C.5 与 4 D.2 与 3
2 2

5.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 9,则这个棱台的高和截得棱台 的原棱锥的高的比是 A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2 3 3 4

【课后作业】 一、选择题 1、若正方体的棱长为 凸多面体的体积为 (A)
2 6

2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

2、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm2 )为

(A)48 ? 12

2

(B)48 ? 24 2(C)36 ? 12

2

(D)36 ? 24

2

8

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3、 (河南方城二高·09~10 学年高二上学业水平测试)下面的三 视图(依次为正视图、侧视图、俯视图)表示的几何体是 (A )

A.六棱柱

B.六棱锥

C.六棱台

D.六边形

4、 (山东日照五莲一中·2010 届高三段检(理) )如图是一几何 体的三视图,其左视图是等腰直角三角形,则其表面积为 ( C )

A. 2 ? 6

2

B. 4 ? 4

2

C. 6 ? 4

2

D.12

6、 (福建厦门理工学院附中·2010 届高三 12 月考(文) )一个棱 长为 2 的正方体的顶点都在球面上,则该球的表面积为 ( C ) B. 8? C.12? D.16?

A. 4?

7、 (福建厦门理工学院附中·2010 届高三 12 月考(文) )若一

9

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个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积为 ( D )

A.6
8 3 C. 3

B.2 D. 8 3

8、 (北京昌平区·2010 届高三上期末抽抽检(理) )如果一个几何体 的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则此几何体的体积是( D )

A . 96
224 3 cm D. 3

cm3

B . 80 cm

3

C. ?

80 ? 16 2 cm3

?

9、 (北京东城区·2010 届高三上期末(理) )如图(1)所示,一只 装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1cm 和半径为 3cm 的两 个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液 面高度为 20cm , 当这个几何体如图 (3 ) 水平放置时, 液面高度为 28cm , 则这个简单几何体的总高度为( A )

10

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29cm A. 30cm B. 32cm C. 48cm D.

10、 (福建莆田九中·2010 届高三月考(理) )已知某个几何体的 三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是 ( C )

1 3 cm A. 3

2 3 cm B. 3

4 3 cm C. 3

8 3 cm D. 3

11、 (黑龙江省双鸭山一中·2010 届高三期中考试(理) )9、如 图一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图是全等的等腰直角三角 形,且直角边的 边长为 1,那么这个几何体的体积等于 ( C )

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3

12、 (北京朝阳区 09-10 学年·高二期末(理) )如图,一个空间 几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果

11

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直角三角形的斜边长为 2
2 ,那么这个几何体的体积为(

C ).

1 A. 3

B.

2 3

C.

4 3

D.

8 3

二、填空题 13、若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的 体积是
cm3 .

14 、 直 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1

的各顶点都在同一球面上,若 。

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于

16、已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球 面得到圆
M

,若圆

M

的面积为

3?

,则球 O 的表面积等于

__________________. 17 正四棱台的高是 12cm,两底面边长之差为 10cm,全面积为 512 cm2 , 求底面的边长。
作业

12



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