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【校本课程数学竞赛讲义】第16


【校本课程数学竞赛讲义】§8.3

排序不等式
, An ,沿 OB 边也依次 , n) 连结,得到

探究:设 ?AOB ? ? ,自点 O 沿 OA 边依次取 n 个点 A1 , A2 ,
取 n 个点 B1 , B2 ,

, Bn .选取某个点 Ai (i ? 1, 2,

>, n) 与某个点 Bi (i ? 1, 2,

OA 边上的点与 OB 边上的点如 AOB i j .这样一一搭配,一共可以得到 n 个三角形.问:
何一一搭配,才能使得到的 n 个三角形面积之和最大?如何一一搭配,才能使得到的 n 个三 角形的面积之和最小?

排序不等式(sequence inequality),又称排序原理
设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an 及 b1 ? b2 ? 排列,则

? bn ,c1 , c2 ,

, cn 是 b1 , b2 ,

, bn 的任一

a1bn ? a2bn?1 ?


? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ?

? ancn ? a1b1 ? a2b2 ?

? anbn

反序和≤乱序和≤顺序和

当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时反序和等于顺序和. 证明:不妨设在乱序和 S 中 in ? n 时(若 in ? n ,则考虑 in ?1 ),且在和 S 中含有项

ak bn (k ? n) ,
则 :

ak

?

n



① bn

?

事实上,左-右= (an ? ak )(bn ? bin ) ? 0 . 由此可知,当 in ? n 时,调换 S ? a1bi1 ?

? ak bik ?

? anbin ( in ? n )中 bn 与 in 位置

(其余不动),所得新和 S1 ? S .调整好 an 及 bn 后,接着再仿上调整 a n ?1 与 bn ?1 ,又得

S2 ? S1 .如此至多经 n ? 1 次调整得顺序和 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn
② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时 ②中等号成立.反之,若它们不全相等,则必存在 in 及 k,使 bn ? bj n ,an ?ak .这时①中不

? a1bi1 ? a2bi2 ?

? anbin

1

等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于反序和”. 说明:排序不等式又称排序原理,是一个很强的不等式,许多重要不等式可以借助排序 不等式得到证明.其关键是找出两组有序数组.利用排序不等式可以证明平均不等式,还可 证明下述重要不等式: 切比雪夫不等式:若 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,则

a1b1 ? a2b2 ? n

? anbn

?

a1 ? a2 ? n

? an b1 ? b2 ? ? n

? bn

例题讲解
例 1:有 10 人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第 i(i ? 1, 2,

,10) 个人的水桶需要 ti 分,

假定这些 ti 各不相同.问只有一个水龙头时,应如何安排 10 人大顺序,使他们等候的总时 间最少?这个最少的总时间等于多少?

? 例 2:对 a, b, c ? R ,比较 a ? b ? c 与a b ? b c ? c a 的大小.
3 3 3 2 2 2

a 2 ? b2 b2 ? c 2 c 2 ? a 2 a 2 b2 c 2 ? ? ? ? ? 例 3: a, b, c ? R ,求证: a ? b ? c ? . 2c 2a 2b bc ca ab
?

例 4:在△ ABC 中,试证:

?
3

?

aA ? bB ? cC ? ? . a?b?c 2

2

例 5:设 a1 , a2 ,?, an 是互不相同的自然数,试证 1 ?

1 ? 2

?

a 1 ? a1 ? 2 ? n 22

?

an . n2

课后练习
1.设 a 、 b 、 c ? R ,求证:
?

a b c 3 ? ? ? . b?c c?a a?b 2
(1997

z 2 ? x2 x2 ? y 2 y 2 ? z 2 2.设 x 、 y 、 z 为正数,求证: ? ? ? 0. x? y y? z z? x
年江苏冬令营) 3.设 a 、 b 、 c 为正数,求证: 兰数学奥林匹克) 4 . 已 知

a 3 b3 c 3 ? ? ? a?b?c . bc ac ab

(1963 年波

a, b, c



























2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b) .
5.设 a1 , a2 , a3 为正数,求证:

a1a2 a2 a3 a3a1 ? ? ? a1 ? a2 ? a3 . a3 a1 a2
2 x12 x2 ? ? x2 x3

6.设 x1 , x2 ,

, xn 都是正数,求证:

?

2 xn x2 ?1 ? n ? x1 ? x2 ? xn x1

? xn .
n

7. 已知 a1 , a2 ,

证明对任意正整数 n , 均有:? , an 为任何两两互异的正整数,
i ?1

ak n 1 ?? . k 2 i ?1 k

(第 20 届 IMO 试题) 8.设 b1 , b2 ,?, bn 是正数 a1 , a2 ,?, an 的一个排列,求证

a1 a2 ? ? b1 b2

?

an ?n. bn

(1935 年匈牙利数学奥林匹克)

3

9.设正数 a 、 b 、 c 的乘积 abc ? 1 ,证明

1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? . a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

(第 36 届 IMO 试题) 点评:此题除使用排序不等式证明外,还可以使用柯西不等式或平均不等式证明. 10. 设 xi 、y i 是实数 ( i ? 1, 2, . 且 x1 ? x2 ? ,n)

? xn ,y1 ? y2 ?

? yn ,z1 , z2 ,

, zn

是 y1 , y 2 ,?, y n 的任一排列,证明:

? ( xi ? yi )2 ?? ( xi ? zi )2
i ?1 i ?1

n

n

(第 17 届 IMO 试题)

4


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