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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


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第一节

分类加法计数原理与分步 乘法计数原理

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第九章 第一节 [课前· 双基落实] 基础盘查一 1.(1)× (2)√

计数原理与概率、随机变量及其分布 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

2.9

3.36

基础盘查二 1.(1)√ (2)× 2.1 053 3.36

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[课堂· 考点突破] 考点一 [题组练透]
2 1.解析:可将安排方案分为三类:①甲排在周一,共有 A4 种排法; 2 ②甲排在周二,共有 A2 种排法;③甲排在周三,共有 A 3 2种排法, 2 2 故不同的安排方案共有 A2 4+A3+A2=20 种.故选 A.

答案:A 2.解析:分 3 类:第一类,直接由 A 到 O,有 1 种走法;第二类, 中间过一个点,有 A→B→O 和 A→C→O 2 种不同的走法;第三 类,中间过两个点,有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不同的 走法, 由分类加法计数原理可得共有 1+2+2=5 种不同的走法. 答案:5
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3.解析:当 m=1 时,n=2,3,4,5,6,7 共 6 种 当 m=2 时,n=3,4,5,6,7 共 5 种; 当 m=3 时,n=4,5,6,7 共 4 种; 当 m=4 时,n=5,6,7 共 3 种; 当 m=5 时,n=6、7 共 2 种,故共有 6+5+4+3+2= 20 种. 答案:20

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考点二 [典题例析] 解析:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各

有 3 种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报 名方法共有 36=729 种. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第 一个项目有 6 种选法,第二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有 6×5×4=120 种. (3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出 一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有 63 =216 种.
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[演练冲关]

解析:从中选出 2 名男医生的选法有 C2 6=15

种, 从中选出 1 名女医生的选法有 C1 所以不同的 5=5 种, 选法共有 15×5=75 种,故选 C. 答案:C

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考点三 [多角探明] 1.解析:从 A 开始涂色,A 有 6 种涂色方法,B 有 5 种涂色方法, C 有 4 种涂色方法,D 有 4 种涂色方法.由分步乘法计数原理 可知,共有 6×5×4×4=480 种涂色方法. 答案:480 2.解析:区域 A 有 5 种涂色方法;区域 B 有 4 种涂色方法;区域 C 的涂色方法可分 2 类: 若 C 与 A 涂同色, 区域 D 有 4 种涂色 方法;若 C 与 A 涂不同色,此时区域 C 有 3 种涂色方法,区域 D 也有 3 种涂色方法.所以共有 5×4×4+5×4×3×3=260 种涂色方法. 答案:260
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3.解析:分类讨论: 第 1 类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面 对”,这样的“正交线面对”有 2×12=24 个; 第 2 类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正 交线面对”,这样的“正交线面对”有 12 个. 所以正方体中“正交线面对”共有 24+12=36 个. 答案:D

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4.解析:从 5 个元素中选出 2 个元素,小的给集合 A,大的给集 合 B,有 C2 5=10 种选择方法;从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C3 5=10 种选择方法,再把这 3 个元素从小到大排列,中间有 2 个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合 A,一边给集合 B,方 法种数是 2,故此时有 10× 2=20 种选择方法;从 5 个元素中选 出 4 个元素,有 C4 5=5 种选择方法,从小到大排列,中间有 3 个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合 A,一边给集合 B,方 法种数是 3,故此时有 5× 3=15 种选择方法;从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C5 5=1 种选择方法,同理隔开方法有 4 种,故此时 有 1× 4=4 种选择方法.根据分类加法计数原理,总计为 10+20 +15+4=49 种选择方法.故选 B. 答案:B
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