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极坐标与参数方程复习教案


精锐教育学科教师辅导教案
学员编号: 学员姓名: 年 级:高三 辅导科目:数学 课 时 数: 3 学科教师: 刘欢

授课类型 授课日期及时段

C-极坐标与参数方程

C–极坐标与参数方程

C-极坐标与参数方程

教学内容

知识点概括

一、坐标系 1.平面直角坐标系的建立:在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和 这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。 2.空间直角坐标系的建立:在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并 确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。 3.极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通 常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) ① 设 M 是平面上的任一点, ? 表示 OM 的长度,? 表示以射线 OX 为始边,射

线 OM 为终边所成的角。那么有序数对 ( ? ,? ) 称为点 M 的极坐标。其中 ? 称为极径,

? 称为极角。
约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角。 4.直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度平 面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为(x,y)和 ( ? ,? ) ,则

x?

?2 ?
tan ? ?

y?
二、曲线的极坐标方程

1 . 直 线 的 极 坐 标 方 程 : 若 直 线 过 点 M ( ?0 ,?0 ) , 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为

? ,则它的方程为:
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? sin(? ? ?) ? ?0 sin(?0 ? ?)
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点 (2)直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴 (3)直线过 M (b, ) 且平行于极轴

? 2

2.圆的极坐标方程: 若圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆方程为:

? 2 ? 2?0 ? cos(? ??0 ) ? ?02 ? r 2 ? 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点 (2)当圆心位于 M (r ,0) (3)当圆心位于 M ( r ,

?
2

)

3.直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用:

x?

?2 ?
tan ? ?

y?
三、参数方程 1.参数方程的意义

? x ? f (t ) 在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ,该方程叫曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参 ? y ? f (t ) 数 2.参数方程与普通方程的互化 参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
⑴?

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? y ? b sin ?

⑵?

? x ? x0 ? at (t为参数) ? y ? y0 ? bt
a 1 (t ? ) 2 t (t 为参数) b 1 (t ? ) 2 t

? x ? sin ? ? ? [0, 2? ) (3) ? 2 ? y ? cos ?
(5) ?

? ?x ? (4) ? ? ?y ? ? ?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ? y ? b ? r sin ?

☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围! 二、考点阐述 考点 1、极坐标与直角坐标互化 例题 1、在极坐标中,求两点 P ( 2,

?

), Q ( 2,? ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 4 4

?

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练习 1.1、已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4cos ? ? ? ≥ 0, 0 ≤? ? 点的极坐标为 .

? ?

π? ? ,则曲线 C1 与 C2 交 2?

?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? ? 【解析】我们通过联立解方程组 ? ,即两曲线的交点为 (2 3, ) 。 ( ? ? 0,0 ? ? ? ) 解得 ? ? 6 2 ? ? ? 4cos ? ?? ? 6 ?
1.2. (宁夏 09)已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为_______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 答案: ( (2,

2? ) 3



考点 2、极坐标与直角坐标方程互化 例题 2、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面

? 2 t ?x ? ? 2 直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ,点 P 是曲线 C 上的动点,点 Q 是直线 l 上的动点,求 (t为 参数) 2 ?y ? ? 4? t ? ? 2
| PQ |的最小值.
2 解:曲线 C 的极坐标方程 ? ? 4sin ? 可化为 ? ? 4? sin ? ,

其直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ? 0 ,即 x ? ( y ? 2) ? 4 .
2 2
2 2

……………(3分)

直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 所以,圆心到直线 l 的距离 d ?

?2 ? 4 2

?3 2

……………………(6分)

所以, PQ 的最小值为 3 2 ? 2 .
2

…………………………(10分)
2

练习 2.1、 (沈阳二中 2009)设过原点 O 的直线与圆 C : ( x ?1) ? y ? 1 的一个交点为 P ,点 M 为线段 OP 的中点。 (1) 求圆 C 的极坐标方程; (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
2 2 解:圆 ( x ?1) ? y ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ……4 分

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设点 P 的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) , ∵点 M 为线段 OP 的中点, ∴ ?1 ? 2? , ?1 ? ? ……7 分 将 ?1 ? 2? , ?1 ? ? 代入圆的极坐标方程,得 ? ? cos ? ∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? ? cos ? ,它表示圆心在点 ( , 0) ,半径为 考点 3、参数方程与直角坐标方程互化 例题 3:已知曲线 C1 的参数方程为 ?

1 2

1 的圆. ……10 分 2

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ( ? 为参数) ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ? 6 sin ? . ? y ? 10 sin ? ?

(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由. 解: (1)由 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? 得 ? ? y ? 10 sin ?

( x ? 2)2 ? y 2 ? 10
∴曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 ∵ ? ? 2 cos? ? 6 sin ? ∴ ? ? 2? cos? ? 6? sin ?
2

∵ ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2 2 2

∴ x ? y ? 2 x ? 6 y ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10
2 2 2 2

∴曲线 C 2 的直角坐标方程为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 …………………………………(5分)
(2)∵圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ? ∴两圆相交 设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10

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∴( ) ? (
2

d 2

3 2 2 ) ? ( 10) 2 2

∴d ?

22

∴公共弦长为 22 ……………………(10 分) 练习 3.1(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C: ?

? x ? 3 ? 2 cos ? (? 为参数,0≤ ? <2π ), ? y ? 1 ? 2 sin ?

(Ⅰ)将曲线化为普通方程; (Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程. (Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 (Ⅱ) ? ? 2 3 cos? ? sin ?

?

?

… 5分 … 10 分
2 t? 2 2 (t为参数) 。 2 t 2

? ?x ? x ? cos ? ? 练习 3.2(08 海南)已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ?

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' ,C2 ' 。写出 C1 ' ,C2 ' 的参数方程。C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。 考点 4:利用参数方程求值域 例题 4、 (2008 年宁夏)

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? x ? 1 ? cos? ? 2 (t为参数) 在曲线 C1 : ? 的距离最小,并 (?为参数) 上求一点,使它到直线 C 2 : ? 1 ? y ? sin ? ? y ? 1? t ? ? 2
求出该点坐标和最小距离。 解:直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 2 -1=0……………………………………2 分 设所求的点为 P(1+cos ? ,sin ? ),……………………………………………3 分 则 C 到直线 C2 的距离 d=
| 1 ? cos? ? sin? ? 2 2 ? 1 | 2

…………………………5 分

=|sin( ? + 当? ?

? )+2|……………………………………7 分 4

?
4

?

5? 3? 时,即 ? = 时,d 取最小值 1………………………………9 分 4 2

此时,点 P 的坐标是(1练习 4.1

2 2 ,)……………………………………10 分 2 2

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( 09

厦 门 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系

xOy

中 , 动 圆

C

求 2x - y 的取值 x2 + y 2 - 8x cos? - 6 y sin ? + 7cos2 ? + 8 = 0 的圆心为 P ( x, y ) , 范围..
ì ? x = 4cos q, 【解】由题设得 ? ( q 为参数, í ? ? ? y = 3sin q
A O E B D

q ? R).
于是

…………………………3 分

F

2x ? y ? 8cos? ? 3sin ? ? 73 cos(? ? ? ) ,
所以 ? 73≤2x ? y≤ 73 . 练习 4.2. (宁夏 09) (本小题满分 10 分)

………………………6 分 ………………………10 分

3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? , (t 为 4 ?y? t 5 ?

参数) . (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 答案: (本小题满分 10 分) 解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为:

? 2 ? 2? sin?


x2 ? y2 ? ? 2 ,

x ? ? cos? ,

y ? ? sin? .

所以,曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 ? y2 ? 2 y ? 0.
(2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得: y ? ? 令

4 ( x ? 2) 3

y ? 0 得 x ? 2 即 M 点的坐标为 ( 2,0)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 (0,1) ,半径 r 则 MC ?

? 1,

5

∴ MN ? MC ? r ?

5 ?1

考点 5:直线参数方程中的参数的几何意义 例题 5:2009 年泉州
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已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程;

?
6



②设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 . 解 (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 x ? 1? t ? ? 2 (2)把直线 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3分

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

6分 10 分

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 . 练习 5.1 抚顺一中 2009

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
4 ? x ? 1? t ? 5 ,? ? 解:将方程 ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

2 cos(? ?

?
4

) 分别化为普通方程:

3x ? 4 y ? 1 ? 0 , x2 ? y 2 ? x ? y ? 0, --------------------------------------(5 分)
1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . 2 2 2 10 2 100 5
-------------------------------------------------------------------------10 分 练习 5.2 大连市 2009 已知直线 l是过点 P(?1,2), 倾斜角为

2 ? ?的直线.圆方程 ? ? 2 cos(? ? ). 3 3

(I)求直线 l 的参数方程; (II)设直线 l 与圆相交于 M、N 两点,求|PM|·|PN|的值。

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2? ? x ? ?1 ? t cos , ? ? 3 (t为参数) , 解: (Ⅰ) l 的参数方程为 ? ? y ? 2 ? t sin 2? . ? 3 ?

1 ? x ? ?1 ? t , ? 2 ? (t为参数) 。 即? 3 ?y ? 2? t. ? ? 2
(Ⅱ)由 ?

…………5 分

? ? cos ? ? x, ? ? sin ? ? y.

可将 ? ? 2 cos(? ?

?
3

) ,化简得 x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 。

将直线 l 的参数方程代入圆方程得 t 2 ? (3 ? 2 3)t ? 6 ? 2 3 ? 0. ∵ t1t2 ? 6 ? 2 3 ,∴ | PM |? | PN |?| t1t2 |? 6 ? 2 3 。 …………10 分

练习 5.3(宁夏 09)若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数) ,则直线的斜率为() ? y ? 2 ? 3t
3 2
D.-

3 2

B.

2 3

C.—

2 3


答案: (C ) 3、 (宁夏 09)极坐标方程ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是( A. 答案: ( 2 D) B. 2 C. 1 D.

2 2

【巩固练习】 一、选择题

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t 2 2 3 3 A. B. ? C. D. ? 3 3 2 2 ? x ? sin 2? 2.下列在曲线 ? ) (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ? 1 3 1 A. ( , ? 2) B. ( ? , ) C. (2, 3) D. (1, 3) 2 4 2
1.若直线的参数方程为 ?



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? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? ) 2 ? ? y ? sin ? A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)
4.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1 5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2, ) D. y ? 1 C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )

?
3

3 6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为(
A.一条射线和一个圆 B.两条直线 7.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

)

B. (2, ?

?

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), ( k ? Z )
D.一个圆

) C.一条直线和一个圆 ) D. ( ?5,

4? ) 3

B. ( ?5,

? ) 3

C. (5,

?
3

)

5? ) 3

二、填空题 x ? 3 ? 4t 8.直线 ? (t为参数) 的斜率为______________________。 ? ? y ? 4 ? 5t 9.参数方程 ?

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t y ? 2( e ? e ) ? ?

10.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。
1 ? x ? 2? t 2 2 ? ? 11.直线 被圆 x ? y 2 (t为参数) ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

? 4 截得的弦长为______________。

12.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 13.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。 三、解答题 1.已知点 P ( x, y ) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

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2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

4、 (宁夏 09)已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1,F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数方程为 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (t为参数,t ? R) . ? 2 ?y ? t ? 2 ?
(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和.

一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2
3 1 时, y ? 4 2

2 转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4

k?

y ? 4 ?5t 5 ? ?? x ? 3 4t 4

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2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

2

2

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? ( x ? )( x ? ) ? 4 ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t

4. 14

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

2 2 14 1 2 ,弦长的一半为 22 ? ( ,得弦长为 ? ) ? 2 2 2 2

14
5. ? ?

?
2

??

? cos? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 0,cos(? ? ? ) ? 0 ,取 ? ? ? ?
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ?1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1
?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ? 1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

?

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5
………………………………3 分
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4 解: (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ;

曲线 C 的普通方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

……………6 分 …………………7 分

(Ⅱ) ∵ F1 (?1,0) , F2 (1, 0) , ∴点 F1 到直线 l 的距离 d1 ?

?1 ? 0 ? 2 2 1? 0 ? 2 2

?

3 2 , 2 2 , 2

…………………8 分

点 F2 到直线 l 的距离 d 2 ? ∴ d1 ? d2 ? 2 2.

?

………………9 分

……………10 分

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坐标系与参数方程教案

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