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福建省福州市第八中学2010-2011学年高一上学期期末考试数学试题


福州八中 2010—2011 学年第一学期期末考试

高一数学 必修Ⅱ
考试时间:120 分 钟 试卷满分:150 分 本次考试不可使用计算器 第Ⅰ卷(共 18 题,100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卷上) 1. 直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是 A. 30° A. 平面α B. 120° ) 表示. C. 60°
D

D. 150°
C

2. 如图,平面不能用(
[来源:学科网 ZXXK]

B. 平面 AB C. 平面 AC D. 平面 ABCD A. 相交 B. 异面 C. 平行
A B

3. 若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是 D. 异面或相交 4. 点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则│OP│的最小值是 A. 7 B. 6 C. 2 2 D. 5
M

5. 直线 L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若 L1∥L 2, 则 a= A.-3 B.2 C.-3 或 2
D

D.3 或-2

6. 如图,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在的平面, 那么 MA 与 BD 的位置关系是 A.垂直相交 C.异面但不垂直
2 2

B.相交但不垂直 D.异面且垂直
2

C

A

7. 圆: x ? y ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂 直平分线的方程是 A. x+y+3=0 B. 2x-y-5=0 C. 3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 8. 下列四个结论:⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。⑵两条直 线没有公共点, 则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则这条直线和这个平面平行。 其中正确 的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 4cm,则球的表面积是

B

A. 32Л cm



B. 48Л cm



C. 64Л cm



D. 80Л cm



10.圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是 A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 2 2 D. 1 ? 2 2

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分) 11.已知三点A(a,2) B(5,1) C(-4,2a)在同一条直线上, 则a= . 1 2

12. 在边长为 a 的等边三角形 ABC 中, AD⊥BC 于 D,沿 AD 折成二面角 B-AD-C 后, BC= a,这时二面角 B-AD-C 的大小为 13.过点A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 14.已知直线 a、b 及平面?,在下列命题: ①

b ? ?? a ? b? a // b ? a // ? ? ? ? a ? b ;② ? ? b // ? ;③ ? ? b ? ? ;④ ? ? a // b a ? ?? a ? ?? a ? ?? b ? ??
(只填序号). 三、解答题(共 4 题,共 34 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (8 分)在长方体 AC?中,已知底面两邻边 AB 和 BC 的

中,正确的有

长分别为 3 和 4,对角线 BD?与平面 ABCD 所成的角为 45 ,求:
0

D? A? B? D

C?

(1)长方体 AC?的高;

[来源:学科网]

(2)长方体 AC?的表面积; (3)几何体 C?D?-ABCD 的体积.

C
(第 15 题图)

[来源:学科网]

A
2 16. (9 分) 已知圆 C:? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P (2, 2) , 2

B

过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长. 17.(9 分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥面 PCD; (2)证明 BD∥面 PEC;

18. (8 分)已知过 A(0,1)和

B(4, a) 且与 x 轴相切的圆只有一个, 求

a

的值及圆的方 程. 第Ⅱ卷(共六题,50 分) 四、选择题和填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 19. 已知在四面体 ABCD 中, E、 F 分别是 AC、 BD 的中点, 若 CD=2AB=4, EF ? AB, 则 EF 与 CD 所成的角为 A. 30 A.


B. 45 B.



C. 60



D.90



20. 直线 l:ax+by=0 和圆 C:x2+y2+ax+by=0 在同一坐标系的图形只能是 C.
y l x

D.
y y

l
C? O

y

l
x

C?

O

C?
O x

C?
O

l
x

E、 F 分别是 AB 、 21. 如右图所示, 在三棱锥 ABC — A1 B1 C1 中,

A 1

B1

C 1

AC 的中点, 设三棱柱 ABC — A1 B1 C1 的体积为 V , 那么三棱台
AEF — A1 B1 C1 的体积为
(用 V 表示)
A E F B C

22. 已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点(-2,-3) ,则点 P(x,y)到原点的距 离是 。

五、解答题(共 2 题,共 30 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 23.(15 分) 如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面⊙O 上,AB、A1B1 分别为⊙O、⊙ O1 的直径,且 A1A⊥平面 PAB. (1)求证:BP⊥A1P; (2)若圆 柱 OO1 的体积 V=12π,OA=2,∠AOP=120° ,求三棱锥 A1-APB 的体积. (3)在 AP 上是否存在一点 M,使异面直线 OM 与 A1B 所成角的余 弦值为 2 ?若存在,请指出 M 的位置,并证明; 若不存在,请说明

5

理由. 2 )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A, t

24. (15 分)已知以点 C (t,

与 y 轴交于点 O、 B, 其中 O 为原点. (1) 求证: △OAB 的面积为定值; (2) 设直线 y = –2x+4

与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求 t 的值并求出圆 C 的方程.

稿



福州八中 2010—2011 学年第一学期期末考试
高一数学 必修Ⅱ 试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(共 18 题,100 分) 一、选择题 题号 1 2
[来源:学科网 ZXXK]

3

4

5

6

7

8

9

[来源:学+科+

网 Z+X+X+K]

10

答案 二、填空题 7 11. 或2 2

D

B

D

C

A

D

C

A

B

B

12 . 60° 13.

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

14.





2 16. (1)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的 2

斜率为 2, 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即

2x-y-2=0.

---- ---------------3 分

(2) 当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

1 ( x ? 2) , 即 x+2y-6=0 2

------------------6 分 (3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3, 2

--------------------------8 分

弦 AB 的长为 34 .

---------- -----------------------9 分

17. 解: (1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥面 ABCD, PA∥EB,PA=2EB=4.∵PA=AD,F 为 PD 的中点, ∴PD⊥AF, 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A, ∴CD⊥面 ADP, ∴CD⊥AF.又 CD∩DP=D, ∴AF⊥面 PCD. ------- 5 分 (2)取 PC 的中点 M,AC 与 BD 的交点为 N,连结 MN, ∴MN=

1 PA,MN∥PA, 2

∴MN=EB,MN∥EB,故四边形 BEMN 为平行四边形, ∴EM∥BN,又 EM ? 面 PEC,∴BD∥面 PEC. --------- 9 分

第 Ⅱ卷(共六题,50 分) 19. A 20. D 21.

7 V 12

22.

17

23. (1)证明:因为 AP⊥BP,由 AA1⊥平面 PAB,得 AA1⊥BP ……1 分 且 AP∩AA1=A ……2 分; 所以 BP⊥平面 PAA1 ……3 分 故 BP⊥A1P ……4 分
2

(2)由题意 V=π ·OA ·AA1=4π ·AA1=12π ,解得 AA1=3…5 分 由 OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,BP=2 ……6 分

AP=2 3,∴S△PAB= ×2×2 3=2 3

1 2

……8 分

1 1 ∴三棱锥 A1-APB 的体积 V= S△PAB·AA1= ×2 3×3=2 3 ……10 分 3 3 (3)答:在 AP 上存在一点 M,当 M 为 AP 的中点时,使异面直线 OM 与 A1B 所成角的余弦 值为 2 .

5

……11 分

证明:∵O、M 分别为 AB、AP 的中点,则 OM∥BP,且已证 BP⊥A1P ∴∠A1BP 就是异面直线 OM 与 A1B 所成的角 在 Rt ?A 1BP = 1PB 中, cos ?A …….13 分

2 =2 4 ? 32 5
2

∴在 AP 上存在一点 M,当 M 为 AP 的中点时,使异面直线 OM 与 A1B 所成角的余弦值为

2. 5

…….15 分
2 2

24. (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?

4 . t2

设圆 C 的方程是

2 4 (x ? t)2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 , 得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值.------6 分 2 2 t
(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2
-----------------9 分

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,
----

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点。------------------12 分. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

9 5

? 5

? t ? ?2 不符合题意舍去. ------------------14 分 2 ? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) 2 ? 5 .------------15 分

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/Info.aspx?InfoID=85353


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