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浦东高中补习班 新王牌 高一数学一元二次不等式 张Y


张 Y 老师高一学习资料

一元二次不等式 一、知识要点 1. 一元二次不等式的解集 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 与 x 轴交点的横坐标 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 为二次方程

f ( x) ? 0 的两个实根;
当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 2. 区间的概念 闭区间: [a, b] ? a ? x ? b 开区间: (a, b) ? a ? x ? b 半开半闭: [a, b) ? a ? x ? b , (a, b] ? a ? x ? b 3. 一元二次不等式恒成立问题
2 1 一元二次不等式 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 在 x ? R 上恒成立 ? ○ 2 2 一元二次不等式 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 在区间 [? , ? ] 上恒成立 ○

; .

?

(对称轴在区间) 或

(对称轴不在区间, 有无实根)

另: ? ? 0 (无实根) 或
2

(有实根)

3 一元二次不等式 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 在区间 [? , ? ] 上恒成立 ? ○

二、基础训练 解下列不等式: (1) 6 x ? 5 x ? 1 ? 0 ;
2

(2) 4 x ? 4 x ? 15 ? 0 ;
2

(3) 5 x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

(4) 9 x ? 6 x ? 1 ? 0 ;
2

(5) 3x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2

1

张 Y 老师高一学习资料

三、主要问题 例 1 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 是 {x x ? ?2或x ? ? } , 求
2

1 2

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集.

例 2.已知函数 y ? (k 2 ? 4k ? 5) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 3 的图象都在 x 轴上方,求实数 k 的取值 范围.

例 3.对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x 2 ? px ? 4 x ? p ? 3 恒成立,求 x 的取值范 围.

例 4.是否存在 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,它的图像经过点(1,2) ,且对一切 x ? R ,都
2

有 ax ? bx ? c ? x ? 1 ?若存在,试求出一组 a、b、c 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

2

张 Y 老师高一学习资料

四、巩固练习 1. 不等式

x ?1 ? 1 的解集是 2x

2.

若对任意实数 x ,不等式 x2 ? 2(1 ? k ) x ? 3 ? k ? 0 恒成立,则 k 的取值范围是

3.

若关于 x 的二次方程 2(k ? 1) x2 ? 4kx ? 3k ? 2 ? 0 的两根同号,则 k 的取值范围是

4.

已知关于 x 的二次方程 (m ? 3) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两根异号,且负根的绝对值比 正根大,那么 m 的取值范围是

5.

若 ? , ? 是关于 x 的方程 x2 ? (k ? 2) x ? k 2 ? 3k ? 5 ? 0 (k为实数 ) 的两个实根,则

? 2 ? ? 2 的最大值为

6.

2 2 在三个关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0, x ? (a ? 1) x ? 16 ? 0 和 x ? 2ax ? 3a ? 10 ? 0
2

中,已知至少有一个方程有实根,则实数 a 的取值范围是

7.

(1)已知关于 x 的方程 m( x ? 1) ? 3( x ? 2) 的解是正实数,求实数 m 的取值范围; (2)已知关于 x 的方程

1 2 x ? kx ? 5k ? 6 ? 0 无实数解,求实数 k 的取值范围 4
2

(3)已知关于 x 的方程 kx ? (3k ? 1) x ? k ? 0 有两个正实数根,求实数 k 的取值范围

3

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8.

(1)要使代数式 mx2 ? (m ? 1) x ? (m ? 1) 的值恒为负值,求实数 m 的取值范围

(2)若关于 x 的不等式 范围

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R,求实数 m 的取值 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4
1 2 7 ? 0 有实数解,又要使关于 x 的方程 16

(3)既要使关于 x 的不等式 x ? (m ? ) x ?
2

(2m ? 3) x 2 ? mx ?

m?2 ? 0 有实数解,求实数 m 的取值范围. 4

4



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